同济第六版《高等数学》教案WORD版-第06章-定积分的应用.doc

高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第六章第六章定积分的应用定积分的应用教学目的教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等）.教学重点：教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等.教学难点：教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。2、引力。6 1定积分的元素法定积分的元素法回忆曲边梯形的面积设 yf（x）0(xa b)如果说积分badxxfA)(是以a b为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数xadttfxA)()(就是以a x为底的曲边梯形的面积 而微分 dA(x）f（x）dx 表示点 x 处以 dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值Af（x）dxf（x)dx 称为曲边梯形的面积元素以a b为底的曲边梯形的面积 A 就是以面积元素 f（x）dx 为被积表达式 以a b为积分区间的定积分badxxfA)(一般情况下 为求某一量 U 先将此量分布在某一区间a b上 分布在a x上的量用函数 U（x)表示 再求这一量的元素 dU（x）设 dU（x）u（x）dx 然后以 u（x）dx 为被积表达式 以a b为积分区间求定积分即得badxxfU)(用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室6 2定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积1直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线 yf上(x）与 yf下（x)及左右两条直线 xa 与 xb 所围成 则面积元素为f上（x）f下（x）dx 于是平面图形的面积为dxxfxfSba)()(下上类似地由左右两条曲线 x左（y）与 x右(y)及上下两条直线 yd 与 yc 所围成设平面图形的面积为dcdyyyS)()(左右例 1 计算抛物线 y2x、yx2所围成的图形的面积解（1）画图（2）确定在 x 轴上的投影区间：0 1（3)确定上下曲线2)(,)(xxfxxf下上(4）计算积分313132)(10323102xxdxxxS例 2 计算抛物线 y22x 与直线 yx4 所围成的图形的面积解(1)画图(2)确定在 y 轴上的投影区间:2 4(3)确定左右曲线4)(,21)(2yyyy右左（4)计算积分422)214(dyyyS18614214232yyy例 3 求椭圆12222byax所围成的图形的面积解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在 x 轴上的投影区间为0 a 因为面积元素为 ydx所以aydxS04椭圆的参数方程为:xa cos t yb sin t 于是aydxS0402)cos(sin4tatdb高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室022sin4tdtab20)2cos1(2dttababab222 2极坐标情形极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素由曲线（）及射线围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为ddS2)(21曲边扇形的面积为dS2)(21例 4。计算阿基米德螺线a（a 0）上相应于从 0 变到 2的一段弧与极轴所围成的图形的面积解：202)(21daS322032343121aa例 5.计算心形线a（1cos)（a0)所围成的图形的面积解：02cos1(212daS02)2cos21cos221(da202232sin41sin223aa二、体二、体 积积1旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都可以看作是由连续曲线 yf（x）、直线 xa、ab 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体设过区间a b内点 x 且垂直于 x 轴的平面左侧的旋转体的体积为 V（x）当平面左右平移 dx 后 体积的增量近似为Vf（x)2dx 于是体积元素为dV f（x）2dx 旋转体的体积为dxxfVba2)(例 1连接坐标原点 O 及点 P（h r)的直线、直线 xh 及 x 轴围成一个直角三角形 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体 计算这圆锥体的体积解：直角三角形斜边的直线方程为xhry 所求圆锥体的体积为高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室dxxhrVh20)(hxhr032231231hr例 2 计算由椭圆12222byax所成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体（旋转椭球体）的体积解:这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22xaaby及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体 体积元素为dVy2dx 于是所求旋转椭球体的体积为aadxxaabV)(2222aaxxaab313222234ab例 3计算由摆线 xa（tsin t)ya（1cos t）的一拱 直线 y0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积解所给图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为axdxyV2022022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta52a3所给图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为 x=x1（y）、右半边为 x=x2（y）则aaydyyxdyyxV20212022)()(022222sin)sin(sin)sin(tdtattatdtatta2023sin)sin(tdttta63a32平行截面面积为已知的立体的体积设立体在 x 轴的投影区间为a b 过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截 截面面积为 A(x）则体积元素为 A(x）dx 立体的体积为dxxAVba)(例 4一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积解 取这平面与圆柱体的底面的交线为 x 轴 底面上过圆中心、且垂直于 x 轴的直线为 y 轴那么底圆的方程为x2y2R2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室分别为22xR 及tan22xR 因而截面积为tan)(21)(22xRxA 于是所求的立体体积为dxxRVRRtan)(2122tan3231tan21332RxxRRR例 5 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积解：取底圆所在的平面为 x O y 平面 圆心为原点 并使 x 轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为 x2y2R2 过 x 轴上的点 x（RxR)作垂直于 x 轴的平面 截正劈锥体得等腰三角形 这截面的面积为22)(xRhyhxA于是所求正劈锥体的体积为RRdxxRhV22hRdhR2202221cos2三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长设 A B 是曲线弧上的两个端点 在弧 AB 上任取分点 AM0 M1 M2 Mi1 Mi Mn1MnB 并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段 Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长niiiMM11|的极限存在 则称此极限为曲线弧 AB 的弧长 并称此曲线弧 AB 是可求长的定理定理光滑曲线弧是可求长的光滑曲线弧是可求长的1直角坐标情形直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程yf(x）(axb)给出 其中 f（x)在区间a b上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度取横坐标 x 为积分变量 它的变化区间为a b 曲线 yf（x）上相应于a b 上任一小区间xxdx的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f（x）)处的切线上相应的一小段的长度来近似代替而切线上这相应的小段的长度为dxydydx2221)()(从而得弧长元素（即弧微分）dxyds21以dxy21为被积表达式 在闭区间a b上作定积分 便得所求的弧长为高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室badxys21在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为dxyds21这也就是弧长元素因此例 1 计算曲线2332xy 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的长度解21xy 从而弧长元素dxxdxyds112因此 所求弧长为babaxdxxs)1(32123)1()1(322323ab例 2 计算悬链线cxcych上介于 xb 与 xb 之间一段弧的长度解cxysh 从而弧长元素为dxcxdxcxdschsh12因此 所求弧长为bbbdxcxdxcxs0ch2chcbcdxcxcbsh2sh202参数方程情形参数方程情形设曲线弧由参数方程 x（t)、y（t)（t)给出 其中（t）、(t）在上具有连续导数因为)()(ttdxdy dx（t）dt 所以弧长元素为dtttdttttds)()()()()(12222所求弧长为dttts)()(22例 3 计算摆线 xa（sin）ya（1cos）的一拱(0 2）的长度解 弧长元素为daads2222sin)cos1(da)cos1(2da2sin2所求弧长为高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室202sin2das202cos22 a8a3极坐标情形极坐标情形设曲线弧由极坐标方程（）（）给出 其中 r（）在上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得x（)cosy(）sin（）于是得弧长元素为dyxds)()(22d)()(22从而所求弧长为ds)()(22例 14求阿基米德螺线a（a0)相应于从 0 到 2一段的弧长解弧长元素为dadaads22221于是所求弧长为2021das)412ln(412222a高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室6 3功功水压力和引力水压力和引力一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功例 1把一个带q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 O 处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 O 为 r 的地方 那么电场对它的作用力的大小为2rqkF（k 是常数）当这个单位正电荷在电场中从 ra 处沿 r 轴移动到 rb（ab)处时 计算电场力 F 对它所作的功例 1电量为+q 的点电荷位于 r 轴的坐标原点 O 处它所产生的电场力使 r 轴上的一个单位正电荷从 r=a 处移动到 r=b（ab）处求电场力对单位正电荷所作的功提示：由物理学知道 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中 距离点电荷 r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2rqkF（k 是常数）解：在 r 轴上 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时电场力对它所作的功近似为drrqk2即功元素为drrqkdW2于是所求的功为drrkqWba2barkq1)11(bakq例 2在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀把容器中的一个活塞（面积为 S）从点 a 处推移到点 b 处 计算在移动过程中 气体压力所作的功解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标 x 来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k 即pVk 或Vkp解：在点 x 处 因为 VxS 所以作在活塞上的力为xkSxSkSpF当活塞从 x 移动到 xdx 时 变力所作的功近似为dxxk即功元素为dxxkdW 于是所求的功为高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室dxxkWbabaxklnabkln例 3 一圆柱形的贮水桶高为 5m 底圆半径为 3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功?解 作 x 轴如图 取深度 x 为积分变量 它的变化区间为0 5 相应于0 5上任小区间xxdx的一薄层水的高度为 dx 水的比重为 98kN/m3 因此如 x 的单位为 m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW882xdx此即功元素 于是所求的功为502.88xdxW50222.88x2252.88（kj）二、水压力二、水压力从物理学知道 在水深为 h 处的压强为 ph 这里 是水的比重 如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处 那么 平板一侧所受的水压力为PpA如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强 p 不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算例 4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为 R 水的比重为 计算桶的一个端面上所受的压力解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图在水深 x 处于圆片上取一窄条 其宽为 dx 得压力元素为dxxRxdP222所求压力为RdxxRxP022 2)()(2221220 xRdxRRRxR02322)(32332Rr三、引力三、引力从物理学知道 质量分别为 m1、m2 相距为 r 的两质点间的引力的大小为221rmmGF 其中 G 为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算例 5 设有一长度为 l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质点 M 试计算该棒对质点 M 的引力例 5 求长度为 l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上距棒 a 单位处质量为 m 的质点 M高等数学教案6 定积分的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室的引力解 取坐标系如图 使棒位于 y 轴上 质点 M 位于 x 轴上 棒的中点为原点 O 由对称性知引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取 y 为积分变量 它的变化区间为2 ,2ll 在2 ,2ll上 y 点取长为 dy 的一小段 其质量为dy 与 M 相距22yar 于是在水平方向上 引力元素为2222yaayadymGdFx2/322)(yadyamG引力在水平方向的分量为222/322)(llxyadyamGF22412laalGm