双曲线中焦点三角形的探索4776.pdf
双曲线中焦点三角形的探索 基本条件：1：该三角形一边长为焦距 2c，另两边的差的约对值为定值 2a。2：该三角形中由余弦定理得|2|cos21221222121PFPFFFPFPFPFF结合定义，有|24|2|212212212221PFPFaPFPFPFPFPFPF 性质一、设若双曲线方程为2222xy1ab（a0，b0），F1,F2 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：若12FPF,则122FPFSb cot2；特 别 地，当12FPF90时，有122FPFSb。证明：记2211|,|rPFrPF，由双曲线的定义得.4)(,2222121arrarr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr 即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bacrr 由任意三角形的面积公式得：2cot2sin22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF.2cot221bSPFF 特别地，当90时，2cot1，所以122FPFSb 同理可证，在双曲线12222bxay（a0，b0）中，公式仍然成立.例 4 若 P 是双曲线1366422yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求21PFF的面积.解法一：在双曲线1366422yx中，,10,6,8cba而.60记.|,|2211rPFrPF 点 P 在双曲线上，由双曲线定义得：.16221arr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方，得：21221)(rrrr400.25640021rr从而.14421rr.3362314421sin212121rrSPFF 解法二：在双曲线1366422yx中，362b，而.60 33630cot362tan221bSPFF 考题欣赏（2010 全国卷 1 理）(9)已知1F、2F为双曲线 C:221xy的左、右焦点，点 P 在 C 上，1FP2F=060，则 P 到 x 轴的距离为(A)32 (B)62 (C)3 (D)6【答案】B（2010 全国卷 1 文）（8）已知1F、2F为双曲线 C:221xy的左、右焦点，点 P 在 C 上，1FP2F=060，则12|PFPF (A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B【解析 1】.由余弦定理得 cos1FP2F=222121212|2|PFPFFFPFPF 22221212121201212222 221cos60222PF PFPFPFPF PFFFPF PFPF PF 12|PFPF 4【解析 2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot1 cot3sin6022222F PFSbPF PFPF PF 12|PFPF 4 性质一推论：在双曲线12222byax（a0，b0）中，左右焦点分别为1F、2F，当点P 是双曲线左支上任意一点，若21FPF，则cossin221cacbSPFF.特别地，当9021FPF时，有acbSPFF221。当点 P 是双曲线右支上任意一点，若21FPF（双曲线渐近线的倾斜角），则accbSPFFcossin221 证明：i、当 P 为左支上一点时，记2211|,|rPFrPF（21rr），由双曲线的定义得arrarr2,21212，在21PFF中，由余弦定理得：.cos44221221rcrcr 代入得.)2(cos44211221arcrcr 求得cos21cabr。cossinsin2cos21sin212221121cacbccabFFrSPFF得证 特别地，当90时，acbSPFF221 ii、当 P 为右支上一点时，记2211|,|rPFrPF（21rr），由双曲线的定义得arrarr2,21221，在21PFF中，由余弦定理得：.cos44221221rcrcr 代入得.)2(cos44211221arcrcr 求得acbrcos21。accbcacbFFrSPFFcossinsin2cos21sin212221121得证 例 5 （1）若 P 是双曲线1366422yx左支上的一点，1F、2F是其焦点，且6021FPF，求21PFF的面积.（2）若 P 是双曲线1422yx右支上的一点，1F、2F是其焦点，且6021FPF，求21PFF的面积.（1）解 法 一：在 双 曲 线1366422yx中，,10,6,8cba而.60记.|,|2211rPFrPF 点 P 在双曲线上，由双曲线定义得：121216.162rrarr 在21PFF中，由余弦定理得：.cos44221221rcrcr.)16(60cos4040021121rrr 解得：13361r .3131802320133621sin2121121FFrSPFF 解法二：在双曲线1366422yx中，,10,6,8cba362b，而.60 31318060cos10860sin1036cossin221cacbSPFF（2）解 法 一：在 双 曲 线1422yx中，,5,2,1cba而.60记.|,|2211rPFrPF 点 P 在双曲线上，由双曲线定义得：2.221221rrarr 在21PFF中，由余弦定理得：.cos44221221rcrcr.)2(60cos542021121rrr 解得：)25(81r 1583202352)25(821sin2121121FFrSPFF 解法二：在双曲线1366422yx中，,10,6,8cba362b，而.60 160cos560sin54cossin221accbSPFF158320 性质二、双曲线的焦点三角形 PF1F2 中，1 22 1PFF,PFF,当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot;22e1 当点 P 在双曲线左支上时，有e 1cottan22e 1 证明：由正弦定理知211 2|F P|FP|FF|sinsinsin()由等比定理，上式转化为211 2|F P|FP|FF|sinsinsin()2a2csinsinsin()2sincossinsincoscossincsin()2222222asinsin2cossinsinsincoscossin2222222 分子分母同除以cossin22，得 tancot1e 122etancot22e 1tancot122
