高等电磁场理论习题解答(作业).docx

第一章基本电磁理论1-1 利用 Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell 方程导出其频域形式。（作 1-21-3） 解：付氏变换和付氏逆变换分别为：F(w ) = ¥ò-¥f (t)e jwt dtf (t) =1 ¥ò F(w)e- jwtdw2p-¥麦氏方程：Ñ´ H = J + ¶D¶tÑ´ E = - ¶B¶tÑ × B = 0Ñ× D = r对第一个方程进行付氏变换：左端= ¥ò-¥¥Ñ´ H（r, t)e jwtdt = Ñ´¶D(r,t)¥ò H (r, t)e jwtdt = Ñ´ H (r,w )-¥¥右端= ò （J r,t) +e jwtdt = J (r,w) + ò jwD(r,t)e jwtdt¶t-¥-¥= J (r,w) + jwD(r,w)（时谐电磁场）Ñ´ H(r,w ) = J (r,w) + jwD(r,w)同理可得：Ñ´ H (r,w)= - jwB (r,w)Ñ× B (r, w )= 0Ñ× D (r,w)= r (r,w)上面四式即为麦式方程的频域形式。1-2 设各向异性介质的介电常数为e = eé 72ê0 êêë 020 ù0ú4ú03 úû当外加电场强度为(1)E1= e Ex 0；(2)E2= e Ey 0；(3)E3= e E ；z 0(4)E4= E (e0x+ 2ey) ；(5)E = E (2e50x+ e )y求出产生的电通密度。（作 1-6） 解：D (r , t ) = e × E (r , t )éD ùé ee12e13ùéE ùê x úê x úê 11úêE úyz即 êD ú = êe 21 e 22e 23úyêD úêe31e32e33úêë E úûëûëûz将 E 分别代入，得：é Dùé720ùéE ùé7ùê1x ú = e êúê0 úeê úêDúê240úê 0 ú =E ê2úD = eE (7 x + 2 y)1 y0êúê003úê 0 ú00ûê0ú10 0ëûëûëûëD1zéD ùé720ùé 0 ùé2ùê 2x ú = e ê240úêú = eê4úD= e E(2 x + 4 y)êD2 y ú0 êúêE0 ú0 E0 ê ú20 0ëûê D ú3 zêë003úûêë 0 úûêë0úûéD ùé720ùé 0 ùé0ùê 3x ú = e êúêúeê úD= 3eE zêú3 yD0 ê240úê 0 ú =0 E0 ê0ú30 0ëû0êD ú3 zêë003úûêëE úûêë3úûéD ùé720ùé E ùé11ùê 4 x ú = eê240úê20 ú = eê10úD = e E (11x +10 y)êD4 y ú0 êúêE0 ú0 E0 êú40 0ëûêD ú4 zêë003úûêë 0 úûêë 0 úûéD ùé720ùé2E ùé16ùê 5x ú = e ê240úê0 ú = eê 8 úD= e E(16x + 8 y)êú0 ê5 yDúê E0 ú0 E0 êú50 0ëûêD ú5 zêë003úûêë 0 úûêë 0 úû1-3 设各向异性介质的介电常数为é422ùe = eê242úêú0êë224úû试求：(1) 当外加电场强度 E = E (e + e0xy+ e ) 时，产生的电通密度 D；z(2) 若要求产生的电通密度D = ex 4e 0 E0 ，需要的外加电场强度 E。（作 1-71-8）réD ùé422ùé1ùé8ùé1ùv = eêx úe êúê úeê úee ê úêúoo解：1.DE Þ D=yê242ú E ê1ú =E8 = 8Eê úoo ooê1úëêDzúûêë224úûêë1úûêë8úûêë1úû D = 8e Eo o(x + y + z)2.D = e E Þé 3- 1- 1 ùé 3 ùê 888 úêúé1 ùê 8 ú2êúé 3 ù= e -11 ê 131 ú eê úê 1 úE êúED =e ê- 88- 8 ú 4E0 = 4 Eê ú1o 00ê- 8 ú =0 ê-1úo ê 113 úê-úêë0úûêúê- úêë-1úûëê 8E () .88 úûêë8 úû即： E =023x - y - z附： e-1的求解过程：42210042210020-210-124201002-201-102-201-122400122400122400120-210-120-210-102-201-102-201-1026-102008-1-1314143312000200084- 4-130081181838- 8- 13-010 - 13-4488-1-100111- 8- 8-又é422ùe = e ê242ú0 êúêë224úû所以úêé 3- 1- 1ù888e -11 ê 131ú= e ê- 88- 8ú3ê0 ê- 1ú- 1- úëê 888úû1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为D = D (e0x+ 2ey+ 2e )z试求该点表面电荷及电流密度。H = H0(2ex- 2ey+ e )z解：由已知条件，理想导体表面某点：D = D (e0x+ 2ey+ 2e )(1-6-1)zH = H0(2ex- 2ey+ e )(1-6-2)zDD (e+ 2e+ 2e )122知该点处的法向单位矢量为： e =0xyz =e +e +e(1-6-3)n| D |D12 + 22 + 2203 x3 y3 z理想导体表面上的电磁场满足边界条件：e ´ H = Jnse × D = rns(1-6-4)(1-6-5)将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：J = e ´ H = æ 1 e+ 2 e + 2 eö´ éH (2e- 2e+ e )ù = H(2e + e - 2e )(1-6-6)÷snç 3 x3 y3 zë 0xyz û0xyzèø将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：r = e)ù = 3D(1-6-7)D = æ 1 e + 2 e + 2 e ö éD (e + 2e + 2eçè 3x3 yz3÷øë0 xyzsnû01-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为 e, 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:ÑeÑ2 E + k 2 E = -Ñ(E ×e )（作 1-9）证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足Ñ´ H (r )= jwe E (r )(1-9-1)Ñ´ E = - jwm H(1-9-2)对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得Ñ´ (Ñ´ E )= -jwÑ´ (mH )= -jwmÑ´ H = w2 meE又Ñ´ (Ñ´ E )= Ñ(Ñ× E )-Ñ 2 E所以Ñ2 E + w2 meE = Ñ(Ñ× E )(1-9-3)又在非均匀各向同性介质中Ñ× (e E )= eÑ× E + E ×Ñe = 0即Ñ × E = - E ×Ñee将(1-9-4)代入(1-9-3)，得æ E ×Ñe ö(1-9-4)÷eÑ2 E + w2 me E = -Ñ çèøæ E ×Ñe ö÷e即Ñ2 E + k2 E = -Ñ çèø第二章 平面电磁波2-1导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell 方程组为Ñ´ H = J +jwe E(2-1-1)Ñ´ E = - jwm H(2-1-2)Ñ× (m H )= 0(2-1-3)Ñ× (e E )= r(2-1-4)对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得Ñ´Ñ´ E = - jwÑ´ (mH )= - jwÑm´ H - jwmÑ´ H = - jwÑm´ H - jwm (J +jwe E )= - jwÑm ´ H - jwmJ + w2me E即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得Ñ´Ñ´ H = Ñ´ J +jwÑ´ (e E )= Ñ´ J +jwÑe ´ E + jweÑ´ E = Ñ´ J +jwÑe ´ E + w2emH所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为Ñ´Ñ´ E -w2me E = - jwÑm ´ H - jwmJ(2-1-5)Ñ´Ñ´ H -w2emH = Ñ´ J +jwÑe ´ E(2-1-6)由(2-1-4)式得Ñ× (e E )= eÑ× E + E ×Ñe = r即Ñ× E = r - E ×Ñe(2-1-7)e由(2-1-3)式得Ñ× (mH )= mÑ× H + H ×Ñm = 0 即Ñ × H = - H ×Ñmm(2-1-8)利用矢量关系式 Ñ´ (Ñ´ A)= Ñ(Ñ× A)-Ñ 2 A ，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹方程为æ E ×Ñe öæ r öÑ2 E + w2 me E = jwÑm ´ H + jwmJ - Ñ çe÷ + Ñ ç e ÷(2-1-9)èøèøæ H ×Ñm öÑ2 H + w2 meH = -Ñ´ J - jwÑe ´ E -Ñ çè÷(2-1-10)mø均匀介质中， Ñe = Ñm = 0vvræ r öÑ 2 E + k 2 E = jwmJ + Ñç e ÷èørrrÑ 2 H + k 2 H = -Ñ ´ Jem无源区中k = wvvÑ 2 E + k 2 E = 0rrÑ 2 H + k 2 H = 02-4推导式（2-2-8）。解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz 方程：cÑ2 E (r )+ k 2 E (r )= 0Ñ2 H (r )+ k 2 H (r )= 0meec其 中 k = wc， ee= e - jsw设复传播常数k= k¢ - jk ¢ ，则由k 2 = w2 me 得cceæs öæs ö(k¢ - jk ¢)2 = w2 m çe - j w ÷即 k¢2 - k ¢2 - 2j k¢k ¢ = w2 m çe - j w ÷èøèø所以由等号两边实部和虚部对应相等得ìk¢2 - k ¢2 = w2 meîí2k¢k ¢ = wmsem æç2çè1+ ç we ÷ +1÷æ s ö2öèø÷ø解以上方程组得k¢ = wem æç2çè1+ ç we ÷ -1÷æ s ö2öèø÷øk ¢ = w2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。证：任一椭圆极化平面波可写为 E = e Ex x+ je Ey yE = e Ex x+ je Ey y= e é 1 (Eêx ë 2x+ E )+ 1 (Ey2x- E )ù + jeúy ûé 1 (Eêy ë 2x+ E )- 1 (Ey2x- E )ùy úû= e 1 (Ex 2x+ E )+ jey1 (Ey 2x+ E )+ e)y1 (Ex 2x- E )- jey1 (Ey 2x- E )y令 E = 1 (E12x+ E )， Ey2= 1 (E - E2xy，则上式变为E = (e E + je E )+ (e E - je E )x 1y 1x 2y 2上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：E(z, t) = e Ecos(wt - kz) + e E cos(wt - kz + p )x 0上式等价于y 02E (z, t) = e Ex 0cos(wt - kz) - e Ey 0sin(wt - kz)磁场强度的瞬时值表达式为：H (z, t) = eyE0 cos(wt - kz) + eZxE0 sin(wt - kz)Z其中 Z 表示波阻抗。因此能流密度的瞬时值表达式为：S(z, t) = E(z, t) ´ H (z, t)ë= ée E cos(wt - kz) - e Ex 0y 0sin(wt - kz)ù ´ ée E cos(wt - kz) + e0û êë y Z0 sin( t - kz)Ewùúx Zûé E2E2ùE2= e ê 0 cos2 (wt - kz) +0 sin2 (wt - kz)ú = e0z ë ZZûz Z因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为E(x) = 100(ey+ je )e- j2xV/mz试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式E(x) = 100(ey+ je )e- j2px V/mz知传播常数k = 2p rad/m ，所以波长： l = 2p = 1 mkc频率： f = 3´108 Hzl因为此圆极化平面波的传播方向为+x 方向，且电场强度z 分量相位超前 y 分量相位p ，因此为2左旋圆极化平面波。磁场强度可写为H (x) = 1 eZx0´ E (x) = 100 (eZz0- jey)e- j2px A/m能流密度为：é100ù*200001000ëS = E ´ H * = éë100(ey + jez )e- j2p x ùû ´ ê Z0(e - je )e- j2p x ú = eûz yxZ0» ex 6pW/m2 2-9设真空中 z = 0 平面上分布的表面电流JS磁场强度及能流密度。= e Jx S 0cosw t ，式中 J为常数。试求空间电场强度、S 0解： z = 0 平面上分布的表面电流将产生向+z 和-z 方向传播的两个平面波。设向+z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为 E (z,t) 和 H (z,t) ，向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为11E (z,t) 和 H22(z,t) 。由电磁场在z=0 平面处满足的边界条件可得：e ´H (0, t) - Hz12(0, t)= Js(2-9-1)E (0,t) = E (0,t)(2-9-2)12又E (z, t) = Z H (z, t) ´ e ， E (z,t) = Z H (z,t) ´ (-e )101z202z所以 Z H (0, t) + H (0, t)´ e = 0012z即H (0,t) = -H (0,t)(2-9-3)21将(2-9-3)代入(2-9-1)得：e ´ H (0,t) = 1 Jz12 s得H (0,t) = 1 J ´ e12 s= 1 e Jz2 x s 0coswt ´ e= - 1 e Jz2 y s 0coswt(2-9-4)所以 H (z,t) = - 1 e Jcos(w t - kz),z>0(2-9-5)12 y s0ZE (z,t) = - 0 e J cos(w t - kz)， z>0(2-9-6)1 2x s 0，z<0(2-9-7),z<0(2-9-8)同 理 H (z,t) = 1 e J cos(w t + kz)2 2 y s 0ZE (z,t) = - 0 e J cos(w t + kz)22 x s 0其中 Z 0为真空波阻抗。能流密度：S (z,t) = E (z,t) ´ H (z,t) =Z0 e J 2 cos2 (w t - kz)， z>01114 z s0ZS (z,t) = E (z,t) ´ H222(z,t) = - 0 e J 2 cos2 (w t + kz) ,z<04z s02-10 若在上题中有一个无限大的理想导电表面位于 z = d 平面，再求解其结果。解：由 2-9 题知，z = 0 平面上分布的表面电流e Jx s 0cosw t 将产生 x 方向极化向+z 和- z 方向传播的两个平面波。为计算方便，本题均采用复矢量表示形式。xE2Ei1ydzE r1图 2-10如图 2-10 所示，设向+z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为Ei (z) = e Ei e- jkzH i (z) = eEi10 e- jkz1x 101y Z0向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为E (z) = e E2x 20e jkzH(z) = -e E20 e jkz2y Z0假设理想导电平面位于z = d > 0 处，则表面电流向+z 方向传播的平面波在理想导体表面产生反射。设反射波的电场和磁场分别为：E r (z) = e E r e jkzH r (z) = -eE r10 e jkz1x 101y Z0由电场在理想导体表面处切向分量为零的边界条件，得Ei e- jkd + E r e jkd = 0（1）1010由 z=0 处电场和磁场满足的边界条件，得：Ei + E r = E101020（2）éEiErE ùe ´ êe10 - e10 + e20 ú = e Jëûzy Zy Z00y Zx s 0 0EiErE即 - 10 +10 -20 = J（3）ZZZs 0000联立解（1）（2）（3）得：Ei = 1 Z J，102 0 S 0Er = - 1 Z Je j2kd ，102 0 S 01E=Z J (1- ej2kd )202 0 S 011所以Ei (z) = e1x 2Z J0 S 0e- jkz， H i (z) = e1y 2J e- jkzS 011E (z,t) = eZ J2x 2 0 S 01(1- ej2kd )ejkz， H2(z) = -eJy 2 S 01(1- ej2kd )ejkzE r (z,t) = -e1x 2在0 < z £ d 区域：Z J0 S 01ejk ( z +2d ) ，H r (z) = e1y 2J ejk (z+2d )S 0E (z) = Ei (z) + E r (z) = eZ J2e- jkz éë1 - ej2k ( z +d ) ùû111x0 S 01S 0H (z) = H i (z) + H r (z) = eJ111y2e- jkz éë1 + ej2(z+d ) ùû在 z < 0 区域：11E (z,t) = e2x 2Z J0 S 0(1- ej2kd )ejkz， H2(z) = -ey 2J (1- ej2kd )ejkzS 0在 z > d 区域：电磁场为零。复能流密度：11S (z,t) =E (z) ´ H * (z) = eZ J28e- jkz éë1 - e j2k ( z +d ) ùû ´ Je jkz éë1 + e- j2(z+d ) ùû1111z0 S 0S 0= -eZ J 2 sin 2k(z + d )z 4 0 S 0（z>0）111S (z) =E (z) ´ H * (z) = -eZ J (1- e j2kd )ejkz ´ J (1- e- j2kd )e- jkz = -eZ J 2 (1- cos 2kd )22 22z 8 0 S 0S 0z 4 0 S 0（z<0）2-13当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为 1V/m，入射角为 60°，介质的电磁参数为e = 3, m = 1，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波rr及折射波的电场振幅。解：在真空中：波阻抗为Z = Z =10，传播常数为k = wme00e m0 01介质中的波阻抗为Z =2=，传播常数为k = wm me er 0r 0Z03e e m mr 0 r 0w e e m mw e mr 0 r 00 032设折射角为q，则 sin 60° = k2 =t所以sinq = 1t2sinqt， 即 qtk1= 30°(1) 对于平行极化波，有ZZZ cosq - Zcosq0 -0反射系数 R =1i2t = 22 = 0/Z1cosqi+ Z cosq2tZZ0 +02203Z32Z cosqi透射系数 T =Z1cosq2 + Zi2cosqt= ZZ =30 +022可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为(2) 对于垂直极化波，有3 V/m ；3Z0 -2 3Z02 33Z23Z20+0Z cosq - Z cosq1t反射系数 R= Z2 cosqi + Z cosq= -0.52i1t03Z3Z02 3+02Z2Z cosq透射系数 T= Z cosq22ii= 0.5q+ Z cos1t因此反射波和折射波的电场振幅均为0.5 V/m 。2-16 已知电场强度为 E(z) = e 10e- j2 z 的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为xe= 1 ， er1r 2= 4 ， er3= 16,m = m12= m = m30，中间介质夹层厚度d = 0.5m ，试求各区域中电场强度及磁场强度。解答：xe , m11e , m22e , m33dzEH图2-16由电场强度 E (z) = e 10e- j2pz 知，传播常数k = 2p rad/m，波长l = 2p = 1m。x11k1e1r 2在中间介质中的波长为l = l2= 0.5 m，传播常数k2= 2p = 4p rad/m 。l2e1r 3介质三中的波长为l = l3= 0.25 m，传播常数k3= 2p = 8p rad/m 。l311111三种介质中的波阻抗分别为： Z =1Z = Z ， Z =er1002Z =Z ， Z =Z =Zer 2er 302 0304 0介质一（z0）中入射波电场和磁场强度为E i (z) = e 10e- j2pz ， H i (z) = e10 e- j2pz ，1x1y Z0pE rp令反射电场和磁场强度为E r (z) = e E r e j21x 10z ， H r (z) = -e10 e j2 z1y Z1介质二(0<zd)中，令入射波和反射波的电场和磁场强度分别为：E i (z) = e E r e-2x 20j4pz ， H i (z) = e 2Eie- p20j4 zy ZE r (z) = e E r e j4pz ， H r (z) = -e2pE r20 e j4 z2x 202y Z2介质三（z>d）中，令入射波的电场强度为 E i (z) = e Ei e- j8p( z -d ) 。3x 30则在 z = 0 和 z = d 处有电场和磁场切向分量连续得：10 + E r10= Ei20+ E r20Ei e- j4p d + E r e j4p d = Ei20203010E rEiE r- 10 =ZZ1120 -20ZZ22Ei20 e- j4p d Z2E rEi-=20 e j4p d30ZZ23由以上四式可解得E r = -6 , Ei1020= 6 ， E r20= -2 ， Ei = 430则各区域的电场和磁场强度为：E i (z) = e 10e- j2pz ， H i (z) = e10e- j2p z1x1y Z0E r (z) = -e 6e j2pz ， H r (z) = e 6 e j2pz1 x1y Z0E i (z) = e 6e- j4pz ， H i (z) = e 12 e- j4pz2 x2y Z0E r (z) = -e2x2e j4pz ， H r (z) = e24 e j4pzx ZE i (z) = e 4e- j8p( z -d ) ， H i (z) = e016e- j8p ( z -d )3x3x Z0第三章 辅助函数3-1.由 Lorentz 条件导出电荷守恒定律。解答：已知矢量磁位 A(r) 和标量电位F(r) 分别满足：Ñ2 A(r) + w2 me A(r) = -mJ (r)(3-1-1)r(r)Ñ2F(r) + w2 meF(r) = - e1(3-1-2)J (r) = - 1 Ñ éÑ2 A(r) + w2 me A(r)ù = - 1 éÑ Ñ2 A(r) + w2 meÑ A(r)ù = - 1 éÑ2Ñ A(r) + w2 meÑ A(r)mëûm ëûm ëû由(3-1-1)得J (r) = - m Ñ2 A(r) + w2 me A(r)(3-1-3)所以Ñ将 Lorentz 条件Ñ A(r) = - jwme F(r) 代入上式得：Ñ J (r) = jwe éëÑ2F(r) + w2 meF(r)ùû = -jwr(r)电荷守恒定律得证。3-3 已知在圆柱坐标系中，矢量磁位 A(r ) = ez强度和磁场强度。解：A (r )e- jkz ，式中r =z。试求对应的电场x2 + y2已知 A(r) = e A (r)e- jkz(3-3-1)z zH (r) = 1 Ñ ´ A(r)(3-3-2)mE(r) = - jwA(r) - j ÑÑ A(r)wmez将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得(3-3-3)H (r) = 1 Ñ´ A(r) = -e1 ¶ éë A (r)e- jkz ùû= -e1 A¢(r)e- jkzmj m¶rj m zÑÑ A(r)jì ¶üE(r) = -jw A(r) - j= -e j