高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版37298.pdf
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化.一、零点存在定理 例 1.【2019 全国理 20】函数()sinln(1)f xxx,()fx为()f x的导数 证明：（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()f x有且仅有 2 个零点【解析】（1）设 g xfx,则 211cos,sin11g xxgxxxx.当1,2x 时,()g x单调递减,而 00,02gg,可得()g x在1,2有唯一零点,设为.则当1,x 时,0g x；当,2x时,()0g x.所以()g x在1,单调递增,在,2单调递减,故()g x在1,2存在唯一极大值点,即 fx在1,2存在唯一极大值点.（2）f x的定义域为(1,).（i）由（1）知,fx在1,0单调递增,而 00f,所以当(1,0)x 时,()0f x,故 f x在(1,0)单调递减,又(0)=0f,从而0 x 是 f x在(1,0的唯一零点.（ii）当0,2x时,由（1）知,()f x在(0,)单调递增,在,2单调递减,而(0)=0f,02f,所 以 存 在,2,使 得()0f,且 当(0,)x时,()0f x；当,2x时,()0f x.故()f x在(0,)单调递增,在,2单调递减.又(0)=0f,1ln 1022f,所以当0,2x时,()0f x.从而 f x 在0,2没有零点.（iii）当,2x时,0fx,所 以 f x在,2单 调 递 减.而 0,02ff,所以 f x在,2有唯一零点.（iv）当(,)x 时,ln11x,所以()f x0,从而 f x在(,)没有零点.综上,f x有且仅有2个零点.【变式训练 1】【2020南开中学月考】已知函数3()sin(),2f xaxxaR且在,0,2上的最大值为32，（1）求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在（0，）的零点个数，并加以证明【解析】(1)由已知得()(sincos)f xaxxx对于任意的 x(0,2)，有sincos0 xxx,当 a=0 时,f(x)=32，不合题意；当 a0 时,x(0,2),f(x)0 时,x(0,2),f(x)0,从而 f(x)在(0,2)单调递增，又函数3()sin2f xaxx(aR)在0,2上图象是连续不断的，故函数在0,2上上的最大值为 f(2)=2a32=32，解得 a=1，综上所述,得3()sin(),2f xxxaR；(2)函数 f(x)在(0,)有且仅有两个零点。证明如下：由(I)知,3()sin2f xaxx从而有 f(0)=320，又函数在0,2上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0,2)至少存在一个零点，又由(I)知 f(x)在(0,2)单调递增,故函数 f(x)在(0,2)仅有一个零点。当 x2,时,令 g(x)=f(x)=sinx+xcosx，由 g(2)=10,g()=0,且 g(x)在2,上的图象是连续不断的，故存在 m2,),使得 g(m)=0.由 g(x)=2cosxxsinx,知 x(2,)时,有 g(x)g(m)=0,即 f(x)0，从而 f(x)在(2,m)单调递增 故当 x(2,m)时,f(x)f(2)=320，从而(x)在(2,m)无零点；当 x(m,)时,有 g(x)g(m)=0,即 f(x)0,f()0 且 f(x)在m,上的图象是连续不断的，从而 f(x)在m,有且仅有一个零点。综上所述,函数 f(x)在(0,)有且仅有两个零点。【变式训练 2】【2020枣庄期末】已知函数 ln2sinf xxxx,fx为 f x的导函数.(1)求证:fx在0，上存在唯一零点;(2)求证:f x有且仅有两个不同的零点.【解析】(1)设 112cosg xfxxx，当0,x时，212sin0gxxx，所以 g x在0,上单调递减，又因为31 103g ，2102g 所以 g x在,3 2 上有唯一的零点，所以命题得证 (2)由(1)知：当0,x时，0fx，f x在0,上单调递增;当,x 时，0fx，f x在,上单调递减;所以 f x在0,上存在唯一的极大值点32 所以 ln2202222ff 又因为2222111122sin220feeee ，所以 f x在0,上恰有一个零点 又因为 ln20f，所以 f x在,上也恰有一个零点 当,2x时，sin0 x，lnf xxx，设 lnh xxx，110h xx 所以 h x在,2上单调递减，所以 0h xh 所以当,2x时，0f xh xh恒成立 所以 f x在,2上没有零点 当2,x时，ln2f xxx 设 ln2xxx，110 xx 所以 x在2,上单调递减，所以 20 x 所以当2,x时，20f xx恒成立 所以 f x在2,上没有零点 综上，f x有且仅有两个零点 【变式训练 3】（2020 年 3 月市高三质检文）（1）研究函数，在 0 xxsinxf上的单调性；（2）求函数 xcosxxg2的最小值 解析（1）略 【变式训练 4】（2020 年 3 月市高三质检理）（1）证明函数xcosxxsineyx22在区间2,上单调递增；（2）证明函数 xsinxexfx2在0,上有且仅有一个极大值点，且 200 xf 【变式训练 5】（2020 年省九校高三第二次联考理科数学）【变式训练 6】（2020 年省八校高三第三次质检理科数学）解析：二、零点存在性赋值理论 例、（2020 年省一中模拟）已知函数.xcosxexfx2（1）当0,x，求证：0 xf；（2）若函数 1xlnxfxg，求证：函数 xg存在最小值.【变式训练 1】已知函数.axxcosxf12 （1）当21a时，证明：0 xf；（2）若 xf在R上有且只有一个零点，求a的取值围.
