惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式.12289.pdf

-.z.惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点：(一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图 1 所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 y ydAdSxxdAdSy x dA 整个图形对 y、z 轴的静矩分别为 xC y AAyydASxxdAS I-1 0 Ay x 2.形心与静矩关系 图 I-1 设平面图形形心 C 的坐标为CCzy,那么 0 ASyx ，ASxy I-2 推论 1 如果 y 轴通过形心即0 x，那么静矩0yS；同理，如果 x轴通过形心即0y，那么静矩0Sx；反之也成立。推论 2 如果 x、y 轴均为图形的对称轴，那么其交点即为图形形心；如果 y 轴为图形对称轴，那么图形形心必在此轴上。3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为nAAAA321,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为332211,yxyxyx；，那么图形对 y 轴和 x-.z.轴的静矩分别为 niniiixixniiiniyiyyASSxAS1111S I-3 截面图形的形心坐标为 niiniiiAxAx11 ，niiniiiAyAy11 I-4 4.静矩的特征(1)界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。(2)静矩有的单位为3m。(3)静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，假设图形对某一轴的静矩为零，那么该轴必通过图形的形心。(4)假设图形的形心坐标。那么可由式I-1求图形对坐标轴的静矩。假设图形对坐标轴的静矩，那么可由式I-2求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式I-3求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式I-4求出其形心坐标。二.惯性矩 惯性积 惯性半径 1.惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为 A图 I-3，那么图形对 O 点的极惯性矩定义为 ApdAI2 I-5-.z.图形对 y 轴和 x 轴的光性矩分别定义为 AydAxI2 ，dAyIAx2 I-6 惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m。（3）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。（4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即 AxyApIIdAyxdAI)(222 I-7（5）组合图形图 I-2对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即 niiII1，niyiyII1，nixiIIx1 I-8 y 1x1C1A y 2x2C x dA 2A y nxnCnA1y 0 x 0 ny2y x 图 I-2 图 I-3 2.惯性积-.z.定义 设任意形状的截面图形的面积为 A图 I-3，那么图形对 y 轴和 x 轴的惯性积定义为 AxyxydAI I-9 惯性积的特征（1）界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。（2）惯性积的单位为4m。（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。假设一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，那么图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即 nixyixyII1 I-10 3.惯性半径 定义：任意形状的截面图形的面积为 A图 I-3,那么图形对 y轴和 x 轴的惯性半径分别定义为 AIiyy ，AIixx I-11 惯性半径的特征（1）惯性半径是对某一坐标轴定义的。（2）惯性半径的单位为 m。（3）惯性半径的数值恒取证之。-.z.三.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 平行移轴公式 AbIIAaIIyCyxCx22 I-12 abAIIxCyCxy I-13 平行移轴公式的特征 1意形状界面光图形的面积为 A图I-4；CCyx，轴为图形的形心轴；x，y 轴为分别与CCyx，形心轴相距为 a 和 b 的平行轴。2两对平行轴之间的距离 a 和 b 的正负，可任意选取坐标轴 x，y 或形心CCyx，为参考轴加以确定。3在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。y dA b C Cx a 0 x 图 I-4(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩 转轴公式 转轴公式的特征(1)角度的正负号，从原坐标轴 x,y 转至新坐标轴11,yx，以逆时针转向者为正图 5。(2)原点O为截面图形平面的任意点，转轴公式与图形的形心无关。(3)图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯-.z.性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即 主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点 O 为坐标原点的坐标轴0 x、0y的惯性积为零000yxI，那么坐标轴0 x、0y称为图形通过点 O 的主惯性轴(图 6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩00,yxII，称为主惯性矩。主惯性轴、主惯性矩确实定(1)对于某一点O，假设能找到通过点 O 的图形的对称轴，那么以点 O 为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形 或组合图形，往往其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点 o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。(2)假设通过某一点 o 没有图形的对称轴，那么可以点 o 为坐标原点，任作一坐标轴 x，y 为参考轴，并求出图形对参考轴 x，y的惯性矩yxII,和惯性积xyI。于是，图形通过点 o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为 yxxyIII22tan0 I-16 220022xyyxyxyxIIIIIII (I-17)主惯性轴、主惯性矩的特征 1图形通过某一点 O 至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点 O 所有轴的惯性矩中最大和最小。2主惯性轴的方位角0，从参考轴 x，y 量起，以逆时针转-.z.向为正。3假设图形对一点 o 为坐标原点的两主惯性矩相等，那么通过点 o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都一样。4以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。yy 0 x 0 x A 0 图 I-5 图 I-6 二.典型例题分析 例 I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的 x 轴的静矩。解：计算此截面对于 x 轴的静矩xS时，可以去平行于 x 轴的狭长条(见图)作为面积元素因其上各点的 y 坐标相等，即dyybdA)(。由相似三角形关系，可知:)()(yhhbyb,因此有dyyhhbdA)(。将其代入公式I-1的第二式，即得 y dy h b(y)y 0 x b 例题 I-a 图 解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。-.z.10 例 I-2 试确定图示-b截面形心 C 的位置 解：将截面分为、两个矩形。为计算方便，取 x 轴和 y 轴分别与界面的底边和左边缘重合见图。先计算每一个矩形的面积iA和形心坐标iiyx,如下：矩形 2120012010mmA mmx5210 ，mmy602120 矩形 27007010mmA mmx4527010 ，mmy5210 将其代入公式I-4，即得截面形心 C 的坐标为 解题指导：此题是将不规那么图形划分为两个规那么图形利用已有的规那么图形的面积和形心，计算不规那么图形的形心。y 10 120 x x x 80 图-b 例 I-3 试求图 I-c 所示截面对于对称轴 x 轴的惯性矩xI 解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于 x 轴的惯性矩为 xI，每一个半圆形对于 x 轴的惯性矩为xI，那么由公式I-11的第一式可知，所给截面的惯性矩：xxxIII2 1 矩形对于 x 轴的惯性矩为：-.z.4433105330122008012)2(mmadIx 2 半圆形对于 x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此，先求出每个半圆形对于与 x 轴平行的形心轴Cx图 b的惯性矩xCI。半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x图 b的惯性据之半，即1284dIx。而半圆形的面积为82dA，其形心到底边的距离为32d图 b。故由平行移轴公式I-10a，可以求出每个半圆形对其自身形心轴Cx的惯性矩为：8)32(128)32(2242dddAdIIxxC 3 由图 a 可知，半圆形形心到 x 轴距离为32da，故在由平行移轴公式，求得每个半圆形对于 x 轴的惯性矩为：将 d=80mm、a=100mm 图 a代入式4，即得 4222103460)380100221003280(4)80(xImm4 将求得的 xI和xI代入式1，便得 44410122501034602105330 xI mm4 解题指导：此题是将不规那么图形划分为假设干个规那么图形，利用已有的规那么图形的面积、形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。xc 100 d 常用截面惯性矩计算公式 图I-c 40 a=100 32da x 32d x 图 I-c 40 d=80