2019届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学(理)试卷(解析版)2603.pdf

2019 届吉林省实验中学 高三上学期期中考试数学（理）试卷 数学 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题 1已知全集 集合 ，则 用区间可表示为 A ，B ，C ，D ，2已知向量2,3a，,1bx，若ab，则实数x的值为 A 32 B 32 C 23 D 23 3等差数列an中，a1+a5=14，a4=10，则数列an的公差为 A 1 B 2 C 3 D 4 4若 ，且为第二象限角，则 A B C D 5在正项等比数列an中，若a1=2，a3=8,数列an的前n 项和为 ，则S6的值为 A 62 B 64 C 126 D 128 6函数 的零点个数为 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 7设可导函数 在 R 上图像连续且存在唯一极值，若在 x2 处，f(x)存在极大值，则下列判断正确的是 A 当 时 当 时 .B 当 时 当 时 .C 当 时 当 时 .D 当 时 当 时 .8设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是 A B ）（，C D 9函数 的最小正周期为 A B C D 10在 中，若 ，则 的值为()A B C D 11设偶函数 满足 ，且当 时，则 在 上的单调性为 A 递增 B 递减 C 先增后减 D 先减后增 12设函数 是定义在 上的函数，其中 的导函数为 ，满足对于 恒成立，则下列各式恒成立的是 A B C D 二、填空题 13已知向量 ，则 与 的夹角余弦值为_ 14在ABC 中，若 ，则 _.15若 f(x)x3f(1)x2x ，则在（1，f(1)）处曲线 的切线方程是_ 16关于函数 有如下命题：是 图像的一条对称轴；（）是 图像的一个对称中心（）将 的图像向左平移 ，可得到一个奇函数图象.其中真命题的序号为 _ 三、解答题 17已知等差数列 满足 。（1）求通项 ；（2）设 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求数列 通项公式及前 n 项和 .18若向量 其中 记 且最小正周期为 ，（1）求 的表达式；（2）将 f（x）的图象向右平移 个单位后得到 y=g（x）的图象，求 在 上的值域 19设数列 的前项和为 ，满足 （1）求数列 的通项公式；（2）设 求数列 前项和 20设函数 .（1）求函数 的极小值;（2）若关于 的方程 在区间 上有唯一实数解，求实数 的取值范围.21在 中，角 的对边的边长为 ，且 。（1）求 的大小；（2）若 ，且 ，求边长 的值。22已知函数 f（x）=lnxax，其中 a 为实数 （1）求出 f（x）的单调区间；（2）在 a1 时，是否存在 m1，使得对任意的 x（1，m）,恒有 f（x）+a0，并说明理由.2019 届吉林省实验中学 高三上学期期中考试数学（理）试卷 数学 答 案 参考答案 1 C【解析】【分析】先化简集合A 和 B，再根据交集运算的定义求解。【详解】集合 =，=或 所以 ，答案选C。【点睛】在进行集合运算时，当集合没有化简，要先化简集合；当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；当集合为无限集时，可借助数轴进行运算。集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A 且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中 A 元素，剩余元素成补集。2 B【解析】向量2,3a，,1bx，由ab，得230 x，解得：32x ，故选B.3 C【解析】【分析】利用等差数列的性质，a1+a5=14可化为 ，可求 ，再运用公差计算公式 即可求出结果。【详解】因为an为等差数列，所以 =而 a4=10，所以 ，所以公差 =3。答案选 C。【点睛】本题考查了等差数列的性质及公差计算公式，属于基础题。4A【解析】【分析】先由诱导公式得 ，再求出 ，最后根据定义求 。【详解】因为 ，所以 ，又因为 为第二象限角，所以 ，所以 =。答案选 A【点睛】本题考查了诱导公式，同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。5C【解析】【分析】根据 a1=2，a3=8 先求出公比为 2，再代入an的前 n 项和公式计算即可。【详解】因为an是正项等比数列，所以 ，即 ，所以an的前 6 项和为 为 =126，答案选 C【点睛】本题考查了等比数的公比计算公式及前 n 项和公式，属于基础题。6C【解析】【分析】函数 的零点个数问题等价于方程 解的个数问题，考查函数 和函数 的图像交点个数，即可。【详解】作出函数 和函数 的图像如下：由图像可知，函数 和函数 的图像有两个交点，即方程 有 2 个解，所以函数 的零点有 2 个，答案选 C。【点睛】本题考查了函数与方程的关系，涉及函数数零点的问题可化为方程根的个数问题讨论，而方程解的个数问题又可化为函数的零点问题进行讨论，而数形结合是解决这类问题最主要的方法。7A【解析】【分析】根据函数极值的判定方法，极大值点左侧导函数值为正，右侧为负，即可判断。【详解】由题意知，x2 为导函数 的极大值点，所以，当 ）时，；当 时，。故答案选 A。【点睛】本题考查函数极值的判定方法，属于基础题。8B 【解析】【分析】首先判断 为定义域 上的偶函数，再讨论当 和 时的单调性，最后将不等式 化为 ，即 ，求解即可。【详解】易知 为定义域 上的偶函数，当 时，因为 和 均为减函数，所以 在 时为减函数。根据偶函数的性质可得，在 时为增函数。所以不等式 等价于 或 解得 ）（，。答案选 B。【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式问题，其中根据函数的解析式得到函数的定义域和单调性、奇偶性转化不等式是解题关键，着重考查了转化能力以及推理计算能力，综合性较强，属于中档题。9D【解析】【分析】利用二倍角公式把函数 化为 ，再运用辅助角公式把函数化为 ，最后求最小正周期【详解】=，所以最小正周期 。答案选 D。【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的最小正周期的求法，此类问题通常要先对所给函数式进行恒等变换，最终化为 的形式，再利用正弦函数的性质进行求单调区间，最值或值域，对称轴或对称中心，周期则要用公式 计算。10A【解析】【详解】在 中，所以 =27。所以 ，答案选 A。11D【解析】【分析】由函数 满足 ，可得函数 的周期为 4，且为偶函数，另外，当 时，是增函数，可推测 在 ，）上单调减，运用周期性即可推断在 上的单调性。【详解】因为 满足 ，所以函数 的周期为 4。又当 时，所以 ，且当 时，有 ，所以 在 上单调增。另外，因为函数 是 R 上的偶函数，所以 在 ，）上单调减，所以 在 ，上先减后增；所以 在 上的单调性为先减后增。答案选 D。【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，根据函数的奇偶性，周期性和单调性的关系是解决问题的关键。本题是一道综合性较强的中档题。12B【解析】【分析】构造函数 ，求出 ，得到该函数为 R 上的增函数，故得 ，从而可得到结论。【详解】设 ，（）所以 =因为对于 ，所以 ，所以 是 R 上的增函数，所以 ，即 ，整理得 和 ）。故答案选 B。【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题。13 -【解析】【分析】将条件代入向量夹角计算公式即可。【详解】设 与 的夹角为，则 =-。【点睛】本题考查平面向夹角的计算，属于基础题。142【解析】【分析】由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可。【详解】因为 所以 ，所以 =2。【点睛】本题主要考查正弦定理的变形运用，属于基础题。152x-3y+1=0【解析】【分析】首先对函数求导得 ，把 代入可求 ，把 代入函数 可求 ，用点斜式方程写出切线并化简即可。【详解】因为 f(x)x3f(1)x2x ，所以 把 代入，则 ，所以 ，把 代入，则 所以过点（1，f(1)）处曲线 的切线方程 整理得 。【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题。16(2)(3)【解析】【分析】运用二倍角、辅助角公式将函数 化为 ，分别求其对称轴，对称中心，并进行图像平移，讨论三个结论即可。【详解】函数 可化为 ，所以 ，所以函数 的对称轴为 ，故命题（1）错误；函数 的对称中心为 ，取 时，对称中心为 ，命题（2）正确；函数 向左平移 个单位，得 =，为奇函数，命题（3）正确。故答案为(2)(3)。【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的对称性、三角函数的图像平移，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题 17（1）；（2），。【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组 ，求解即可；（2）可先求出 的通项，再解出数列 通项公式，求其前 n 项和则运用分组求和的方法求解即可。【详解】（1）由题意得 ，解得 ，（2），-1 ，。【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可。18（1）；（2），。【解析】【分析】(1)运用向量的数量积计算公式代入，并对函数式进行三角恒等变换，可得 的表达式；（2）先根据图像平移得到 ，再结合图像与性质求值域。【详解】（1）由向量 其中 记 得 由 得，所以 。（2）将 图像向右平移 个单位，可得 ，当 时，所以 ，故 ，即 的值域为 ，。【点睛】本题主要考查三角恒等变换及三角函数的值域，属于中档题。形如 ，的函数求值域，分两步：（1）求出 的范围；（2）由 的范围结合正弦函数的单调性求出 ，从而可求出函数的值域。19（1）；（2）。【解析】【分析】（1）根据数列的前 n 项和与数列的通项的关系 ，可求通项；（2）先由（1）的结论求出数列 和 的通项公式，再运用裂项法求其前 n 项和。【详解】（1）当 时，-得 ；即 又 ；得：，数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列 （2），【点睛】本题考查数列的前 n 项和与数列的通项的关系及裂项法求和，属于中档题。在运用数列的前 n项和与数列的通项的关系求数列的通项时，比较容易忘记关系式 中的条件，即求出通项后，一定要验证 n=1 时，通项公式是否也成立。20（1）函数 的极小值为 ；（2），。【解析】【分析】（1）对函数求导并求导函数的零点，讨论函数单调性，确定极小值点，并求得极值。（2）结合（1）的结果“方程 在区间 上有唯一实数解”即为 ，解不等式即可。【详解】（1）依题意知 的定义域为 。令 解得 或 当 或 时，当 时，所以 的增区间为 和 减区间为 ，所以函数 的极小值为 。（2）由（1）得 在 上为增函数 所以要使方程 在区间 上有唯一实数解，只需 ，所以 ，。即 取值范围为 ，。【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及讨论方程问题，属于中档题。21（1）；（2）。【解析】【分析】（1）运用正弦定理将条件 中的边化为角，进行三角恒等变形，可得 ；（2）运用余弦定理，三角形的面积公式。结合条件 ，即求 。【详解】（1）由正弦定理得 又因为在三角形中，可得，又，所以.由 及余弦定理得：，即 【点睛】本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积。属于中档题。22（1）答案见解析；（2）在 a1 时，存在 m1，使得对任意 x（1，m）恒有 f（x）+a0。理由见解析。【解析】【分析】（1）对函数求导，并分 a0 和 a0 两种情况讨论。可求出结果；（2）结合（1）将 a1 分为 a0 和 两种情况进行讨论即可。【详解】（1）f（x）=lnxax，当 a0 时，f（x）0 恒成立，函数 f(x)在定义域（0，+）递增；无减区间 当 a0 时，令 f（x）=0，则 x=，当 x（0，）时，f（x）0，函数为增函数，当 x（，+）时，f（x）0，函数为减函数。综上可得，当 时增区间为 ，无减区间 当 时 增区间为 减区间为 （2）在 a1 时，存在 m1，使得对任意的 x（1，m）恒有 f（x）+a0。理由如下：由（1）得 当 a0 时，函数 f(x)在（1，m）递增，此时 ，即 ，当 时 增区间为 减区间为 ，而 即 f（x）+a0。综上可得：在 a1 时，存在 m1，使得对任意 x（1，m）恒有 f（x）+a0。【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力。属于中档题。