山西省长治市第二中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试卷3089.pdf

20202021学年第二学期高二期末考试数学试题（理科）【满分 150 分，考试时间 120 分钟】一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U R，集合20Ax x x，1Bx x，则下图阴影部分表示的集合是（）A1,0 B1,01,2 C1,2 D0,1 2某高校统计课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下：非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断选修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，2K的观测值841.3844.4k，所以可以判定选修统计专业与性别有关.那么这种判断出错的可能性为()A5%B95%C1%D99%附：02kKP 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 3设Ra，则“2a”是“0232 aa”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知命题p：“,|ab ab”，命题q：“000,20 xx”，则下列为真命题的是()Apq Bqp Cpq Dpq 5若cba，0cba，则（）Aacab Bbcac Cbcab D22cb 6若nxx321的展开式中第四项为常数项，则n()A4 B5 C6 D7 7已知函数 xxxxfln2，则函数 xfy 的大致图象为()A B C D 8如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是21，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为()A81 B41 C21 D161 9如图，花坛内有 5 个花池，有 5 种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为()A180 B240 C360 D420 10函数 xxxf12的值域是()A，0 B0，C，21 D，1 11方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士（甲乙丙丁戊己庚)，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为()A甲 B丙 C戊 D庚 12已知定义在 R 上的连续奇函数 xf的导函数为 xf，当0 x时，0 xxfxf，则使得 0133122xfxxxf成立的x的取值范围是()A,1 B，1511 C1,51 D1,二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13假设关于某设备的使用年限 x(单位：年)和所支出的维修费用 y(单位：万元)有如下的统计资料：x/年 2 3 4 5 6 y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，且线性回归方程为axby，其中已知23.1b，请估计是要年限为 20 年时，维修费用约为 （万元）.14随机变量 的取值为 0，1，2.若510P，1 E，则 D_.15若正数 x，y 满足42xy，则yx2的最小值为 .16已知函数 222222xxf xxmxemem，若存在实数0 x，使得 012fx成立，则实数m_.三、选做题：共 10 分.请考生在 17、18 题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第一题计分 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 17(本小题满分 10 分)已知曲线 C 的极坐标方程为222sin9cos9，以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)A，B 为曲线 C 上两点，若OBOA，求2211OBOA的值 18(本小题满分 10 分)已知0,0ba.(1)求证：baab112；(2)若ba，且2ab，求证：422baba 四、选做题：共 12 分.请考生在 19、20 题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第一题计分 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 19（本小题满分 12 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为212(22xttyt 为参数），以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22 cos2 sin10 (1)求直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于,A B两点，点Q在C上运动，求ABQ面积的最大值 20（本小题满分 12 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()|f xxaxbc，其中cba,为正实数.(1)当2abc时，求不等式()10f x 的解集；(2)若函数()f x的最小值为1，求222abc的最小值 五、解答题：本大题共 4 小题，每小题 12 分，共 48 分.21(本题满分 12 分)设函数 bxaxxxf221ln(1)当21 ba时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当0a，1b时，方程 mxxf在区间 2,1 e内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围 22(本题满分 12 分)某省 2021 年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省 100 000 名男生的身高服从正态分布 N(170.5，16)现从我校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 157.5 cm 和 187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第一组157.5，162.5)，第二组162.5，167.5)，第六组182.5，187.5下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 (1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这 50 名男生身高在 177.5 cm 以上(含 177.5 cm)的人数；(3)在这 50 名男生身高在 177.5 cm 以上(含 177.5 cm)的人中任意抽取 2 人，该 2 人中身高排名(从高到低)在全省前 130 名的人数记为，求 的均值参考数据：若2N，则6826.0-P，9544.022P，9974.033P.23(本题满分 12 分)已知函数 baxxxxf21ln，bxaxxg2.(1)当2a，3b时，求函数 xf在ex 处的切线方程，并求函数 xf的最大值；(2)若函数 xfy 的两个零点分别为1x，2x且21xx，求证：1221 xxg.24(本题满分 12 分)如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁先登上第 3 个台阶.他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台阶，当有任何一方登上第 3 个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为 x.(1)求游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率；(2)求 x 的分布列和数学期望 20202021学年第二学期高二期末考试数学答案（理科）1-5 CAACA 6-10 BAADC 11-12 DC 13、24.68 14、25 15、16、12 17.解：(1)由 29cos29sin2得 2cos292sin29，将 xcos，ysin 代入得到曲线 C 的直角坐标方程是x29y21.(2)因为 29cos29sin2，所以12cos29sin2，由 OAOB，设 A(1，)，则点 B 的坐标可设为2，2，所以1|OA|21|OB|2121122cos29sin2sin29cos2191109.18.证明：(1)22“”111 12?abababa b，当且仅当时取；(2)22222444 2?4ababababababababababab22222444 2?4ababababababababababab，当且仅当13,13ab 或13,13ab 时取“=”.19.解:(1)将直线l的参数方程212(22xttyt 为参数），消去参数t，得10 xy，所以直线l的普通方程为10 xy 将222xy,cos,sinxy代入22 cos2 sin10，得22(1)(1)1xy，所以曲线C的直角坐标方程为22(1)(1)1xy(2)由(1)可知直线l：10 xy，曲线C:22(1)(1)1xy，所以圆心(1,1)C到直线l的距离|1 1 1|222d，所以|2AB 设AB的中点为D，则当曲线C上的点到直线l的距离最大，即当Q为过点D且与AB垂直的直线与C的交点时，ABQS最大，此时max112()|(1)22ABQSABd 20.解：(1)当2abc时，()|2|2|2f xxx，当2x 时，()10f x 即2210 x，解得4x ，所以42x ；当22x 时，()10f x 即610，不等式恒成立，所以22x；当2x 时，()10f x 即2210 x，解得4x，所以24x 综上所述，不等式()10f x 的解集为|44xx (2)因为0,0,0abc，所以()|f xxaxbcaxxbcabc .因为()f x的最小值为1，所以1abc，2()abc 2222221abcabaccb因为222abab，当且仅当ab等号成立；222cbcb，当且仅当cb时等号成立；222acac，当且仅当ac时等号成立，所以2()abc 22222222213()abcabaccbabc，所以22213abc，所以222abc的最小值为13，此时13abc.21、解：(1)依题意，知 f(x)的定义域为(0，)，当 ab12时，f(x)ln x14x212x，f(x)（x2）（x1）2x.令 f(x)0，解得 x1 或 x2(舍去)经检验，x1 是方程的根 当 0 x0，当 x1 时，f(x)0，m1ln xx.要使方程 f(x)mx 在区间1，e2内有唯一实数解，只需 m1ln xx有唯一实数解 令 g(x)1ln xx(x0)，g(x)1ln xx2(x0)由 g(x)0，得 0 xe，由 g(x)e，g(x)在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，g(1)1ln 111，g(e2)1ln e2e212e2，g(e)1ln ee11e，m11e或 1m12e2.22、解：(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为 1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5，高于全省的平均值 170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为 0.2，人数为 0.25010，即这 50 名男生身高在177.5 cm 以上(含 177.5 cm)的人数为 10 人(3)P(170.5340)，f(x)1ln xx2x2，则 f(e)1，切点为(e，1ee3)，故函数 f(x)在 xe 处的切线方程为 xy1e30.令 h(x)1ln xx2，则 h(x)1ln xx2在(0，)是减函数，又 h(1)0，x(0，1)时，h(x)0,f(x)0，x(1，)时，h(x)0,f(x)0,f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)是减函数，fmax(x)f(1)2.(2)证明：x1，x2是 f(x)的两个零点，且 x1x2，不妨设 x1x2，f(x1)f(x2)0，即ln x1x112ax1b0，ln x2x212ax2b0，ln x112ax21bx10，ln x212ax22bx20，相减得 ln x1ln x212a(x21x22)b(x1x2)0lnx1x2x1x212a(x1x2)b0，（x1x2）lnx1x2x1x212a(x1x2)2b(x1x2)0，（x1x2）lnx1x22（x1x2）a(x1x22)2b(x1x22)0，（x1x2）lnx1x22（x1x2）g(x1x22)g(x1x22)（x1x2）lnx1x22（x1x2）（x1x21）lnx1x22（x1x21）.令 tx1x2，即 0t1.（t1）ln t2（t1）1ln t2（t1）t1ln t2（t1）t10.令 m(t)ln t2（t1）t1在(0，1)上是增函数 又m(1)0，t(0，1)，m(t)0，命题得证 24、【解析】(1)易知对于每次划拳比赛，基本事件共有 33=9(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也包含三个基本事件.不妨设事件“第 i(iN*)次划拳小华赢”为 Ai，事件“第i 次划拳两人平局”为 Bi，事件“第 i 次划拳小华输”为 Ci，所以 P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=.因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种，小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳两人平局，其概率为 P1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)=；第二种，小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为 P2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)P(B2)P(C3)P(C4)+P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)P(C5)=.所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为 P=P1+P2=+=.(2)依题意可知，X 的可能取值为 2，3，4，5，P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)=24=，P(X=2)=2P(A1)P(A2)=22=，P(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=，P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=，所以 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 所以 X 的数学期望为：E(X)=2+3+4+5=.