等腰三角形三线合一7346.pdf
-.z.1、如图，已知 AC 平分BAD,CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BC=CD.（1）求证：BCEDCF（2）若 AB=17，AD=9，求 AE 的长.2、如图，已知 AB=AC,A=36，AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D,交 AB 于点 M,求证：（1）BD 平分ABC；（2）BCD 为等腰三角形.3、已知：如图BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DEAB,DFAC,垂足分别为E，F试说明：BE=CF；若 AF=3，BC=4，求ABC 的周长 4、如图，ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 为 BC 的中点，点 E 与点 C 关于直线AD 对称，CE 与 AD、AB 分别交于点 F、G，连接 BE、BF、GD 求证：(1)BEF 为等腰直角三角形；（2)ADCBDG.-.z.5、如图，在等腰 RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G（1）试说明 AHBH（2）求证：BDCG（3）探索 AE 与 EF、BF 之间的数量关系 6、（本题 14 分）如图（1），在ABC 和EDC 中，D 为ABC 边 AC 上一点，CA 平分BCE，BCCD，ACCE.（1）求证：ABCEDC；（2）如图（2），若ACB60，连接 BE 交 AC 于 F，G为边 CE 上一点，满足 CGCF，连接 DG 交 BE 于 H.求DHF 的度数；若 EB 平分DEC，试说明：BE 平分ABC.-.z.参考答案 1、（1）证明见解析（2）1 2、（1）证明见解析（2）证明见解析 3、(1)证明详见解析；(2)10 4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EFBF，理由见解析 6、（1）略（2）DHF=60 略【解析】1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出 CF=CE,在证明就可以得出 DF=BE；(2)先证明，就可以得出 AF=AE，设 DF=BE=*，就可以得出 8+*=10-*，求出方程的解即可.试题解析：（1）AC 平分BAD,CEAB 于 E,CFAD 于 FCE=CF,在 RtBCE 和 RtDCF 中,CE=CF BC=CD,RtBCERtDCF（HL）（2）由（1）得，RtBCERtDCFDF=EB，设DF=EB=*由 RtAFCRtAEC（HL）可知 AF=AE 即：AD+DF=AB-BEAB=17，AD=9，DF=EB=*9+*=17-*解得，*=4 AE=AB-BE=17-4=1 点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等直角三角形全等的判定定理是 SAS，ASA，AAS，SSS，HL 2、试题分析：（1）由 AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于 M，求得ABD 是等腰三角形，即可求得ABD 的度数，然后根据等边对等角，求得DBC 的度数，从而得证；（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得BDC=C，再根据等角对等边得证.试题解析：（1）MN 为 AB 的中垂线，AD=BD，则A=ABD=36，AB=AC，A=36，ABC=C=72，DBC=36，因此，BD 平分ABC；（2）由和2=36 C=72，BDC=180-36-72=72，C=ABD+DBC=BDC，BCD 为等腰三角形.3、试题分析：（1）连接 DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明 RtBEDRtCFD（HL），得出结论；（2）先证明AEDAFD，得AF=AE=3，再将ABC 的周长进行等量代换，即ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AFCF+BC，代入求值即可试题解析：连接 DB、DC，（1）AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，DG 垂直平分 BC，DB=DC，在 RtBED 和 RtCFD 中，DE=DF，BD=CD，RtBEDRtCFD（HL），BE=CF；（2）DAE=DAF，AED=AFD=90，AD=AD，AEDAFD，AF=AE=3，由（1）得：BE=CF，ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AFCF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质 4、试题分析：（1）连接 DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出 CF=EF，CD=DE，推出 CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出BEF 是直角三角形，求出AFC=BEC=ACD=90，CAF=ECB，根据全等三角形的判定定理得出ACFCBE，根据全等三角形的性质得证；（2）作ACB 的平分线交 AD 于 M，根据 ASA 推出-.z.ACMCBG 得出ADC=M，CD=BM，根据 SAS 推出DCMDBG，求出M=BDG，即可得出答案.试题解析：（1）连接 DE，点 E、C 关于 AD 对称，AD 为 CE 的垂直平分线，CD=DE，D 为 CB 中点，CD=DE=DB，DCE=CED，DEB=DBE，DCE+CED+DEB+DBE=180，CEB=90，ECB+ACF=90，CAF+ACF=90，ECB=CAF，在ACF 和CBE 中，ACFCBE（AAS），CF=BE，右CF=EF，EF=EB，EFB 为等腰直角三角形.（2）作ACB 的平分线交 AD 于 M，在ACM 和CBG 中，ACMCBG（ASA），CM=BG，在DCM 和DBG中，DCMDBG（SAS），ADC=GDB.5、试题分析：（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明ACGCBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明ACECBF 即可试题解析：（1）AC=BC，CHABAHBH（2）ABC 为等腰直角三角形，且 CHABACG45CAGACE90，BCFACE90CAGBCF 在ACG 和CBD 中ACGCBD（ASA）BDCG（3）AE=EFBF 理由如下：在ACE 和CBF 中，ACECBF，AE=CF，CE=BF，AE=CF=CE+EF=BF+EF 6、（1）CA平分BCE，ACB=ACE.在ABC和EDC中BCCD，ACB=ACE，ACCEABCEDC（SAS）（2）在BCF和DCG中BC=DC,BCD=DCE,CF=CG,BCFDCG（SAS）,CBF=CDG.CBF+BCF=CDG+DHFBCF=DHF=60.EB平分DEC，DEH=BEC.DHF=60,HDE=60-DEH.BCE=60+60=120,CBE=180-120-BEC=60-BEC.HDE=CBE.A=DEG.ABCEDC,BCFDCG（已证）BFC=DGC，ABF=BFC-A,HDE=DGC-DEG,ABF=HDE,ABF=CBE,BE平分ABC.
