吉林省“BEST合作体”2020-2021学年高一下学期期中数学试题4383.pdf

“BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第1页 共 8 页“BEST 合作体”2020-2021 学年度下学期期中考试 高一数学试题 2021 年 5 月 本试卷分客观题题和主观题两部分共 22 题，共 150 分，共 2 页。考试时间为 120 分钟。考试结束后，只交答题卡。第卷 客观题 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设2i 1 iz，则复数z的实部和虚部之和为 A3 B3 C1 D1 2已知平面向量a1,2m，b3,3，若a/b，则实数m的值为 A0 B3 C1 D1 3若i12i z，则z A2i B2i Ci Di 4ABC的内角A,B，C所对的边分别是a，b，c，若105A，45B，2 2b，则c等于 A1 B2 C3 D2 5已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，向量a，b的夹角为3，则|2ab|的值为 A4 B3 C2 D3 6在ABC中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，它的面积为2224bca，则角 A 等于 A30 B45 C60 D90 7正方体1111ABCDABC D中，AB的中点为M，1DD的中点为N，则异面直线1BM与CN所成角的大小为 A0 B45 C60 D90 8如图，AB是单位圆O的直径，且满足ACCDDB，则ADAC=“BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第2页 共 8 页 A1 B32 C32 D3 9在长方体1111ABCDABC D中，P为BD上任意一点，则一定有（）A1PC与1AA异面 B1PC与1AC垂直 C1PC与平面11AB D相交 D1PC与平面11AB D平行 10蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C，满足SABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AMSB，侧棱2SA，则该蹴鞠的表面积为（）A6 B12 C32 D36 二、选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.11已知直线/a平面，直线/b平面，则直线,a b可能（）A平行 B异面 C相交 D垂直 12某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150，然后沿新方向走了 3km，结果离出发点恰好3km，则x 的值为（）A3 B23 C2 D3 第卷 主观题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.双空题只填对一个得 3 分，全对得 5 分.13已知i是虚数单位，复数i1z，则|z _ 14在ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知2 31,60,3aCb，则ABC的面积为_.15圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的“BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第3页 共 8 页 侧面积之比为_ 16黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是512由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星 如图，已知正五角星内接于圆O，36CAD，点S为线段AD的黄金分割点，则sin18 _，若圆O的半径为 2，PQ为圆O的一条弦，以PQ为底边向圆外作等腰三角形PQM，且36PMQ，则OM的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 题，共 70 分.其中 17 题 10 分，其余题目均 12 分.17已知向量a=(1,3)，b=(3,)m.（1）若ab，求|+a b|；（2）若3m ，求向量a与b的夹角.18设复数iza（i是虚数单位，aR，0a），且10z （）求复数z；（）在复平面内，若复数i1 imzmR对应的点在第四象限，求实数m的取值范围 19已知如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB、A1C 的中点.（1）求证：EF平面 ADD1A1；（2）求证：EF平面 A1DC “BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第4页 共 8 页 20在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且(23)cos2 cos0bcAaB.（1）求cos A的值；（2）若3,5abc，求ABC的面积.21如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E是底面圆周上异于,A B的一点，AF DE，F是垂足.（1）证明：AFDB；（2）若2AB，当三棱锥DABE体积最大时，求点C到平面BDE的距离.22.（1）叙述并证明余弦定理；（2）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，证明：coscosabCcB.“BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第5页 共 8 页“BEST 合作体”2020-2021 学年度下学期期中考试 高一数学试题答案 2021 年 5 月 一、二、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1 到 10 题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11、12 题全选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D C B D B D B ABCD AB 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.双空题填对一个得 3 分，全对得 5 分.13.1 14.12 15.2:3 1:1 16.514 2 52 四、解答题：本题共 6 题，共 70 分.其中 17 题 10 分，其余题目均 12 分.17【解析】（1）ab，0 a b，1m，13,31ab 22(13)(13)2 2ab 5 分（2）设所求夹角为，3,(3,3)mb 1cos2a ba b，0,，23.10 分 18 【解析】（）zai，10z|，2110za，即29a，解得3a ，又0a，3a，3zi 4 分（）3zi，则3zi，151311122miimimmziiiii “BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第6页 共 8 页 又复数1mizi（mR）对应的点在第四象限，502102mm 得51mm 5m1 12 分 19 证明：（1）如图，连接 AD1，设 AD1A1DO，连接 OF，则由正方体 ABCD-A1B1C1D1可得：点 O 是 A1D 的中点，因为点 F 是 A1C 的中点，所以OF/DC且12OFDC.又 E 是 AB 的中点，所以AE/DC且12AEDC 所以OF/AE且OFAE 则四边形 AEFO 是平行四边形，所以 EFAO，而 AO平面 ADD1A1，EF平面 ADD1A1，所以 EF平面 ADD1A1.6 分（2）由正方体 ABCD-A1B1C1D1可得：DC平面 ADD1A1，而 AD1平面 ADD1A1，所以 DCAD1，又 AD1A1D，且 A1DDCD，DC平面 A1DC，A1D平面 A1DC，所以 AD1平面 A1DC.再由（1）可知：EFAD1，所以 EF平面 A1DC.12 分 “BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第7页 共 8 页 20（1）23；（2）4 55.【详解】（1）(23)cos2 cos0bcAaB，所以2sincos3sincos2sincos0BACAAB，所以2(sincossincos)3sincosABBACA，即2sin()3sincosABCA 因为ABC，所以sin()sin0ABC，所以3cos2A，即2cos3A.6 分（2）因为2cos3A，所以5sin3A.由余弦定理可得2222102cos()3abcbcAbcbc，因为3,5abc，所以2210353bc，解得245bc.故ABC的面积为112454 5sin22535bcA.12 分 21 （1）由圆柱性质可知，DA 平面ABE，EB 平面AEB，DAEB，AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，AEEB，又AEDAA，BE平面DAE，AF 平面DAE，EBAF，又AFDE，且EBDEE，AF平面DEB，DB 平面DEB，AFDB；6 分（2）13D AEBAEBVSDA，3DA，当D AEBV最大时，即AEBS最大，即AEB是等腰直角三角形时，2DAAB，2BE，22226DE，“BEST 合作体”期中考试 高一数学试题 第8页 共 8 页 并且点E到平面ABCD的距离就是点E到直线AB的距离112AB,设点C到平面EBD的距离为h，则 11112622 13232C DBEE CBDVVh ，解得：233h 12 分 22 （1）解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.2 分 在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，求证：2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC.4 分 证明：如图，22aBC ACABACAB 222ACAC ABAB222cosACACABAAB 222cosbbcAc即2222cosabcbcA 同理，2222cosbcacaB，2222coscababC 8 分（2）222222coscos=22abcacbbCcBaaa 12 分