2021年江苏省南京市中考数学试卷（含解析）.docx

2021年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2分）（2021南京）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次用科学记数法表示800000000是（）A8×108B0.8×109C8×109D0.8×10102（2分）（2021南京）计算（a2）3a3的结果是（）Aa2Ba3Ca5Da93（2分）（2021南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A1，1，1B1，1，8C1，2，2D2，2，24（2分）（2021南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：0017：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A10：00B12：00C15：00D18：005（2分）（2021南京）一般地，如果xna（n为正整数，且n1），那么x叫做a的n次方根下列结论中正确的是（）A16的4次方根是2B32的5次方根是±2C当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大6（2分）（2021南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）ABCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）7（2分）（2021南京）（2） ；|2| 8（2分）（2021南京）若式子5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 9（2分）（2021南京）计算8-92的结果是 10（2分）（2021南京）设x1，x2是关于x的方程x23x+k0的两个根，且x12x2，则k 11（2分）（2021南京）如图，在平面直角坐标系中，AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 12（2分）（2021南京）如图，AB是O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D若AB8cm，CD2cm，则O的半径为 cm13（2分）（2021南京）如图，正比例函数ykx与函数y=6x的图象交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，则SABC 14（2分）（2021南京）如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则BAF+CBG+DCH+EDI+AEJ °15（2分）（2021南京）如图，在四边形ABCD中，ABBCBD设ABC，则ADC （用含的代数式表示）16（2分）（2021南京）如图，将ABCD绕点A逆时针旋转到ABCD的位置，使点B落在BC上，BC与CD交于点E若AB3，BC4，BB1，则CE的长为 三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（7分）（2021南京）解不等式1+2（x1）3，并在数轴上表示解集18（7分）（2021南京）解方程2x+1+1=xx-119（7分）（2021南京）计算(ab2+ab-2a+b+ba2+ab)÷a-bab20（8分）（2021南京）如图，AC与BD交于点O，OAOD，ABODCO，E为BC延长线上一点，过点E作EFCD，交BD的延长线于点F（1）求证AOBDOC；（2）若AB2，BC3，CE1，求EF的长21（8分）（2021南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：序号1225265051757699100月均用水量/t1.31.34.54.56.46.8111325.628（1）求这组数据的中位数已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？22（8分）（2021南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球求两次摸出的球都是红球的概率（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球两次摸出的球都是白球的概率是 23（8分）（2021南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D测得CD80m，ACD90°，BCD45°，ADC19°17，BDC56°19设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离（参考数据：tan19°170.35，tan56°191.50）24（8分）（2021南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间25（8分）（2021南京）如图，已知P是O外一点用两种不同的方法过点P作O的一条切线要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明26（10分）（2021南京）已知二次函数yax2+bx+c的图象经过（2，1），（2，3）两点（1）求b的值；（2）当c1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 （3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点当1m3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围27（9分）（2021南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）（2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 （用含l，h的代数式表示）设AD的长为a，点B在母线OC上，OBb圆柱的侧面展开图如图所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路2021年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2分）（2021南京）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次用科学记数法表示800000000是（）A8×108B0.8×109C8×109D0.8×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将800000000用科学记数法表示为：8×108故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值2（2分）（2021南京）计算（a2）3a3的结果是（）Aa2Ba3Ca5Da9【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂的定义计算即可【解答】解：（a2）3a3a6a3a63a3故选：B【点评】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键3（2分）（2021南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A1，1，1B1，1，8C1，2，2D2，2，2【分析】根据三角形的三边关系逐项判定即可【解答】解：A、1+1+135，此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；B、1+1+578，此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；C、1+2+25，此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；D、2+2+265，此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意；故选：D【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键4（2分）（2021南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：0017：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A10：00B12：00C15：00D18：00【分析】根据北京时间比莫斯科时间晚5小时解答即可【解答】解：由题意得，北京时间比莫斯科时间晚5小时，当莫斯科时间为9：00，则北京时间为14：00；当北京时间为17：00，则莫斯科时间为12：00；所以这个时刻可以是14：00到17：00之间，所以这个时刻可以是北京时间15：00故选：C【点评】本题考查了正数和负数，解此题的关键是根据题意写出算式，即把实际问题转化成数学问题5（2分）（2021南京）一般地，如果xna（n为正整数，且n1），那么x叫做a的n次方根下列结论中正确的是（）A16的4次方根是2B32的5次方根是±2C当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大【分析】根据n次方根的定义判定即可【解答】解：A、（±2）416，16的4次方根是±2，故A不正确；B、32的5次方根是2，故B不正确；C、设x=32，y=52，则x152532，y15238，x15y15且x1，y1，xy，当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故C选项正确；D、当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故D不选项正确；故选：C【点评】本题考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂的定义是解题的关键6（2分）（2021南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）ABCD【分析】根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则光线与纸板垂直，则在地面上的投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影要长【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在地面上的投影关于对角线对称，灯在纸板上方，上方投影比下方投影要长，故选：D【点评】本题主要考查中心投影的知识，弄清题目中光源和纸板的相对位置是解题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）7（2分）（2021南京）（2）2；|2|2【分析】根据求一个数的相反数和绝对值的意义化简求解【解答】解：（2）2；|2|2，故答案为：2；2【点评】本题考查求一个数的相反数和绝对值，理解相关概念准确化简是解题关键8（2分）（2021南京）若式子5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x0【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案【解答】解：依题意有5x0，解得：x0故答案为：x0【点评】本题考查了二次根式的意义和性质概念：式子a（a0）叫二次根式9（2分）（2021南京）计算8-92的结果是 22【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，再合并得出答案【解答】解：8-9222-9222-3222-322=22故答案为：22【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键10（2分）（2021南京）设x1，x2是关于x的方程x23x+k0的两个根，且x12x2，则k2【分析】根据根与系数的关系求得x21，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可【解答】解：根据题意，知x1+x23x23，则x21，将其代入关于x的方程x23x+k0，得123×1+k0解得k2故答案是：2【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法11（2分）（2021南京）如图，在平面直角坐标系中，AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 6【分析】由C、D的横坐标求出线段CD的长度，结合中位线的定义和性质，得出OB的长度，从而得到B点的横坐标【解答】解：边AO，AB的中点为点C、D，CD是OAB的中位线，CDOB，点C，D的横坐标分别是1，4，CD3，OB2CD6，点B的横坐标为6故答案为：6【点评】本题主要考查了中位线定义和性质应用，解题的关键是由点C、D的横坐标求出线段CD的长度12（2分）（2021南京）如图，AB是O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D若AB8cm，CD2cm，则O的半径为 5cm【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可【解答】解：如图，连接OA，C是AB的中点，D是弦AB的中点，OCAB，ADBD4，OAOC，CD2，ODOCCDOACD，在RtOAD中，OA2AD2+OD2，即OA216+（OA2）2，解得OA5，故答案为：5【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答13（2分）（2021南京）如图，正比例函数ykx与函数y=6x的图象交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，则SABC12【分析】根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则SAONSOBM，由BCx轴，ACy轴可得SAONSCON，SOBMSOCM，再根据SAON=12xAyA3，即可得出三角形ABC的面积【解答】解：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，正比例函数ykx与函数y=6x的图象交于A，B两点，点A与点B关于原点对称，SAONSOBM，BCx轴，ACy轴，SAONSCON，SOBMSOCM，即SABC4SAON4×12xAyA4×12×6=12，故答案为：12【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键14（2分）（2021南京）如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则BAF+CBG+DCH+EDI+AEJ180°【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，根据切线的性质和等腰三角形的性质得出BAF+CBG+DCH+EDI+AEJ（BAF+OAB）+（CBG+OBC）+（DCH+OCD）+（EDI+ODE）+（AEJ+OEA）（OAB+OBC+OCD+ODE+OEA）即可求出【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，OAFOBGOCHODIOEJ90°，即（BAF+OAB）+（CBG+OBC）+（DCH+OCD）+（EDI+ODE）+（AEJ+OEA）90°×5450°，OAOBOCODOE，OABOBA，OBCOCB，OCDODC，ODEOED，OEAOAE，OAB+OBC+OCD+ODE+OEA=12×五边形ABCDE内角和=12×(5-2)×180°=270°，BAF+CBG+DCH+EDI+AEJ（BAF+OAB）+（CBG+OBC）+（DCH+OCD）+（EDI+ODE）+（AEJ+OEA）（OAB+OBC+OCD+ODE+OEA）450°270°180°，故答案为：180【点评】本题主要考查切线的性质，多边形内角和等知识，熟练掌握切线的性质和多边形内角和公式是解题的关键15（2分）（2021南京）如图，在四边形ABCD中，ABBCBD设ABC，则ADC180°-2（用含的代数式表示）【分析】根据已知条件ABBDBC，可得BADBDA，BDCBCD，根据三角形内角和定理可得ABD+BAD+BDA180°，DBC+BDC+BCD180°，根据四边形内角和为360°，可得ABD+BAD+BDA+DBC+BDC+BCD360°，根据已知条件可得2ADC360°，即可得出答案【解答】解：ABBDBC，BADBDA，BDCBCD，四边形内角和为360°，ABD+BAD+BDA+DBC+BDC+BCD360°，ABC+ADB+ADB+BDC+BDC360°，即ABC+2ADB+2BDC360°，ABC，ADB+BDCADC，2ADC360°，ADC=180°-2故答案为：180°-2【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及多边形内角和定理，熟练应用相关性质及定理进行求解是解决本题的关键16（2分）（2021南京）如图，将ABCD绕点A逆时针旋转到ABCD的位置，使点B落在BC上，BC与CD交于点E若AB3，BC4，BB1，则CE的长为 98【分析】过点A作AMBC于点M，过点B作BNAB于点N，过点E作EGBC，交BC的延长线于点GBMBM=12，由勾股定理可得，AM=AB2-BM2=352，由等面积法可得，BN=356，由勾股定理可得，AN=AB2-BN2=32-(356)2=176，由题可得，AMBEGC，ANBBGE，则AMBM=EGCG=35，ANBN=B'GEG=1735，设CGa，则EG=35a，BG3+a，则3+a35a=1735，解得a=316最后由勾股定理可得，EC=CG2+EG2=(316)2+(31635)2=98【解答】解：如图，过点A作AMBC于点M，过点B作BNAB于点N，过点E作EGBC，交BC的延长线于点G由旋转可知，ABAB3，ABBABC，ABBABBABC，BB1，AMBB，BMBM=12，AM=AB2-BM2=352，SABB=12AMBB'=12BNAB'，12×352×1=12BN×3，则BN=356，AN=AB2-BN2=32-(356)2=176，ABDC，ECGABC，AMBEGC90°，AMBEGC，AMBM=EGCG=35212=35，设CGa，则EG=35a，ABB+ABB+BAB180°，ABB+ABC+CBC180°，又ABBABBABC，BABCBC，ANBEGC90°，ANBBGE，ANBN=B'GEG=176356=1735，BC4，BB1，BC3，BG3+a，3+a35a=1735，解得a=316CG=316，EG=31635，EC=CG2+EG2=(316)2+(31635)2=98故答案为：98【点评】本题主要考考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（7分）（2021南京）解不等式1+2（x1）3，并在数轴上表示解集【分析】去括号后移项、合并同类项可得不等式解集，根据小于向左，包括该数用实心点在数轴上表示解集即可【解答】解：1+2（x1）3，去括号，得1+2x23移项、合并同类项，得2x4化系数为1，得x2表示在数轴上为：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点18（7分）（2021南京）解方程2x+1+1=xx-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x1），得2（x1）+x21x（x+1），解得x3经检验x3是原方程的根，原方程的解x3【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验19（7分）（2021南京）计算(ab2+ab-2a+b+ba2+ab)÷a-bab【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题【解答】解：(ab2+ab-2a+b+ba2+ab)÷a-babab(a+b)-2a+b+ba(a+b)aba-b=a2-2ab+b2ab(a+b)aba-b =(a-b)2ab(a+b)aba-b =a-ba+b【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法20（8分）（2021南京）如图，AC与BD交于点O，OAOD，ABODCO，E为BC延长线上一点，过点E作EFCD，交BD的延长线于点F（1）求证AOBDOC；（2）若AB2，BC3，CE1，求EF的长【分析】（1）由AAS证明AOBDOC即可；（2）由全等三角形的性质得ABDC2，再证BCDBEF，得DCEF=BCBE，即可求解【解答】（1）证明：在AOB和DOC中，ABO=DCOAOB=DOCOA=OD，AOBDOC（AAS）；（2）解：由（1）得：AOBDOC，ABDC2，BC3，CE1，BEBC+CE4，EFCD，BCDBEF，DCEF=BCBE，即2EF=34，解得：EF=83【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键21（8分）（2021南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：序号1225265051757699100月均用水量/t1.31.34.54.56.46.8111325.628（1）求这组数据的中位数已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？【分析】（1）利用所给数据，即可得这组数据的中位数，从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费；（2）由于100×75%75，所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t【解答】解：（1）共有100个数，按大小顺序排列后第50，51个数据分别是6.4，6.8，所以中位数为：（6.4+6.8）÷26.6；已知这组数据的平均数为9.2t，从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费，答：这组数据的中位数是6.6；（3）100×75%75，第75个家庭去年的月均用水量为11t，所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t答：这个标准应该定为11t【点评】本题考查中位数，读频频数分布表的能力及利用统计表获取信息的能力；利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题22（8分）（2021南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球求两次摸出的球都是红球的概率（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球两次摸出的球都是白球的概率是 17【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有7种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有1种，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，两次摸出的球都是红球的概率为49；（2）画树状图如图：共有7种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有1种，两次摸出的球都是白球的概率为17，故答案为：17【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比23（8分）（2021南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D测得CD80m，ACD90°，BCD45°，ADC19°17，BDC56°19设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离（参考数据：tan19°170.35，tan56°191.50）【分析】过B作BECD于E，过A作AFBE于F，由已知BCE是等腰直角三角形，设CEx，则BEx，DE（80x）m，在RtBDE中，可得x80-x=1.5，解得BECE48m，在RtACD中，解得AC28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AFCE48m，EFAC28m，BF20m，即可在RtABF中，求出AB=482+202=52（m）【解答】解：过B作BECD于E，过A作AFBE于F，如图：BCD45°，BCE是等腰直角三角形，设CEx，则BEx，CD80m，DE（80x）m，RtBDE中，BDC56°19'，tan56°19'=BEDE，即x80-x=1.5，解得x48（m），BECE48m，RtACD中，ADC19°17，CD80m，tan19°17'=ACCD，即AC80=0.35，解得AC28m，ACD90°，BECD于E，AFBE，四边形ACEF是矩形，AFCE48m，EFAC28m，BFBEEF20m，RtABF中，AB=AF2+BF2=482+202=52（m），答：A，B两点之间的距离是52m【点评】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形24（8分）（2021南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间【分析】（1）由乙的速度是甲的2倍可得乙1min的路程甲2min的路程，即可画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，由行程相等列出方程即可求解【解答】解：（1）如图：（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，由题意得：2vt（t+1+5）v，解得：t6，6+1+512（min），答：甲整个行程所用的时间为12min【点评】本题考查了一次函数的应用，能根据题意结合图象理解实际问题是解题的关键25（8分）（2021南京）如图，已知P是O外一点用两种不同的方法过点P作O的一条切线要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明【分析】方法一：直接以OP为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得ADC90°，可证直线PD是切线方法二：构造直角POE，作POE的外接圆，利用圆周角定理解决问题即可【解答】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交O于D，作直线PD，直线PD即为所求方法二：如图，作射线PE，作OEPE于E，作POE的外接圆交O于D，作直线PD，直线PD即为所求【点评】本题考查专题复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型26（10分）（2021南京）已知二次函数yax2+bx+c的图象经过（2，1），（2，3）两点（1）求b的值；（2）当c1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点当1m3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；（2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；（3）根据题意m是ax2+bx+c的一个根，将m用a表示出来，根据m的取值即可求出a的取值【解答】解：（1）把（2，1），（2，3）代入yax2+bx+c中，得：1=4a-2b+c-3=4a+2b+c，两式相减得44b，b1；（2）把b1代入得：14a+2+c，a=-1-c4，顶点的纵坐标4ac-b24a=c+1c+1=c+1+1c+1-1，c1，c+10，下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b2ab，(a-b)2=a+b-2ab0，a+b2ab，当ab时取等号，c+1+1c+1-12(c+1)1c+1-1=1，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1（3）由题意得：am2m+c0，且c14a，am2m14a0，14a（14a）1+4a+16a2，若1m2，此时有a0，且1+2a2，解得a0，a0，若2m3，此时有a0，且1+2a3，解得a45，综上 a0或a45【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在于理解二次项系数a对函数图象的影响，包括开口方向和开口大小，都要熟记于心，不然第三问很难做出来27（9分）（2021南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）（2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 l+h（用含l，h的代数式表示）设AD的长为a，点B在母线OC上，OBb圆柱的侧面展开图如图所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路【分析】（1）先判断出OAC为等边三角形，进而得出AB上等边三角形的高，即可得出结论；（2）蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即可得出结论；根据题意画出示意图，先求出BH，用勾股定理即可得出结论【