2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析.docx

2020考研（数学二）真题及解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1. 当 x ® 0+ 时，下列无穷小量中最高阶的是（）A. òx (et2 -1)dtB. òx ln(1+ t3 )dtC. òsin x sin t 2 dtD. ò1-cos xsin3 tdt0000¢()解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。用求导定阶法来判断。在 x ® 0+ 时，()òx (et2 -1)dt= ex2 -1x2 ；0(òx ln(1+ t3 )dt¢3= ln(1+x3 )x 2 ；0(ò sin x sin t 2dt 01-cos x)¢ = sin (sin x)2 cos xx2 ；x (x22)324x3 x 。)¢òsin3 tdt0=sin3 (1- cos x) sin x2. 函数 f (x) = 1+ex-1 ln(1 x)(ex -1)(x - 2)的第二类间断点的个数为（）A.1B.2C. 3D.4解析：本题选 C.本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。间断点有 x = -1,0,1,2 ，由于limf (x) = lim1ex-1 ln(1+ x) = ¥ ；x®-1+x®-1+ (ex -1)(x - 2)1lim f (x) = limex-1 ln(1+ x)= - 1 ；x®0x®0 (ex -1)(x - 2)2e1lim f (x) = limex-1 ln(1+ x) = ¥ ；x®1+x®1+ (ex -1)(x - 2) 1lim f (x) = limex-1 ln(1+ x) = ¥x®2x®2 (ex -1)(x - 2)3. ò 1 arcsinxdx = ()0x(1- x)p 2p 2ppA. 4B. 8C. 4D. 8p 2解析：本题选A。本题考查了定积分的计算，主要内容是第二换元积分法。2ò1 arcsinxdx arcsin= x =t òpt2sin t cos tdt = t 2 |p /2 =.0x(1- x)0 sin t cos t044.已知 f (x) = x2 ln(1- x), 当 n ³ 3 时， f (n)(0) = ()A. - n!n!(n - 2)!B. C. -(n - 2)!D.n - 2n - 2nn11解析：选 A。本题考查了函数在 0 处的高阶导数的计算。有泰勒公式求解：f (x) = x2 ln(1- x) = x2 (-x -x2 -xn-2 ) + o(xn )2n - 2f (n) (0)1n!= -, f (n) (0) = -。n!n - 2n - 2ìxy, xy ¹ 0,í5.关于 f (x, y) = ïx, y = 0,给出下列结论：îï y, x = 0,¶f（1） ¶x(0,0)= 1（2）= 1（3）limf (x, y) = 0¶2 f¶x¶y(x, y )®(0,0 )(0,0)（4） limlim f (x, y) = 0y®0 x®0其中正确的个数为（）A.4B. 3C. 2D. 1解析：本题考查了分块函数在分界线上某点处的偏导数求法，二元函数极限与累次极限等计算。需要用到偏导数的定义式等。¶ff (x,0) - f (0,0)x - 0(1)= lim= lim=1¶x(0,0)x®0xìxy, xy ¹ 0,x®0x(2)因为f (x, y) = ïx, y = 0,当xy ¹ 0¶f = y，¶2 fíîï y, x = 0,f (0, y) - f(0,0)时，¶xy -1此时¶x¶y¶ 2 f¶ x ¶ y故(0,0 )= lim xxy®0y不存在.= lim= ¥y®0y(0,0)ïìxy, xy ¹ 0,(3) 因 为f (x, y) = íx, y = 0,îï y, x = 0,所 以 当xy ¹ 0 时 ，limf (x, y) =( x, y )®(0,0)limxy = 0 ， 当( x, y )®(0,0)y = 0 时 ，limf (x, y) =limx = 0 ，当 x = 0 时，( x, y )®(0,0)( x, y )®(0,0)limf (x, y) =limy = 0 ，所以点(x, y) 沿着任意方向趋近于(0,0) 时，极限均为 0,故limf (x, y) = 0 .( x, y )®(0,0)( x, y )®(0,0)ìxy, xy ¹ 0,(x, y )®(0,0 )(4)因为 f (x, y) = ïx, y = 0,，所以当 xy ¹ 0 时，当 y = 0 时，íï y, x = 0,limlim xy = lim0 = 0limlim x = lim0 = 0îy®0 x®0y®0y®0 x®0y®0当 x = 0 时， limlim y = lim y = 0 ,综上limlim f (x, y) = 0 .y®0 x®0y®0y®0 x®0选 B。6.设 f (x) 在-2, 2上可导，且 f ¢(x) > f (x) > 0 ，则（）f (-2)f (0)f (1)f (2)A.> 1B.> eC.< e2D.< e3f (-1)f (-1)f (-1)f (-1)解析：本题选B。考查了函数的单调性，辅助函数构造等问题。由 f ¢(x) > f (x) > 0 ，可知 f ¢(x) - f (x) > 0 ，可以构造辅助函数： F (x) =f (x)，ex由导数符号可知函数 F(x)在(-2, 2)单调递增。由F (0) > F (-1)容易推得选B。7.四阶矩阵 A 不可逆， A ¹ 0 ， a ,a ,a ,a为矩阵A 的列向量组，则 A* X = 0 的通解为（）121234A. x = k a+ k a+ k aB. x = k a+ k a+ k a1 12 23 31 12 23 4B. x = k a+ k a+ k aD. x = k a+ k a+ k a1 12 33 41 22 33 4解析：本题选C。考查了线性齐次方程组通解的结构、伴随矩阵秩的公式、AA*的公式。ìn, r( A) = ní1,由于 A ¹ 0 ，故 r( A*) ³ 1 ，再由 伴随矩阵秩的公式 r( A*) = ï r( A) = n -1 ，可知 r( A*) = 1, r( A) = 3 。î12ï0,r( A) <n -1A* x = 0 的基础解系由 3 个解向量构成。又因为 A * A = A E = O ，A 的每一列都a ,a ,a ,a是 A* x = 0 的解向1234量 。 只 要 找 到 A* x = 0 的3个 无 关 解 就 构 成 基 础 解 系 。 抓 住 A12¹ 0 这 一 条 件 。 由é Aùê 11úê12AA* = (a ,a ,a ,a ) Aú = O 可知，1234 ê Aúëê 13úA a + A a+ A aA14+ A aû= 0 ，因为 A¹ 0 ，因此a可由a ,a ,a线性表示，故a ,a ,a线性无关。11 112 213 314 4122134134原因是 r( A) = r(a ,a ,a ,a ) = 3 ，若a ,a ,a线性相关，则其中有一个向量可由其余两个线性表示，1234134秩就小于 3 了，可推出矛盾。因此a ,a ,a 为基础解系，选C。1348.A 为 3 阶方阵， a ,a12为属于特征值 1 的线性无关的特征向量，a为A 的属于-1 的特征向量，满足3êé1ùP-1 AP =-1ú 的可逆矩阵P 为（）êúA. (aêë+a ,a, -a1úû)B. (a+a ,a, -a )13231223B. (a +a , -a ,a )D. (a +a , -a ,a )13321232解析：本题选D。考查了矩阵相似对角化的相关理论与特征向量的性质。矩阵 P 的每一列要与特征值对应起来。由题目已知，P 的第一列与第三列必须是 1 的特征向量，P 的第二列必须是-1 的特征向量。由特征向量的性质可知选D。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上í9.设ìïx =( t 2 +1ïî y = ln t + t 2 +12答案： -【解析】，则 d2 y)dx2t =1= .t 2 +1dx =t dtdy =t 2 +1，dtd ( dy ) / dt1 dy = 1，dxt ，t 2 +1- 12d 2 y = dy' =dx=t 2= -t 2 +1dx2dxdx / dttt3 d 2 y= -10. 求ò1 dyò10yx3 +1dx =.，dx2t =1.答案： 4 2 - 299【解析】：交换积分次序，x3 +1原式=ò1 dxò x2 x3 +1dy = ò1· x2dx= 1 ò1 x3 +1d (x3 +1)= （x3 +1）1×3 2 120003 03304 2（ 2（原式= 2 23 -1）= 2 2 2 -1）=- 2999911. 设 z = arctanxy + sin(x + y), 则dz 答案： (p -1)dx - dy=.(0,p)【解析】： dz =y + cos(x + y)， dz =x + cos(x + y)，代入（0，p ），dx1+xy + sin(x + y)2dy1+xy + sin(x + y)2 dz =p + cosp= p -1 ，dz =cosp= -1；dx1+ (sinp)2 dz= (p -1)dx - dy(0, p)dx1+ (sinp)212. 斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水密度为r ， 则三角形平板的一侧收到的压力为 .1答案：r ga3311【解析】 F = òa 2r g(a - y) ydy = 2rg òa (ay - y2 )dy =2rg( 1 a3 -a3 ) =rga30023313.设 y = y(x)满足 y ¢ + 2 y¢ + y = 0, 且 y(0)= 0 ， y¢(0)= 1，则ò +¥ y(x)dx =.0答案：1【解析】y ¢ + 2 y¢ + y = 0, 所以特解方程： l2 +2l+1=0，（l+1）2 =0 Þ l =l =-1； y =(C + C x)e- x ； y' = e- x (C - C - C x) ；又12y(0) = 0，y'(0) = 1 ；通12通212ì C =0ìC =0í1Þí 1, y=xe- xîC -C =1îC =1通212ò+¥ y(x)dx =ò+¥ xe- xdx 分部=积分 -e- x (x +1) +¥ = lim éë-e- x (x +1)ùû - lim éë-e- x (x + 1)ùû = 10a014.求 -1100-1a11a-1001-1 =.0ax®+¥x®0+答案： a4 - 4a2a0-11a0-110a1-1 第4行加0a1-1 第1列a1-10-11【解析】 -11a=000a= a × 0aaa + (-1)1+4 a1-11-10至第3行a1-10展开-10aa0aa继续将第 1 列展开,æ1原式= a ×ç a3 + (-1)(-1)1+3-1 ö-11÷ + (-1)(-1)1+2 × a ×= a4 + 2a × (-2a) = a4 - 4a2èaa øaa三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答 题纸指定位置上15.（本题满分 10 分）.()求曲线 y =x1+ x1+ x x(x > 0)的斜渐近线。x1+ x【解析】：斜率k = lim y = lim(1+ x)x= lim1= 1x®+¥ xx®+¥xx®+¥ æ1+ 1 öxexç÷èøéùéx1+ x1 ùê11 úb = lim (y - kx)= lim ê-xú = lim x ê- úx®+¥x®+¥ êë (1+ x)xe úûx®+¥êæ1+ 1 öxeúêç÷úxëèøû1e - (1+ t )11e1ln(1+t ) - e1e1ln(1+t )-1 -1令t =limt = -lim t= -lim ttx t ®0+ et (1+ t )1e2 t ®0+t1e t ®0+t1lim=- t 2lim= -lim= -= - 1ln(1+t )-1t1ln(1+ t) - t121e t ®0+te t ®0+t 211e t ®0+t 22e所以斜渐近线方程为： y =x +e2e16.（本题满分 10 分） ( )x设 f (x)连续, 且lim f x= 1, g(x)= ò 1 f (xt )dt，求 g¢(x)且证明 g¢(x)在 x = 0 处连续.x®0【解析】：因为lim f(x)0= 1, 且 f (x)连续，则x®0xf (0)= lim f (x)= 0 ， f '(0)= lim f(x)= 1,x®0x®0x令 xt = u ，则 g (x)= ò1 f (xt )dt = 1 ò x f (u )dt0x 0当 x ¹ 0 时， g '(x)= 1 f (x)- 1 ò x f (u )duxx2 0因为 g (0)= ò 1 f (0)dt = 00所以 g '(0)= limx®0g (x)- g (0) x= limx®0ò x f (u )dt0x2= limx®0f (x)1=2x2ì f (x)-1 ò x f (u )du, x ¹ 0í则 g '(x)= ïxx2 01ïïî 2,x = 0( )é f (x)1 ò x( )ù f (x)òx f (u )dulim g ' x = lim ê-f u du ú = lim- lim 0x®0x®0 ëxx2 0ûx®0xx®0x2f (x)11= 1- lim= 1-=( )x®(0 )2x22则lim g ' x = g 0x®0 ¢( )所以 g x 在 x = 0 处连续( )17.（本题满分 10 分）求 f x = x3 + 8 y3 - xy 的极值。ìï f ¢(x, y)= 3x2 - y = 0解： íx()îï f ¢ x, yy= 24 y2 - x = 0ì x = 1=ìx = 0ï6(0,0)æ 1 , 1 ö所以í或íy01 所以驻点为或ç÷6 12îï y =èøî12A = f ¢ (x, y)= 6xB = f x¢¢x (x, y)= -1xy ()C = f ¢( yyx, y)= 48 y代入 0,0 ，此时 AC - B2 < 0 所以不是极值点æ 1 1 öæ 1 1 ö1代入ç,÷, AC - B2 > 0 且 A > 0 , 所以 f = ç,÷ = -为极小值è 6 12 øè 6 12 ø216+=18.（本题满分 10 分）设 f (x)在(0, +¥)上有定义，且满足2 f(x)æ 1 öx2 + 2x x2 f ç÷1+ x2è x ø（I） 求 f (x)；（II） 求曲线 y = f (x), y = 1 , y =3及 y 围成的图形绕 x 轴旋转一周的体积。22( )æ 1 öx2 + 2x【解析】（1）：由2 fx + x2 f ç÷ =1+ x2è x øç÷得 2 f æ 1 ö + 1f (x)=1 + 2x 1+ x2x2x =2x +1è x øx21+ 1x2+æ 1 ö则 2x2 f ç÷f(x)= 2x2 + xè x ø1+ x2´ 2 - 得： 3 f (x)=3x 1+ x2x1+ x2故 f (x)=, x Î(0, +¥)xx2 +1（2）体积： f (x)=V = 2p ò12Þ x =y1- y223 yg(y)dy3= 2p ò 212y2dy 1- y23y =sin t 2p òp sin 2 t ×cos tdtp cos t6pp 1- cos2téæ pp ö1p ù= 2p ò3 sin 2 tdt = 2p ò3dt = p êç-÷ -sin 2t 3 ú pp2êè 36 ø2p ú66ë6 û= pæ p - 1 ´ 0ö = p 2ç ÷ è 62ø619.（本题满分 10 分）计算二重积分òòDx2 + y2 ds ，其中区域Dx由 x = 1, x = 2, y = x 及 x轴围成.【解析】： òòx2 + y2ds =òp dqò2cosqpòrq rdr =4 2é 1ù1q × ê r 2 ú cosq dqx0 1Dcosqr cos0 cosë 2û14cosq4= 3 òp1dq2 0 cos3 q4= 3 òp sec3 qdq 2 0其中òsec3qdq = òsecqdtanq = secq tanq - ò tanqd secq= secq tanq - òsecq tan2 qdq()= secq tanq - òsecqsec2 q -1 dq= secq tanq - òsec3 qdq + òsecqdq= secq tanq + ln secq + tanq - òsec3 qdq所以ò sec3qdq = 1 (secq tanq + ln secq + tanq )+ C2x2 + y23 p3 1 ( )p3 é()ù则 òòDds =ò 4 sec3 qdq=×x2 02 2secq tanq + ln secq + tanq 4 =042 + ln 1+û2ë20. (本题满分 11 分)已知 f (x)= òx et 2 dt1 x()(x )= (x ) x2（1）证明： $ Î 1,2 , s.t f2 -e（2）证明： $h Î (1,2), s.t f (2)= ln 2 ×h × eh2解答： f (x)= òx et 2 dt 所以 f (1)= 0 ，且 f ¢(x)= ex2 , 当 x > 1 时, f (x)> 0( )1( ) ()( )（1）构造 F x = f x - 2 - x ex2 , 则 F x 在 1,2 上连续，且 F (1)= f (1)- e = -e < 0, F (2)= f (2)- 0 = f (2)> 0,由零点定理知$x Î (1,2),st F (x )= 0 ,即 f (x )= (2 -x )x 2（2）构造 g(x)= ln x ， x Î 1,2 则 f (x), g(x)在(1,2)上可导.由柯西中值定理(知)：( )¢(h)$h Î (1,2)s, t f2 - f 1 = ff (2)eh2g(2)- g(1)g¢(h)( )即=ln 21 ，所以 fh2 = ln 2 ×h × eh221.（本(题)满分 11 分）( )()( )( )已知 fx 可导, 且 f ¢ x> 0 x ³ 0. 曲线 y = fx 过原点, 点 M 为曲线 y = fx 上任意一点, 过点 M 的切线与 x 轴相交于点T , 过点 M 做 MP 垂直于 x 轴于点 P , 且曲线 y = f (x)与直线 MP 以及 x 轴所围成图形的面积与三角形 MTP 的(面积(比)恒) 为3 : 2 , 求曲线满足的方程.【解析】：设Ma, f a所以切线方程： y - f (a)= f ¢(a)(x - a)f (a)当 y = 0, x = a -且f ¢(a)1( ) éæf (a)öùS MTP =× fD2a × êa - ç a -øûëèf ¢(a)÷ú1 f 2 (a)= 2 f ¢(a)ò a f (x)dx3由题意得：01 f 2(a) = 22 f ¢(a)3 f 2 (x)整理得： òa f (x)dx =04 f ¢(a)3 f 2 (x)换成熟悉的公式： òx f (t )dt =04 f ¢(x) （1）且 f (0)= 0对（1）两边同时求导整理后得：3 f ¢(x)× f (x)= f ¢(x)2，所以 f ¢(0)= 02令 f (x) = y, f '(x) = p ， f ''(x) = dp × dy = p dpdy dxdy整理，得3dp=pyp22dy分离变量得， 3 ò dp =ò dy2pyp 2 = C y31所以 y ' = C y 322ò - 2= òC dx再分离变量，得 y3 dy21所以3y 3 = C x + C23æ C x + C ö3则 y = ç2 33 ÷èø又 f (0) = 0, f '(0) = 0所以C = 03则 y = Cx3 ， C 为任意常数。22.（本题满分 11 分）二 次 型f (x , x , x)= x2 + x2 + x2 + 2ax x+ 2ax x+ 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 x = Py 变 换 为()1231231 21 32 3g y , y , y= y2 + y2 + 4 y2 + 2 y y1231231 2（I） 求a 的值；（II） 求可逆矩阵 P .æ 1aa ö【解析】：（I） f (x , x , x )的二次型矩阵 A = ç a1a ÷123æ 110 öç÷èøç aa1 ÷g (y , y , y123)的二次型矩阵B = ç 110 ÷èøç÷ç 004 ÷显然r(B) = 2 ，经可逆线性变换 x = Py ，则 r( A) = r(B)=21aa1aa1aaA = a1a = (1+ 2a)11a = (1+ 2a) 0 1- a0= (1+ 2a )(1- a )2 =0aa1a = 1或a = - 121a1001- a当 a = 1时, r( A) = 1，舍去。故 a = - 1 。2（II） f (x , x , x)= x2 + x2 + x2 - x x- x x- x x1231231 21 32 3æ11ö23= ç x -x -x ÷ +(x - x )2è 12 22 3 ø4233ìz = x - 1 x - 1 xìx = z + 1 z + zï 112 22 3ï 1123ïïï3í令í z =3 (x - x )，得ï x =2 z + zï 2223ï 223ï z =xï x =zï 33ï 33îîæ 111ö3ç÷æ x öç÷æ z öç 1 ÷ç2÷ç 1 ÷322即ç x ÷ = ç 01÷ç z ÷èøøç x ÷ç÷ç z ÷3ç 001÷è 3ç÷èøg (y , y , y )= y2 + y2 + 4 y2 + 2 y y= (y + y)2 + 4 y212312ìz = y + y31 2123ï 112令í z =yï 22î z =2 y33æ z ö æ 110 öæ y öç 1 ÷ ç÷ç 1 ÷得ç z2 ÷ = ç 010 ÷ç y2 ÷èøç z ÷ ç 002 ÷ç y ÷33ø èøèæ 111ö3ç÷æ x öç÷æ 110 öæ y öç 1 ÷ç2÷ç÷ç 1 ÷32所以ç x ÷ = ç 01÷ç 010 ÷ç y2 ÷èøç x ÷ç÷ç 002 ÷ç y ÷33ç 001÷èç÷èøøèøæ 11+ 12 ö3ç÷æ x öç÷æ y öç 1 ÷ç2÷ç 1 ÷32即ç x ÷ = ç 02 ÷ç y2 ÷èøç x ÷ç÷ç y ÷33ç 002 ÷èøç÷èø3ç2÷æ 1 1+ 1öç÷3ç2÷所求可逆矩阵P = ç 02÷ç÷ç 002 ÷ç÷èø23.（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = (, A) ， 是非零向量且不是 A 的特征向量。（I） 证明矩阵 P 可逆；（II） 若 A2 + A - 6 = 0 ，求 P -1 AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵。【解析】（I）设k + k12A = 0 若k2= 0 ，则由 ¹ 0 知k1= 0 ； 若k2¹ 0 ，则 A = - k1k2k ，所以 是 A 的属于特征值- k12的特征向量，与已知条件产生矛盾。所以， k = k12= 0 ，向量组, A 线性无关，故矩阵 P 可逆。（II）因为 A2 = 6 - A ，所以，æ 06 öèø( A, A2) = ( A,6 - A) = (, A) ç 1-1÷ ，ç÷记 B = æ 06 ö ，因此，1-1èøç 1- ÷1A(, A) = (, A) æ 06 ö ，èøæ 06 öèø即 AP = PB ，由 P 可逆知 A, B 相似且 P -1 AP = B = ç 1-1÷ 。由 lE - B = l-6-1l +1= (l - 2)(l + 3) = 0 知，矩阵 A, B 的特征值均为l1= 2,l2= -3 ，ç 0-3÷因为特征值互不相同，故矩阵 A 相似于对角矩阵æ 20 ö 。èø