导数及其应用第八讲导数的综合应用2471.pdf

专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用 2019 年 1（2019 天津理 8）已知 aR，设函数 f(x)2 2 2,1,x ax a x x aln x,x 1,若关于 x 的不等式 f(x)0在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为 A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 2.（2019 全国理 20）已知函数 f(x)2x3 ax2 b.（1）讨论 f(x)的单调性；（2）是否存在 a,b，使得 f(x)在区间0,1 的最小值为 1且最大值为 1？若存在，求 出 a,b 的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019 浙江 22）已知实数 a 0，设函数 f(x)=aln x x 1,x 0.3（1）当 a 时，求函数 f(x)的单调区间；4（2）对任意 1 x x,)均有(),f x 求 a 的取值范围.e 2a 2 注：e=2.71828为自然对数的底数.4.（2019 全国理 20）已知函数 f(x)sin x ln(1 x)，f(x)为 f(x)的导数证明：（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；2（2）f(x)有且仅有 2 个零点 1 5.（2019 全国理 20）已知函数 f x ln x x .x 1（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 y ex 的 切线.1 6.（2019 江苏 19）设函数 f(x)(x a)(x b)(x c),a,b,cR、f(x)为 f（x）的导函 数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 ab，b=c，且 f（x）和 f(x)的零点均在集合 3,1,3中，求 f（x）的极小值；（3）若 a 0,0 b 1,c 1，且 f（x）的极大值为 M，求证:M 4 27 1 7.（2019 北京理 19）已知函数 f(x)x3 x2 x.4（）求曲线 y f(x)的斜率为 1 的切线方程；（）当 x 2,4时，求证：x 6 f x x.(III)设 F(x)f x x a a R，记 F(x)在区间2,4上的最大值为 M a，当 M a最小 时，求 a 的值.8.（2019 天津理 20）设函数 f(x)ex cos x,g(x)为 f x的导函数.（）求 f x的单调区间；（）当 x ,4 2 时，证明 f x g x x()()0；2 （）设 x 为函数u(x)f(x)1在区间2 ,2 m m n 4 2 内的零点，其中 nN，证 明 2n e 2n x 2 sin x cos x n 0 0 .2010-2018 年 一、选择题 1（2017 新课标）若 x 2是函数 f(x)(x2 ax 1)ex1 的极值点，则 f(x)(x2 ax 1)ex1 的极小值为 A 1 B 2e3 C5e3 D1 2（2017 浙江）函数 y f(x)的导函数 y f(x)的图像如图所示，则函数 y f(x)的图 2 像可能是 y O x y y O x x O A B y y x x O O C D 3(2016 全国 I)函数 y 2x ex 在2,2的图像大致为 2|A B C D 3 f x m x n x m ，n 在区间 1 2 1 2 8 1 0 0，4（2015 四川）如果函数 2 2 2 单调递减，那么 mn 的最大值为 81 A16 B18 C25 D 2 5（2015 新课标）设函数 f(x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数，f(1)0，当 x 0 时，xf x f x 0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是()()A,1 U 0,1 B1,0 U 1,C,1 U 1,0 D0,1 U 1,6（2015 新课标）设函数 f(x)ex(2x 1)ax a，其中 a 1，若存在唯一的整数 x，0 使得 f(x)0，则 a 的取值范围是 0 A,1)3 B 3,3)C 3,3)3 B 3,3)C 3,3)2e 2e 4 2e 4 3 D,1)2e 7（2014 新课标）若函数 f(x)kx ln x在区间(1,)单调递增，则 k 的取值范围是 A,2 B,1 C2,D1,8（2014 陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 y(千米)y=3x-6 y=-x 湖面 x(千米)O 2 A C y 1 x 1 x x B 1 3 1 2 3 y x x x 3 2 2 2 2 2 y x x D 1 3 1 2 2 1 y x x x 3 4 4 2 9（2014 新课标）设函数 f x 3 sin x 若存在 f x的极值点 m x 满足 0 2 x f x m，则 m 的取值范围是 2 2 0 0 A,66,B,44,4 C,22,D,11,10（2014 陕西）如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10 千 米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为 y 2 x 5-5 O A-2 地面跑道 A C y 1 x 3 x B 2 3 4 3 y x x 125 5 125 5 y 3 x x D 3 3 1 y x x 3 125 125 5 11（2014 辽宁）当 x 2,1时，不等式 ax3 x2 4x 3 0恒成立，则实数 a 的取值范 围是 A 5,3 B 6,9 C 6,2 D 4,3 8 12（2014 湖南）若 0 x x 1，则 1 2 A ex ex x x B ln ln ln ln ex ex x x 2 1 2 1 2 1 2 1 C x e x e D x x 1 2 2 1 x ex x ex 1 2 2 1 13（2014 江西）在同一直角坐标系中，函数 (a R)的 图 像 不 可 能 的 是 a y ax x 与 y a2 x3 2ax2 x a 2 2 y y y y O x x O A x O B C x O D f x x3 ax2 bx c，下列结论中错误的是 14（2013 新课标）已知函数 A x R f x 0,0 0 5 B函数 y f x的图像是中心对称图形 C若 x 是 f x的极小值点，则 f x在区间 ,x 单调递减 0 0 D若 x 是 f x的极值点，则 f x 0 0 0 15（2013 四川）设函数 f(x)ex x a（a R，e 为自然对数的底数），若曲线 y sin x 上存在点(0 y)x，使得 0 f(0)，则 a 的取值范围是(f y y 0 A 1,e Be1 1，1 C 1，e 1 D e1 1，e 1 16（2013 福建）设函数 f(x)的定义域为 R，0(0 0)x x 是 f(x)的极大值点，以下结论一 定正确的是 Ax R,f(x)f(x)B 是 f(x)的极小值点 x 0 0 C x 是 f(x)的极小值点 D 是 f(x)的极小值点 x 0 0 1 2 17（2012 辽宁）函数 y x ln x 的单调递减区间为 2 A(1,1 B(0,1 C 1,+)D(0,+)18（2012 陕西）设函数 f(x)xex，则 A x 1为 f(x)的极大值点 B x 1为 f(x)的极小值点 C x 1为 f(x)的极大值点 D x 1为 f(x)的极小值点 19（2011 福建）若 a 0，b 0，且函数 f(x)4x3 ax2 2bx 2 在 x 1处有极值，则 ab 的最大值等于 A2 B3 C6 D9 20（2011 浙江）设函数 f x ax bx c a b c R，若 x 1为函数 2,f x e 的一 x 个极值点，则下列图象不可能为 y f x的图象是 A B C D 6 21（2011 湖南）设直线 x t 与函数 f(x)x2，g(x)ln x 的图像分别交于点 M,N，则当 MN 达到最小时t 的值为 A1 B 1 2 C 5 2 D 2 2 二、填空题 22（2015 安徽）设 x3 ax b 0，其中 a,b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅 有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）a 3,b 3；a 3,b 2；a 3,b 2；a 0,b 2；a 1,b 2 23（2015 四川）已知函数 f(x)2，g(x)x2 ax（其中 a R）对于不相等的实数 x x，设 m 1,x 2 f f x(x1)()，2 x x 1 2 n g(x1)g(x)，现有如下命题：2 x x 1 2 对于任意不相等的实数 x，都有 m 0；1,x 2 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x，都有 n 0；2 对于任意的 a，存在不相等的实数 x，使得 m n；1,xx，使得 m n；2 对于任意的 a，存在不相等的实数 x，使得 m n 1,xx，使得 m n 2 其中的真命题有（写出所有真命题的序号）24（2015 江苏）已知函数 f(x)|ln x|，0,0 x 1 g(x)，则方程|x2 4|2,x 1|f(x)g(x)|1实根的个数为 25（2011 广东）函数 f x x3 x2 在 x=_处取得极小值()3 1 三、解答题 26(2018 全国卷)已知函数 1 f(x)x aln x x(1)讨论 f(x)的单调性；7 (2)若 f(x)存在两个极值点 f(x)f(x)x x，证明：1 2 a 2 1,2 x x 1 2 27(2018 全国卷)已知函数 f(x)ex ax 2(1)若 a 1，证明：当 x 0 时，f(x)1；(2)若 f(x)在(0,)只有一个零点，求 a 28(2018 全国卷)已知函数()(2)ln(1)2 f x x ax2 x x (1)若 a 0，证明：当 1 x 0 时，f(x)0；当 x 0 时，f(x)0；(2)若 x 0 是 f(x)的极大值点，求 a 29(2018北京)设函数 f(x)ax2 (4a 1)x 4a 3ex (1)若曲线 y f(x)在点(1,f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x 2 处取得极小值，求 a 的取值范围 30(2018 天津)已知函数 f(x)ax，g(x)log x，其中 a 1 a(1)求函数 h(x)f(x)xln a 的单调区间；(2)若曲线 y f(x)在点 (x,f(x)处的切线与曲线 y g(x)在点 1 1 (x,g(x)处的切 2 2 线平行，证明 2ln ln a x g(x)；1 2 ln a 1(3)证明当 e a 时，存在直线l，使l 是曲线 y f(x)的切线，也是曲线 y g(x)的 e 切线 31(2018 江苏)记 f(x),g(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数若存在 x R，满足 0 f(x)g(x)且 0 0 f x g x，则称()()0 0 x 为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”0(1)证明：函数 f(x)x 与 g(x)x2 2x 2 不存在“S 点”；(2)若函数()1 f x ax2 与 g(x)ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；(3)已知函数 f x x a，()be()g x 对任意 a 0，判断是否存在b 0，使函 x 2 x 8 数 f(x)与 g(x)在区间(0,)内存在“S 点”，并说明理由 32(2018 浙江)已知函数 f(x)x ln x (1)若 f(x)在 x x，1 x(2 x x)处导数相等，证明：1 2 f(x)f(x)8 8ln 2；1 2(2)若 a 3 4ln 2，证明：对于任意 k 0，直线 y kx a 与曲线 y f(x)有唯一 公共点 33（2017 新课标）已知函数 f(x)ae2x (a 2)ex x (1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 34（2017 新课标）已知函数 f(x)ax ax xln x，且 f(x)0 2(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 x，且e2 f(x)22 0 0 35（2017 新课标）已知函数 f(x)x 1 aln x (1)若 f(x)0，求 a 的值；1 1 1(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n，(1 )(1 )(1 )m，求 m 的最小值 2 2 2n 2 36（2017 浙江）已知函数 f(x)(x 2x 1)ex(1)x 2（）求 f(x)的导函数；1（）求 f(x)在区间,)上的取值范围 2 37（2017 江苏）已知函数()1 f x x3 ax2 bx (a 0,bR)有极值，且导函数 f(x)的极值点是 f(x)的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；b2 3a；（2）证明：（3）若 f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于 7 ，求 a 的取值范围 2 38（2017 天津）设 aZ，已知定义在 R 上的函数 f(x)2x4 3x3 3x2 6x a 在区 9 间(1,2)内有一个零点 x，g(x)为 f(x)的导函数 0（）求 g(x)的单调区间；（）设 m1,x)U(x,2，函 数 h(x)g(x)(m x)f(m)，求证：h(m)h(x)0；0 0 0 0 （）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 p,q，且 p q 1,x)U(x,2,0 0 p 1 满足|x|0 4 q Aq 39（2017 山东）已知函数 f x x x，cos sin 2 2 2 2 cos g x e x x x ，其中 x e 2.71828L 是自然对数的底数（）求曲线 y f x 在点(,f()处的切线方程；（）令 h(x)g(x)af(x)(a R)，讨论 h(x)的单调性并判断有无极值，有极值 时求出极值 2x 1 40(2016 年山东)已知 f(x)a x ln x ,aR x 2（I）讨论 f(x)的单调性；3（II）当 a 1时，证明 f x f x 对于任意的 x1,2成立()2 41(2016 年四川)设函数()ln f x ax2 a x，其中 a R.（I）讨论 f(x)的单调性；1（II）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)e1 x 在区间(1,)内恒成立(e=2.718 x 为自然对数的底数)42(2016 年天津)设函数 f x x 3 ax b,x R，其中 a,b R()(1)(I)求 f(x)的单调区间；(II)若 f(x)存在极值点 x，且 f(x)()，其中 1 f x 0 0 x ，求证：1 x 0 x x ；1 2 0 3 1()设 a 0，函数 g(x)|f(x)|，求证：g(x)在区间 1,1上 的 最 大 值 不 小 于 4 43(2016 年全国)已知函数 f(x)(x 2)ex a(x 1)有两个零点 2 10 （I）求 a 的取值范围；（II）设 x，1 x 是 f(x)的两个零点，证明：2 x x 1 2 2 44(2016 年全国)(I)讨论函数 x 2 f(x)e 的单调性，并证明当 x 0 时，(x 2)ex x 2 0；x x 2 ex ax a 有最小值设 g x 的最小值为(II)证明：当 a0,1)时，函数 g x=(x 0)x 2 h(a)，求函数 h(a)的值域 45(2016 年全国)设函数 f(x)cos 2x (1)(cos x 1)，其中 0，记|f(x)|的最大值为 A （）求 f(x)；（）求 A；（）证明|f(x)|2A 46（2016 年浙江高考）已知 a 3，函数 F(x)=min2|x 1|,x2 2ax 4a 2，其中 minp,q=p p q，q,p q （I）求使得等式 F(x)x 2ax 4a 2 成立的 x 的取值范围；2（II）（i）求 F(x)的最小值 m(a)；（ii）求 F(x)在区间0,6 上的最大值 M(a)47(2016 江苏)已知函数 0,0,1,1 f x ax bx a b a b （1）设 a 2，1 b 2 求方程 f x 2 的根；若对于任意 xR，不等式 f 2x mf x 6 恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若 0 a 1，b 1，函数 g x f x 2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 48(2015 新课标）设函数 f(x)emx x mx 2 11 ()证明：f(x)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；()若对于任意 x，1 x 1,1，都有|f(x)f(x)|e 1，求 m 的取值范围 2 1 2 49(2015 山东)设函数 f(x)ln(x 1)a(x2 x)，其中 a R （）讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由；（）若x 0，f(x)0 成立，求 a 的取值范围 50（2015 湖南）已知 a 0，函数 f(x)eax sin x(x0,)记 x 为 f(x)的从小到大 n 的第 n(n N*)个极值点 证明：（1）数列 f(x)是等比数列；n 1（2）若 a ，则对一切 n N*，x|f(x)|恒成立 n n e2 1 51（2014 新课标）已知函数 f(x)x 3x ax 2，曲线 y f(x)在点（0，2）处 3 2 的切线与 x 轴交点的横坐标为2（）求 a；（）证明：当 k 1时，曲线 y f(x)与直线 y kx 2 只有一个交点 f x 52(2014 山东）设函数 (2 ln)（k 为常数，e 2.71828L 是自然对数 e x 2 k x x x 的底数）（）当 k 0 时，求函数 f x的单调区间；（）若函数 f x在0,2内存在两个极值点，求 k 的取值范围 1 a f x aln x x bx a 1，曲线 y f(x)在点 53（2014 新课标）设函数 2 2(1,f(1)处的切线斜率为 0（）求b；a x 使得 ，求 a 的取值范围（）若存在 0 1,f x 0 1 a x 1 54（2014 山东）设函数 f(x)aln x ，其中 a 为常数 x 1 12 （）若 a 0，求曲线 y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（）讨论函数 f(x)的单调性 55(2014 广东)已知函数()1 3 2 1()f x x x ax a R 3（）求函数 f(x)的单调区间；（）当 a 0 时，试讨论是否存在 1 1 x(0,)U(,1)，使得 0 2 2 1 f(x)f()0 2 56(2014 江苏)已知函数 f(x)ex ex，其中 e 是自然对数的底数（）证明：f(x)是 R 上的偶函数；（）若关于 x 的不等式 mf(x)ex m 1 在(0,)上恒成立，求实数 m 的取值范围；（）已知正数 a 满足：存在 x0 1,)，使得 f(x0)a(x03 3x0)成立试比较 ea 1 与 ae 1 的大小，并证明你的结论 57（2013 新课标）已知函数 f(x)ex(ax b)x 4x，曲线 y f(x)在点(0,f(0)2 处切线方程为 y 4x 4 （）求 a,b 的值；（）讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值 58（2013 新课标）已知函数 f x x2e ()x（）求 f(x)的极小值和极大值；（）当曲线 y f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在 x 轴上截距的取值范围 a 59（2013 福建）已知函数 f(x)x 1 （aR，e为自然对数的底数）e x（）若曲线 y f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；（）求函数 f(x)的极值；（）当 a 1的值时，若直线l:y kx 1与曲线 y f(x)没有公共点，求 k 的最大 值 13 60(2013 天津)已知函数 f(x)x ln x 2（）求函数 f(x)的单调区间；（）证明：对任意的t 0，存在唯一的 s，使t f(s)（）设（）中所确定的 s 关于t 的函数为 s g(t)，证明：当t e2 时，有 2 ln g(t)1 5 lnt 2 61（2013 江苏）设函数 f(x)ln x ax，g(x)ex ax，其中 a 为实数（）若 f(x)在(1,)上是单调减函数，且 g(x)在(1,)上有最小值，求 a 的取值 范围；（）若 g(x)在(1,)上是单调增函数，试求 f(x)的零点个数，并证明你的结论 62（2012 新课标）设函数 f(x)ex ax 2 （）求 f(x)的单调区间；（）若 a 1，k 为整数，且当 x 0 时，(x k)f(x)x 1 0，求 k 的最大值 63（2012 安徽）设函数 1 f(x)aex b(a 0)ae x（）求 f(x)在0,)内的最小值；（）设曲线 y f(x)在点(2,f(2)的切线方程为 3 y x，求 a,b 的值 2 ln x k 64（2012 山东）已知函数 f(x)（k 为常数，e 2.71828 是自然对数的底数），e x 曲线 y f(x)在点(1,f(1)处的切线与 x 轴平行（）求 k 的值；（）求 f(x)的单调区间；（）设 g(x)(x2 x)f(x)，其中 f(x)是 f(x)的导数 证明：对任意的 x 0，g(x)1 e2 65（2011 新课标）已知函数 f(x)aln x b x 1 x ，曲线 y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程 14 为 x 2y 3 0（）求 a，b 的值；（）证明：当 x 0，且 x 1时，()ln x f x x 1 66（2011 浙江）设函数 f(x)a2 ln x x2 ax，a 0 （）求 f(x)的单调区间；（）求所有实数 a，使 e 1 f(x)e2 对 x 1,e恒成立注：e 为自然对数的底 数 67（2011 福建）已知 a，b 为常数，且 a 0，函数 f(x)ax b axln x，f(e)2（e=2.71828是自然对数的底数）（）求实数b 的值；（）求函数 f(x)的单调区间；（）当 a 1时，是否同时存在实数 m 和 M(m M)，使得对每一个t m,M，直线 y t 与曲线 y f(x)(x 1 e ，e)都有公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数 M；若不存在，说明理由 68（2010 新课标）设函数 f(x)x(ex 1)ax 2 1（）若 a ，求 f(x)的单调区间；2（）若当 x 0 时 f(x)0，求 a 的取值范围 15