1.4.1正弦函数和余弦函数的图象2020-2021学年高一数学课时同步练(人教A版必修4)4340.pdf
第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 班级：_ 姓名：_ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若点(2M，)m在函数sinyx的图象上，则m等于 A0 B1 C1 D2【答案】C【解析】由题意sin2m，故1m，1m 故选 C 21 sinyx，0 x，2 的图象与直线2y 交点的个数是 A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】作出1siny x在0，2 上的图象，可知只有一个交点 故选 B 3对于正弦函数sinyx的图象，下列说法错误的是 A向左右无限伸展 B与cosyx的图象形状相同，只是位置不同 C与x轴有无数个交点 D关于y轴对称【答案】D【解析】sinyx是周期函数，图象可以向左右无限伸展，故A正确，sin()cos2yxx，则与cosyx的图象形状相同，只是位置不同，故B正确，与x轴有无数个交点，故C正确，sinyx是奇函数，图象关于原点对称，故D错误，故选 D 4在区间0，2 中，使sinyx与cosyx都单调递减的区间是 A0，2 B2，C，32 D32，2 【答案】B【解析】在区间0，2 中，sinyx的减区间是2，32；cosyx的减区间是0，；sinyx和cosyx的公共减区间是 2，302，2，故选 B 5如图是下列哪个函数的图象 A1siny x，0 x，2 B12siny x，0 x，2 C1siny x，0 x，2 D12siny x，0 x，2 【答案】C【解析】将sinyx，0 x，2 的图象 沿x轴进行对称变换得sinyx 的图象，再将sinyx 的图象沿y轴上移 1 个单位，得1sinyx，0 x，2 的图象（如图）故选 C 6已知函数()sin(2)4f xx，给出下列四个结论：函数()f x的最小正周期为；函数()f x图象关于直线8x对称；函数()f x图象关于点3(,0)8对称；函数()f x在3,88上是单调增函数 其中正确结论的个数是 A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】函数()sin(2)4f xx，给出下列四个结论：函数()f x的最小正周期为；故正确 函数()f x图象关于直线8x对称；由于()08f 故错误 函数()f x图象关于点3(,0)8对称；当38x时，3()18f 故错误 函数()f x在3,88上是单调增函数 则：2242x，故正确 故选 B 7已知函数()cos(2)(|)2f xx的一条对称轴为3x，则函数()f x的对称轴不可能为 A6x B56x C43x D6x【答案】D【解析】由题意，函数()cos(2)(|)2f xx的周期为22T，由余弦函数的性质，每隔半个周期有一个对称轴，故()f x的对称轴为：132xk，kZ，当1k ，1，2 时，分别为A，B，C选项，不存在kZ，使得6x 故选 D 8已知函数()sin(2)()3f xxxR，下面结论错误的是 A函数()f x的最小正周期为 B函数()f x在区间50,12上是增函数 C函数()f x的图象关于直线0 x对称 D函数()6f x是奇函数【答案】C【解析】由周期公式可得：22T，故A正确；由222232kxk可解得函数的单调递增区间为：12k，512k，kZ，故明显B正确；由于3(0)sin()32f，不是函数的最值，故C不正确；由于()sin26f xx，有sin(2)sin2xx，故D正确 故选 C 9函数()cos(2)3f xx，下列关于该函数的叙述正确的是 A()f x的最小正周期为2 B()f x的图象可以由sin2yx向左平移512得来 C()f x图象关于直线12x对称 D函数()f x在区间(0,)3上是增函数【答案】B【解析】()cos(2)3f xx，对于A，其最小正周期22T，故A错误；对于B，令()sin2g xx，则555()sin2()sin(2)sin(2)cos(2)()12126323g xxxxxf x，故B正确；对于C，()cos(2)cos0121232f，不是最大值 1，也不是最小值1，故C错误；对于D，(0,)3x，2(33x，)，而cosyz在(0,)上单调递减，故函数()f x在区间(0,)3上是减函数，故D错误；综上所述，关于该函数的叙述正确的是B 故选 B 10已知函数2sin()4yx，当y取得最小值时，tan x等于 A1 B1 C32 D32【答案】A【解析】函数2sin()4yx，当y取得最小值时，有3242xk，故524xk，kZ 5tan(2)14kkZ 故选 A 11已知sin(3)(|)2yx一条对称轴为34x，则 A4 B4 C3 D6【答案】A【解析】因为sin(3)(|)2yx一条对称轴为34x，3sin(3)14，即sin()14 42k，kZ，,4kkZ，易知，0k 时，4 故选 A 12函数sin(2)3yx的图象 A关于原点对称 B关于点(6，0)对称 C关于y轴对称 D关于直线6x对称【答案】B 【解析】在函数sin(2)3yx中，令232xk，kz，可得212kx，kz，故对称轴为212kxx，kz故C、D均不正确 令23xk，kz，解得26kx，故对称中心为(26k，0)，kz，故选 B 二填空题 13已知函数()cosf xaxb的最大值为 1，最小值为3，则函数()sin3g xabx的最大值为 【答案】5【解析】函数()cosf xaxb的最大值为 1，最小值为3，1(3)22a，1(3)12b ，函数()sin 232sin3g xabxx，当sin1x 时，函数取最大值 5，故答案为：5 14函数()2sin()4f xx最靠近坐标原点的对称中心为 【答案】(,0)4【解析】令4xk，得4xk 当0k 时，4x，当1k 时，54x，满足要求的对称中心为：(,0)4 故答案为：(,0)4 15函数3sin(2)(6yxx，0)的单调递增区间为 【答案】，56，3，0【解析】对于函数3sin(2)6yx，令222262kxk，kz，求得36kx k，故函数的增区间为3k，6k，kz 再结合x，0，可得函数的增区间为，56，3，0，故答案为：，56，3，0 16方程12sin(24)1xxx的所有根的和为 【答案】8【解析】设1()1f xx，()2sing xx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题 显然，以上两个函数都关于点(1,0)成中心对称 作出两个函数的图象如图当14x时，10y 而函数()g x在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象，在3(1,)2和5(2，7)2上是减函数；在3(2，5)2和7(2，4)上是增函数 函数()f x在(1,4)上函数值为负数，且与()g x的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，()f x在(2,1)上函数值为正数，且与()g x的图象有四个交点A、B、C、D，且：2AHBGCFDExxxxxxxx，故所求的横坐标之和为 8，故答案为：8 三解答题 17已知函数cosyabx的最大值为32，最小值为12，求实数4 sinybax 的最大值、最小值【答案】最大值为 2，最小值为2【解析】函数cosyabx的最大值为32，最小值为12，1|2ab，3|2ab，解得：1a，12b ，故函数4 sin2sinybaxx 或4 sin2sinybaxx 的最大值为 2，最小值为2 18（1）函数3cos(2)3yx，xR在什么区间上是减函数？（2）函数sin(3)4yx，xR在什么区间上是增函数？【答案】（1）6k，23k；（2）243k，72123k.【解析】（1）令2223kxk，解得263kxk 3cos(2)3yx在区间6k，23k上是减函数；（2）sin(3)4yx，令3232242kxk，解得27243123kkx 函数sin(3)4yx在区间243k，72123k上是增函数 19求函数153sin(2)()62412yxx的单调区间和值域【答案】即函数的单调减区间为1(24，)3；即函数的单调增区间为(3，5)12；函数的值域为 3，3 2)2.【解析】152412x，22364x，22362x，即函数的单调减区间为1(24，)3；2264x，即函数的单调增区间为(3，5)12 22364x，21 sin(2)62x，3 23 3sin(2)62x，函数的值域为 3，3 2)2 20已知函数()2cos()32xf x（1）求()f x的最小正周期T；（2）求()f x的单调递增区间【答案】（1）4；（2）443k，243k.【解析】（1）()2cos()2cos()3223xxf x()f x的最小正周期2412T；（2）由2223xkk，kZ得424433kxk，kZ 即函数()f x的单调递增区间为443k，243k 21已知函数()2sin()(0)2xf x（1）当3时，在给定的坐标系内，用“五点法”做出函数()f x在一个周期内的图象；（2）若函数()f x为偶函数，求的值；（3）在（2）的条件下，求函数在，上的单调递减区间【答案】（1）答案见解析；（2）2；（3）0，.【解析】（1）当3时，()2sin()23xf x，列表如下：23x 0 2 32 2 x 23 3 43 73 103()2sin()23xf x 0 2 0 2 0 用“五点法”作出函数()2sin()23xf x的一个周期内的图象，如图所示；（2）函数()f x为偶函数，()2kkZ，0，2；（3）由（2），得()2cos2xf x，当x，时，,22 2x ，当0,22x，即0 x，时()f x单调递减 函数在，上的单调递减区间0，22已知函数()sin()(0f xAxA，0，|)，在同一周期内，当12x时，()f x取得最大值 4；当712x时，()f x取得最小值4（1）求函数()f x的解析式；（2）若,)2 6x 时，函数()7()1h xf xt 有两个零点，求实数t的取值范围【答案】（1）()4sin(2)3f xx；（2）114 329t或271 14 3t.【解析】（1）由题意知4A，7212122T，得周期T，即2得2，则()4sin(2)f xx，当当12x时，()f x取得最大值 4；即4sin(2)412，得sin()16，得262k得23k，|，当0k 时，3，即()4sin(2)3f xx（2）()7()10h xf xt ，即1()7tf x，当,)2 6x 时，则2233x，2)3，当2233x时，24sin2 33，当232x时，4sin42，当2233x 时，24sin()2 33，当232x时，4sin()42，要使1()7tf x有两个根，则12 347t 或，142 37t 得114 329t或271 14 3t，即实数t的取值范围是114 329t或271 14 3t
