九、平面一般力系平衡方程的其他形式.doc

.word.第九讲内容第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的根本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。1二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点 A、B 及 X 轴，如图 413 所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即000BAMMX(46)式中式中 X X 轴不与轴不与 A A、B B 两点的连线垂直两点的连线垂直。证明：首先将平面一般力系向 A 点简化，一般可得到过 A 点的一个力和一个力偶。假设0AM成立，那么力系只能简化为通过 A 点的合力R R或成平衡状态。如果0BM又成立，说明R R必通过 B。可见合力R R的作用线必为 AB 连线。又因0 X成立，那么0XXR，即合力R R在 X 轴上的投影为零，因 AB 连线不垂直 X 轴，合力R R亦不垂直于 X 轴，由0XR可推得0R。可见满足方程46的平面一般力系，假设将其向 A 点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。2三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 A、B、C，如图 414 所示，那么力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即.word.000CBAMMM47式中，式中，A A、B B、C C 三点不在同一直线上。三点不在同一直线上。同上面讨论一样，假设0AM和0BM成立，那么力系合成结果只能是通过 A、B 两点的一个力图 414或者平衡。如果0CM也成立，那么合力必然通过 C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，0CM才能成立。因此，力系必然是平衡力系。综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式45、式46、式47，在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。【例 47】某屋架如图 415a所示，设左屋架及盖瓦共重kN31P，右屋架受到风力及荷载作用，其合力kN72P，2P与 BC 夹角为80，试求 A、B 支座的反力。【解】取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴 X 轴和 Y轴，如图 415b所示，列出三个平衡方程kN39.2342.0770cos 070cos 02A2APXPXX030tan470cos1270sin416 0221BAPPPYM.word.kN34.516577.0342.07494.0712341630tan70cos470sin124221BPPPY030tan470cos470sin12 16 0221ABPPPYMkN24.41630tan70cos470sin412221APPPY校核094.07334.524.470sin21BAPPYYY说明计算无误。【例 48】梁 AC 用三根支座链杆连接，受一力kN50P作用，如图 416a所示。不计梁及链杆的自重，试求每根支座链杆的反力。【解】取 AC 梁为研究对象，画其受力图，如图 416b所示。列平衡方程时，为防止解联立方程组，最好所列的方程中只有一个未知力，因此，取AR和BR的交点 O为矩心列平衡方程.word.kN2.376866.05045.0502660sin460cos2 0460sin260cos6 0CCO1PPRPPRM取BR与CR的交点 O2为矩心列平衡方程 0260sin460cos45cos6 0AO2PPRMkN99.216707.0)866.05025.0504(6)60sin260cos4(APPR取060cos45cos45cos 0BAPRRXkN37.13707.05.050707.099.2145cos60cos45cos ABPRR校核0866.0502.37707.037.13707.099.2160sin45sin45sinCAPRRRYB说明计算无误。3平面力系的特殊情况平面一般力系是平面力系的一般情况。除前面讲的平面汇交力系，平面力偶系外，还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况，它们的平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到，现讨论如下。1平面汇交力系对于平面汇交力系，可取力系的汇交点作为坐标的原点，图 417(a)所示，因各力的作用线均通过坐标原点 O，各力对 O 点的矩必为零，即恒有0OM。因此，只剩下两个投影方程0 0YX即为平面汇交力系的平衡方程。2平面力偶系平面力偶系如图 417(b)所示，因构成力偶的两个力在任何轴上的投影必为零，那么恒有0 X和0Y，只剩下第三个力矩方程，但因为.word.力偶对某点的矩等于力偶矩，那么力矩方程可改写为0Om即平面力偶系的平衡方程。3平面平行力系平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系，如图417所示，选 OY 轴与力系中的各力平行，那么各力在 X 轴上的投影恒为零，那么平衡方程只剩下两个独立的方程00OMY48假设采用二力矩式46，可得00BAMM49式中式中 A A、B B 两点的连线不与各力作用线平行。两点的连线不与各力作用线平行。平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。【例 49】图 418 所示为塔式起重机。轨距m4b，机身重kN260G，其作用线到右轨的距离m5.1e，起重机平衡重kN80Q，其作用线到左轨的距离m6a，荷载P的作用线到右轨的距离m12l，1试证明空载时0P时起重机时否会向左倾倒？2求出起重机不向右倾倒的最大荷载P。【解】以起重机为研究对象，作用于起重机上的力有主动力 G、P、Q.word.及约束力AN和BN，它们组成一个平行力系图 418。（1）使起重机不向左倒的条件是0BN，当空载时，取0P，列平衡方程0)(0BAbeGbNaQM0kN5.237680)45.1(26041)(1BaQbeGbN所以起重机不会向左倾倒（2）使起重机不向右倾倒的条件是0AN，列平衡方程lPeGbaQbNlPeGbNbaQM)(1 0)(0AAB欲使0AN，那么需0)(lPeGbaQkN17.345.1260)46(80121)(1eGbaQlP当荷载kN17.34P时，起重机是稳定的。二、物体系统的平衡二、物体系统的平衡前面研究了平面力系单个物体的平衡问题。但是在工程构造中往往是由假设干个物体通过一定的约束来组成一个系统。这种系统称为物体系统。例如，图示 419a所示的组合梁，就是由梁 AC 和梁 CD 通过铰 C 连接，并支承在 A、B、D 支座而组成的一个物体系统。.word.在一个物体系统中，一个物体的受力与其他物体是严密相关的；整体受力又与局部严密相关的。物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态。在研究物体系统的平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作用力，同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力，系统内各物体之间的相互作用力称为内力。例如图 419b的组合梁的受力图，荷载及 A、B、D 支座的反力就是外力，而在铰 C 处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力。应当注意，外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的，例如图 419 组合梁在铰 C 处两段梁的相互作用力，对组合梁的整体来说，就是内力，而对左段梁或右段梁来说，就成为外力了。当物体系统平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，因而，对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程。如果该物体系统有n个物体，而每个物体又都在平面一般力系作用下，那么就有n3个独立的平衡方程，可以求出n3个未知量。但是，如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系的作用，那么独立的平衡方程将相应减少，而所能求的未知量数目也相应减少。当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目，那么未知量可由平衡方程全部求出，这样的问题称为静定问题。当未知量的数目超过了独立平衡方程数目，那么未知量由平衡方程就不能全部求出，这样的问题，那么称为超静定问题，在静力学中，我们不考虑超静定问题。在解答物体系统的平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象，也可以选取物体系统中某局部物体 一个物体或几个物体组合 作为研究对象，以建立平衡方程。由于物体系统的未知量较多，应尽量防止从总体的联立方程组中解出，通常可选取整个系统为研究对象，看能否从中解出一或两个未知量，然后再分析每个物体的受力情况，判断选取哪个物体为研究对象，使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以简化计算。下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。【例 410】组合梁受荷载如图 420(a)所示。kN,161PkN202P，mkN8m，梁自重不计，求支座 A、C 的反力。.word.【解】组合梁由两段梁 AB和 BC 组成，作用于每一个物体的力系都是平面一般力系，共有6 个独立的平衡方程；而约束力的未知数也是 6A 处有三个，B处有两个，C 处有 1 个。首先取整个梁为研究对象，受力图如图420b所示。kN1060cos 060cos 02A2APXPXX其余三个未知数AY、Am和CR，无论怎样选取投影轴和矩心，都无法求出其中任何一个，因此，必须将 AB 梁和 BC 梁分开考虑，现取 BC 梁为研究对象，受力图如图 420c所示。kN1060cos 060cos 02B2BPXPXXkN66.8260sin 0160sin2 02C2BPRPRMCkN66.860sin 060sin 02CB2BCPRYPYRY再回到受图 420bkN98.655260sin4 0260sin45 0C12AA12CAmRPPmmmPPRMkN66.2460sin 060sin 0C21A21CARPPYPPRYY.word.校核：对整个组合梁，列出0866.82866.020111666.24398.65260sin113-C21AABmRPPYmM可见计算无误。【例 411】钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图 421a所示，kN/m16q，kN24P，求支座 A、B 和铰 C 的约束反力。【解】三铰刚架由左右两半刚架组成，受到平面一般力系的作用，可以列出六个独立的平衡方程。分析整个三铰刚架和左、右两半刚架的受力，画出受力图，如图b、c、d所示，可见，系统的未知量总计为六个，可用六个平衡方程求解出六个未知量。1取整个三铰刚架为研究对象，受力图如图 421b所示kN471048161 0161048 0BBAPqYYPqMkN1056128161 0166128 0AABPqYYPqM(a)0 0BABAXXXXX.word.2取左半刚架为研究对象，受力图如图 421c所示kN4148881 08488 0AAACqYXYqXMAkN238 08 0ACCAYqYqYYYkN41 0X 0ACCAXXXX将AX值代入a，可得kN41AB XX校核：考虑右半刚架的平衡，受力图如图 421d所示04141BCXXX0841847224882BBCXYPM0242347-CBPYYY可见计算无误。【412】图 422a所示，在支架上悬挂着重kN4P的重物，B、E、D 为铰接，A 为固定端支座，滑轮直径为 300mm，轴承 C 是光滑的，其余尺寸如图示。各杆和滑轮、绳子重量不计，求 A、B、C、D、E 各处的反力。【解】：本构造中，DE 为二力杆，因此 D、E 处铰链反力有 1 个未知量；A 为固定端支座有 3 个未知的约束反力；B、C 处铰链反力各有 2 个未知量；滑轮两边的绳子拉力各有 1 个未知量；共 10 个未知量。考虑到 AB、BC 和滑轮三个构件处于平衡，其可写 9 个平衡方程；再加上重物在二力作用下处于平衡，可有 1 个平衡方程。平衡方程的数目恰好等于未知量的数目。.word.取整个构造为研究对象，图 422b 列平衡方程0 0AXXkN4 0 0PYPYYAAkN6.815.24 015.2 0AAAmPmM考虑重物的平衡图 422e 根据二力平衡公理知kN41 PT考虑滑轮的平衡图 422d ，列平衡方程kN4 015.015.0 01212CTTTTM可见，在不计轴承摩擦的情况下，滑轮处于平衡时，其两边绳子的拉力相等。kN83.245cos 045cos 02C2CTXTXXkN83.645sin 045sin 021C21CTTYTTYY再考虑 BC 杆的平衡图 422c ，列平衡方程.word.kN32.1945cos2 0145cos2 0CCBYSSYMkN83.1045sin 045sin 0CBBSXXXSXXCkN83.645cos 045cos 0CBBYSYYSYYC校核：取 BC 杆平衡图 422c ，由于0707.032.19183.6245sin12BCSYM可见计算无误。