19届内蒙古赤峰二中高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)2808.pdf

2019 届内蒙古赤峰二中 高三上学期第三次月考数学（文）试题 数学 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题 1已知集合 ，则 A B C D 2若复数 满足 ,为虚数单位,则 的虚部为 A B-2 C 2 D 3“”是 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4设 为 的两个零点，且 的最小值为1，则 A B C D 5已知实数 满足 ，则 的最大值为 A-30 B-4 C 2 D 4 6若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的值为 A B C D 7函数 的图像在点 处的切线斜率的最小值是 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A1 B C2 D 8如图，是边长为 1 的正方体，是高为 1 的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为 A B C D 9执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 s 的值为 A B0 C D 10 已知 中，P 为线段 AC 上任意一点，则 的范围是 A1，4 B0,4 C2,4 D ，11 已知双曲线 ，的一条渐近线被圆 截得的弦长为 2，则该双曲线的离心率为 A B C D 二、填空题 12设函数 ，其中 ，存在 使得 成立，则实数 的值是 A B C D1 13已知 为各项都是正数的等比数列，若 ，则 _ 14某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长边长是 15抛物线 的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足 .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为_ 16设数列 的前 n 项和为 若 且 则 的通项公式 _ 三、解答题 17己知 a，b，c 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，且 （1）求角 A 的大小；（2）若 b+c=5，且 的面积为 ，求 a 的值 18某高校共有学生 15 000 人，其中男生 10 500 人，女生 4500 人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：0，2，(2，4，(4，6，(6，8，(8，10，(10，12估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 (3)在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”19如图，在四棱锥 P-ABCD 中，BACD，,平面 平面 ABCD，为等腰直角三角形，.（1）证明：；（2）若三棱锥 B-PCD 的体积为 ，求 的面积.20已知函数 （1）若 ，讨论函数 的单调性；（2）若函数 在 上恒成立，求实数 a 的取值范围 21已知椭圆 C：的短轴长为 2，且椭圆 C 的顶点在圆 M：上.（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆的上焦点作互相垂直的两条弦 AB、CD，求 的最小值.22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (t 为参数，).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 L 的极坐标方程为 .（1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 时，求点 P 到直线 l 的距离的最大值；（2）若曲线 C 上所有的点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围.23已知定义在 R 上的函数 ，且 恒成立.（1）求实数 m 的值；（2）若 ，求证：.2019 届内蒙古赤峰二中 高三上学期第三次月考数学（文）试题 数学 答 案 参考答案 1 B【解析】【分析】根据条件求出集合A，B 的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可【详解】A=x|y=log2（x 2）=x|x 2 0=x|x 2，B=x|x29=x|x3 或 x 3，RB=x|3 x 3，则 A（RB）=x|2 x 3=（2，3）故选：B 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键 2 B【解析】【分析】设复数z=a+bi，代入等式，利用复数相等，求得a，b，得到答案【详解】设复数z=a+bi，则（1+2i）（a+bi）=5，即 a 2b+（2a+b）i=5，所以 解得 ，所以z=1 2i，所以复数z 的虚部为2；故答案为：B 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3A【解析】试题分析：当 时，即 成立；反之，时，或 ，所以，“”是“”的充分而不必要条件，故选 A.考点：充要条件 4A【解析】【分析】先化简已知得 ,再根据题意得出 f（x）的最小值正周期 T 为 12，再求出 的值【详解】由题得 ,设 x1，x2为 f（x）=2sin（x ）（0）的两个零点，且 的最小值为 1，=1，解得 T=2；=2，解得=故选：A【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题 5D【解析】分析：画出可行域，变为 ，平移直线 ，可得直线经 时，有最大值，从而可得结果.详解：画出 表示的可行域，如图，由 ，得 ，变为 ，平行直线 ，当直线经过 时，的最大值为 ，故选 D.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6A【解析】【分析】利用已知条件列出关系式，转化求解即可【详解】双曲线 的一条渐近线的方程为 2x3y=0，可得（3m）（m+1）0，解得：m（1，3），所以：x y=0，是双曲线的渐近线方程，所以 ，解得：m=故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查 7C【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x=b 时的导数值，利用基本不等式求最值得答案【详解】由 f（x）=lnx+x2bx+a，得 f（x）=+2xb（x0），f（b）=+b（b0）f（b）=+b2，当且仅当 b=，即 b=1 时上式取“=”，切线斜率的最小值是 2 故选：C【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是基 础题 8D【解析】试题分析：按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选 D.考点：球的内接多面体.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求，而其他不规则图形的外心，可利用正弦定理来求，若长方体长、宽、高分别为则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点，找几何体外接球球心的一般 方法：过几何体各个面的外心做这个面的垂线，交点即为球心，棱锥顶点到底面的距离为，且顶点到底面的射影为底面外接圆圆心.9B【解析】【分析】模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求 s=sin +sin +sin 的值，观察规律可得 sin 的取值以 6 为周期，且 sin +sin +sin =0，从而可得 s=sin +sin +sin+sin +sin =0【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 s=sin +sin +sin 的值，因为：sin 取值以 6 为周期，且 sin +sin +sin =0，又因为：2015=335*6+5，所以：s=sin +sin +sin =sin +sin +sin+sin +sin =0 故答案为：B【点睛】本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得 到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题 10D【解析】【分析】根据题意，由余弦定理可得|BC|的长，进而可得ABC 为直角三角形，据此建立坐标系，求出 A、C 的坐标以及线段 AC 的方程，设 P（x，y），由数量积的坐标计算公式可得 的表 达式，结合二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意，ABC 中，|AB|=2，|AC|=4，BAC=60，则|BC|2=4+16224cos60=12，则|BC|=2 ，则ABC 为直角三角形；以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴建立坐标系，则 A（0，2），C（2 ，0）；则线段 AC 的方程为 +=1，（0 x2 ）设 P（x，y），则 ，又由 0 x2 ，则 4，故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式 11D【解析】【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公 式，解方程可得 a2=2b2，由 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】双曲线 =1（a0，b0）的渐近线方程为 y=x，圆 x2+y26x+5=0 即为（x3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为 2，圆心到渐近线的距离为 d=，由弦长公式可得 2=2 ，化简可得 a2=2b2，即有 c2=a2+b2=a2，则 e=故答案为：【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的 运用，考查运算能力，属于中档题 12 【解析】试题分析：函数 可以看作是动点 与动点 之间距离的平方，动点 在函数 的图象上，在直线 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由 得 ，解得 ，所以曲线上点 到直线 的距离最小，最小距离 ，则 ，根据题意，要使 ，则 ，此时 恰好为垂足，由 ，解得 .考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点 与动点 之间距离的平方，利用导数求出曲线 上与直线 平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于 ，然后由两直线斜率的关系式求得实数 的值.138【解析】【分析】由等比数列的性质可得 a6=2，而 a5a6a7=a63，代值计算可得【详解】an为各项都是正数的等比数列且 a4a8=4，由等比数列的性质可得 a62=a4a8=4，a6=2，再由等比数列的性质可得 a5a6a7=a63=8，故答案为：8【点睛】本题考查等比数列的性质，属基础题 14 【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个同底同高的三棱 锥所得的组合体，进而得到答案【详解】由三视图知几何体为直三棱柱 ABCDEF 中削去一个三棱锥 ABCD，作出直观图如图所示：由三视图可知底面 DEF 为直角三角形，DEDF，DE=4，BE=5，由侧视图为 DF=3，CD=，BD=，EF=BC=5，几何体的最长棱长为 BD=故答案为：【点睛】本题考查简单几何体的结构特征与三视图，难度中档 151【解析】【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【详解】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得 AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b 由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab 配方得，|AB|2=（a+b）23ab，又ab（）2，（a+b）23ab（a+b）2 （a+b）2=（a+b）2 得到|AB|（a+b）1，即 的最大值为 1 故答案为：1 【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题 16 【解析】【分析】当 n2 时，作差可得 an=（an+1an），从而可得 an+1=3an；再讨论求第 1，2 项，从而求得 【详解】当 n2 时，Sn1=an+1，Sn=an+1+1，作差可得，an=（an+1an），故 an+1=3an；当 n=1 时，3=a2+1，解得，a2=4；故数列an从第 2 项起成等比数列，故 an=，故答案为：，【点睛】本题考查了数列的性质的判断及分类讨论的思想方法及作差法的应用 17()；().【解析】【分析】（）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得 ，则 .（）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得 ，则 .【详解】（）由正弦定理得，即，（）由：可得，由余弦定理得：，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 18（1）90；（2）0.75；（3）%【解析】试题分析：（1）由题知，抽样比例为 50:1，分层抽样是按照男女生比例来比例来抽样的，所以所抽 300 名学生中，男生与女生比例为 10500:4500，可求出女生人数为；（2）观察频率分布直方图，找出每周平均体育运动不超过 4 小时的所有小矩形高即为频率/组距，这些小矩形的面积和即为每周平均体育运动不超过 4 小时的频率，1 减去这个频率就是一周体育运动时间超过 4 小时的频率；（3）根据频率分之直方图计算出这 300 名学生中每周平均体育运动时间超过 4 小时以及不超过 4 小时的人数，列出表格，并代入公式中，得到样本观测值，将该值与表中概率为 0.95 的值比较，可得出有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”试题解析：（1），所以应收集位女生的样本数据（2）由频率分布直方图得，所以该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率的估计值为（3）由（2）知，位学生中有人的每周平均体育运动时间超过小时，人的每周平均体育运动时间不超过小时 又因为样本数据中有份是关于男生的，份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得 所以有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”考点：分层抽样方法，总体估计，独立性检验.19(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先证明 平面 PAB，再证明 .(2)设 ，则 ，过 P 作 于E，根据 求出 的值，再求 的面积.【详解】（1）因为平面 平面 ABCD，平面 平面 ，所以 平面 PDA.又CDAB，平面 PDA.平面 PDA，又 为等腰直角三角形，有 平面 PAB，又 平面 PAB （2）设 ，则 ，过 P 作 于 E，则 .又平面 平面 ABCD，平面 平面 平面 ABCD.又 .，中，.中，.【点睛】(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体的体积常用的方法有公式法、割补法和体积变换法.20（1）见解析（2）【解析】试题分析:(1)先求导数,根据 a 的正负讨论确定导函数符号，进而确定对应单调性(2)分离变量转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值 即得实数 的取值范围.试题解析:（）依题意 ，若 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减；若 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.（）因为 ，故 ，当 时，显然不成立；当 时，化为：；当 时，化为：；令 ，则 ，当 时，时，故 在 是增函数，在 是减函数，因此不成立，要成立，只要 ，所求 的取值范围是 .点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.21（1）椭圆 C 的方程为 ；（2）的最小值为 .【解析】【分析】（1）根据已知得到 a,b 的方程组，即得椭圆的方程.(2)当直线 AB 的斜率不存在或为零时，.当直线 AB 的斜率存在且不为零时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1，求出 .，则 ，再求其最小值.【详解】（1）由题意可得 ，所以 b=1.椭圆 C 的顶点在圆 M：上，所以 .故椭圆 C 的方程为 .（2）当直线 AB 的斜率不存在或为零时，.当直线 AB 的斜率存在且不为零时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1，由 得 ，设 ，由根与系数的关系，得 ，所以 ，同理可得 ，所以 .令 ，则 ，而 ，所以 ，综上，故 的最小值为 .【点睛】（1）本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出 ，其二是求 的最小值.22(1)点 P 到直线 l 距离的最大值为 ;(2)a 取值范围为 .【解析】【分析】（1）先求出直线 l 的方程 ，设 ，求出 P 到直线 l 的距离 ，再求函数的最大值.(2)由题得 ，恒成立，再求 a 的取值范围.【详解】(1)由 ，得 ，化成直角坐标方程，得 ，即直线 l 的方程为 ，依题意，设 ，则 P 到直线 l 的距离 ，当 ，即 时，故点 P 到直线 l 距离的最大值为 .(2)因为曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，恒成立，即 （其中 ）恒成立，又 ，解得 ，故 a 取值范围为 .【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查点到直线的距离的最大值的求法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.23(1);(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题得 恒成立，即|2m|4 即得 m 的值.(2)由题得 ，再利用基本不等式求 的最小值，即不等式得证.【详解】（1）,要使 恒成立，则 ，解得 .又 ，.（2），.，即 ，当且仅当 ，即 ，时取等号，故 .【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.