排列数与组合数的性质与运算42067.pdf
第 92 课时 排列数与组合数的性质与运算 【教学目标】1理解排列与组合数的概念；2能将排列与组合实际问题按排列的定义进行抽象，运用框图进行概括；3能运用乘法原理推导排列与组合公式；4掌握排列与组合数公式，运用排列与组合公式解决简单的排列问题。【教学重点】理解排列与组合的概念及排列与组合公式的推导与运用。【教学难点】能用排列与组合的定义正确地鉴定实际问题是否为排列与组合问题。【教学过程】一知识整理 1.排列数定义：从 n 个不同元素中，每次取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号mnP表示；当 m=n 时，叫做 n 个元素的全排列数，用符号nnP表示，也可以用符号nP表示。2排列数公式：),()1()2)(1(nmNmnmnnnnPmn且其中 注意：从公式的特点分析，右边第一个因数最大 n，后面的每次因数都比它前面一个因数少 1（递减），最后一个因数为 nm+1，共有 m 个因数（连续自然数）相乘。（公式的特征）（1）全排列数：n123)2n)(1n(nPn!（n 个连续的自然数的乘积，常用记号 n!表示，读作 n 阶乘）。（2）排列数公式：（解决了一般性的计算问题，介绍计算器的使用）)!mn(!nPmn （规定：0！=1）说明：排列数有二个公式：个数m)1()2)(1(mnnnnPmn 常用于计算。)!mn(!nPmn 常用于有关恒等式证明，解方程时。3.组合数的公式：(1）组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数用符号mnC表示(2）组合数公式的推导：!)1()2)(1(mmnnnnPPCmmmnmn或)!(!mnmnCmn),(nmNmn且 (3）组合数的性质 Cnm=Cnn-m rnrnrnCCC11 rCnr=nCn-1r-1 Cn0+Cn1+Cnn=2n Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0 即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1 二例题精析【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，解决问题能力【题目】解方程：3213113xxCC；【解答】由原方程得123xx 或1 2313xx，4x 或5x，又由111312313xxxN 得28x且xN，原方程的解为4x 或5x 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x 和5x 代入检验,这样运算量小得多。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，证明题，中档题，逻辑推理能力。【题目】求证：mnmnmnPmPP11。【解答】.)11()1()1()1)(2()1()11()1()1()1(:11mnmnmnPmnnnnmmnmnnnmnnmnmnnnmPP证一.)!1()!1(11)!(!11)!(!)!1(!)!(!:11mnmnmnPmnnmnnmnnmnmmnnmnmnmnnmPP证二 【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析问题能力。【题目】从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1名女生参加，有多少种选法【解答】问题可以分成 2 类：第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有225460C C 中选法；第二类 3 名男生和 1 名女生参加，有315440C C 中选法 依据分类计数原理，共有 100 种选法 【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，分析问题与解决问题能力，逻辑思维能力。【题目】设 an=1+q+q2+qn-1(nN,q1),An=Cn1a1+Cn2a2+Cnnan（1）求 An(用 n 和 q 表示)（2）当-391，且 q-1 时，求nlimnnA2。【解答】（1）an=qqn11 An=q11Cn1(1-q)+Cn2(1-q2)+Cnn(1-qn)=q11 Cn1+Cn2+Cnn-(Cn1q+Cn2q+Cn1qn)=q11(2n-1)-(1+q)n+1=q112n-(1+q)n（2）nlimnnA2=q111-nlim(21q)n-3p1,|21q|1 nlimnnA2=q11 三课堂反馈 【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算,选择题，易题，分析能力【题目】式子2171010mmCC（mN）的值的个数为 （）A1 B2 C3 D4【解答】A【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算,填空题，易题，分析能力【题目】化简：9981mmmCCC 【解答】0【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算,填空题，易题，分析能力【题目】从 6 个同学中，挑选 3 人分别担任正组长，副组长和干事，问共有 种不同的选法.【解答】120456P36 【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算,解答题，中档题，分析能力【题目】要安排五名工人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工，已知工人甲不能当钳工和油漆工，问共有多少种安排工作的方法【解答】（种）7212343PP413【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】若直线方程 Ax+By=0 的系数 A、B、C 可以 0，1，2，3，5，7 六个数字中取不同的值，则这些方程表示的不同直线有多少条【解答】22225P【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，分析能力【题目】4 名男生和6 名女生组成至少有1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种【解答】解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C，1624CC，2614CC，所以，一共有34C+1624CC+2614CC 100种方法 解法二：（间接法）10036310CC 四课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）1.条件限制的排列与组合问题，这里所说的限制表现为：某个位置上不能排某个元素，或某个元素只能排在某个位置上，及某些元素和位置具有特殊的要求。2解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 （1）确定该题是否是排列、还是组合问题；（2）正确地找出元素 n，位置 m。（3）准确地运用乘法还是加法原理。五课后作业【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，中档题，分析能力【题目】若108nnCC，则20nC的值为 【解答】190【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】某段铁路上有 12 个车站，共需要准备多少种普通客票【解答】如何确定一张车票起点与终点，相当于框图中的两个位置。需要准备的车票的种数就是从 12 个车站中任取 2 个的排列数，即：)(1321112212种P。答：共需要准备 132 种普通客票。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，中档题，分析能力【题目】10 个人走进放有一排 6 把椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐 1 人，问有 种不同的坐法【解答】因为问题实际上就是从 10 个人中任取 6 个人的排列数，即：种）(1512005678910610P。答：有 151200 种不同的坐法。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】计算52541618CC的值。【解答】224712535412316171825431852541518CCCC【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算,解答题，易题，逻辑思维能力。【题目】在 1，2，3，8，9 这 9 个不同数字中，任意取 3 个不同数字构成一个三位数，问共有多少个不同的三位数【解答】504789P39,答：共有 504 个不同的三位数。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析能力【题目】有 6 位团员坐成一排照相，6 个座位平均分成两排，若甲、乙不能在同一排，有多少种不同的坐法【解答】甲随意坐，16P；乙另一排选一座位，13P，因此16P432413PP。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，解决问题能力.【题目】解方程：333222101xxxxxPCC【解答】原方程可化为3323101xxxPC，即3353101xxPC，(3)!(3)!5!(2)!10!xxxx，11120(2)!10(1)(2)!xx xx，2120 xx，解得4x 或3x ，经检验：4x 是原方程的解 【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，证明题，中档题，分析问题【题目】求证：1211342312mmmCCCCC【解答】111211112021342402134231302134231202mmmmmmmmmmmmmCCCCCCCCCCCCCCCCCCC左边
