解三角形题中的边与的转化策略46057.pdf

解三角形题中的边与角的转化策略 舒云水 解答一些解三角形的题目，常常需要运用正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等知识，将已知条件中的边的关系转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式，下面谈谈解三角形题中的边与角转化的常见策略 一、将角的正（余）弦关系式转化为边的关系式 例 1 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知5sinsinsin4ACB，1b，14ac 求,a c的值 分析：运用正弦定理将三个角的正弦关系“5sinsinsin4ACB”转化为三条边的关系“bca45”，联立“45ca”与“14ac”，解方程组即可求出a、c 解：由题设并利用正弦定理，得 4145acca，解得411ca，或141ca 点拨：运用正弦定理将角关系“5sinsinsin4ACB”转化为边关系“bca45”是解本题的关键 例 2 在ABC 中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC求 A 的大小 分析：本题已知条件“2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC”是一个边角混合等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为角；二是将角转化为边本题若将边转化为角，即将已知等式转化为“CBCBCBAsin)sinsin2(sin)sinsin2(sin22”，再化简求 A 比较困难而将角化成边“cbcbcba)2()2(22”，化简得：22ba bcc 2，再利用余弦定理很容易求出 A 解：由已知，根据正弦定理得 cbcbcba)2()2(22，即bccba222 由余弦定理得：Abccbacos2222 故1cos1202AA，点拨：运用正弦定理，将已知的边角混合关系式转化为只含边的关系式是解决本题的切入点、突破口 二、将边的关系式转化为角的三角函数关系式 解答有关解三角形的问题，有时需要运用正（余）弦定理，将已知条件中边的关系转化为角的三角函数关系式 例 3 设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且3coscos5aBbAc求tantanAB的值 分析：根据本题要求的结论tantanAB，本题应将已知条件的边角混合关系式“3coscos5aBbAc”中的边a、b、c转化为Asin、Bsin、Csin，再根据)sin(sinBAC，进一步化简即可求出tantanAB 解：根据3coscos5aBbAc以及正弦定理，可得 33sincossincossinsin()55ABBAcAB，333sincossincossinsincoscossin555ABBAcABAB 因此，有 BABAsincos58cossin52，tan4tanAB 点拨：运用正弦定理将已知的边角混合关系式转化为只含角的关系式是解决本题的关键 例 4 设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且cos3aB，sin4bA求边长a 分析：本题是一道求边长的题目，先将两个已知等式“sin4bA”和“cos3aB”整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定理将ab转化为ABsinsin，化简求出Btan，再进一步求出Bcos、a 解：将 cos3aB、sin4bA两式相除，有 4sinsinsintan3cossincosbABABaBAB，又通过cos3aB 知：cos0B，则3cos5B，5a 点拨：解本题有两个关键点：1.将两个已知条件等式整合，相除；2.运用正弦定理将ab转化ABsinsin 前面分别谈了将角转化为边与将边转化为角两种思路事实上，一些题目用两种转化方法都可以求解，有时还要综合运用上面两种转化方法，下面举一例说明 例 5 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos2cos2cosACcaBb，求sinsinCA的值 思路 1：将边转化为角运用正弦定理将2cab转化为BACsinsinsin2 解法 1：在ABC，由cos2cos2cosACcaBb及正弦定理可得 cos2coscosACBBACsinsinsin2，即BABCBCBAcossincossin2sincos2sincos，则BCBCBABAsincos2cossin2cossinsincos，)sin(2)sin(BCBA，而CBA，则ACsin2sin，即2sinsinAC 思路 2：将角转化为边直接运用余弦定理将Acos、Bcos、Ccos转化为边，得到边的关系式ac2，再运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，即可求出sinsinCA的值 解法 2：在ABC，由cos2cos2cosACcaBb可得 BaBcCbAbcoscos2cos2cos 由余弦定理可得 cbcaabcaacbacacb22222222222222 整理可得ac2，由正弦定理可得2sinsinacAC 三、三角形三个内角之间的转化 根据三角形内角和定理及已知条件，用已知角来表示待求角，也是解三角形问题中常用的转化策略 例 6 在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，已知CbBcAacoscoscos3.（1）求Acos的值；(2)若332coscosCB，求Csin的值 分析：题目所给已知条件关系式是边、角混合式，（1）小题若运用余弦定理化角为边，求解较难适宜运用正弦定理化边为角，得到关系式：)sin(cossincossincossin3CBCBBCAA，再根据三角形内角和定理)sin(CB 将转化为Asin，便可容易求出Acos（1）小题已求出Acos，A为已知角，C为待求角，关键是要运用三角形内角和定理将B转化为)(CA，化简332cos)cos(CCA得CCsin2cos=3，再根据平方关系1cossin22CC，便可求出Csin 解：（1）由 CbBcAacoscoscos3及正弦定理得 AAAsincossin3，所以31cosA （2）322cos1sin2AA 由332coscosCB得 332cos)cos(CCA，展开易得 CCsin2cos=3 又1cossin22CC，所以1sin)sin23(22CC 化简整理得 0)2sin3(2C，02sin3C，36sinC 点拨：注意角之间的转化，将)sin(CB 转化为Asin，Bcos转化为)cos(CA是成功解答本题的关键 练习：1.ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c若(3)coscosbcAaC，则cos A 2.ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，6A，bc2)31(求C 3.ABC 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=2a，求ba 答案：1.33；2.4；3.2