中考数学压轴题解题策略(1)等腰三角形的存在性问题23760.pdf

word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 中考数学压轴题解题策略（1）等腰三角形的存在性问题解题策略 挑战中考数学压轴题的作者 上海 马学斌 专题攻略 如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB 三种情况 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 几何法一般分三步：分类、画图、计算 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 例题解析 例 如图 1-1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D 的坐标为(3,4)，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，如果DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标 图 1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形DOP：DODP，ODOP，POPD 当 DODP 时，以 D 为圆心、DO 为半径画圆，与 x 轴的正半轴交于点 P，此时点 D 在 OP 的垂直平分线上，所以点 P 的坐标为(6,0)（如图 1-2）当 ODOP5 时，以 O 为圆心、OD 为半径画圆，与 x 轴的正半轴交于点 P(5,0)（如图 1-3）当 POPD 时，画 OD 的垂直平分线与 x 轴的正半轴交于点 P，设垂足为 E（如图 1-4）在 RtOPE 中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OP 此时点 P 的坐标为25(,0)6 图 1-2 图 1-3 图 1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标 P，其中和画好图就知道答案了，只需要对进行计算 代数法先设点 P 的坐标为(x,0)，其中 x0，然后罗列DOP 的三边长（的平方）DO252，OP2x2，PD2(x3)2+42 当 DODP 时，52(x3)2+42解得 x6，或 x0 当 x0 时既不符合点 P 在 x 轴的正半轴上，也不存在DOP word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 当 ODOP 时，52x2解得 x5当 x5 时等腰三角形 DOP 是存在的，但是点 P 此时不在 x 轴的正半轴上（如图 1-5）当 POPD 时，x2(x3)2+42这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和 OD 的垂直平分线）有且只有一个交点 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验 图 1-5 例 如图 2-1，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，动点 P 以 2 个单位/秒的速度从点 A 出发，沿AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 个单位/秒的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，当 P、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动在 P、Q 两点移动的过程中，当PQC 为等腰三角形时，求 t 的值 图 2-1【解析】在 P、Q 两点移动的过程中，PQC 的 6 个元素（3 个角和 3 条边）中，唯一不变的就是PCQ 的大小，夹PCQ 的两条边 CQt，CP102t.因此PQC 符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个C 就可以了，在C 的边上取点 P 或 Q 画圆 图 2-2 图 2-3 图 2-4 如图 2-2，当 CPCQ 时，t102t，解得103t(秒).如图 2-2，当 QPQC 时，过点 Q 作 QMAC 于 M，则 CM152PCt.在 RtQMC 中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t(秒).如图 2-4，当 PQPC 时，过点 P 作 PNBC 于 N，则 CN.在 RtPNC 中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t(秒).这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的PCQ，使得画图简洁，计算简练 例 如图 3-1，直线 y2x2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，直线 PQ 与直线 AB 垂直，交 y 轴于点 Q，如果APQ 是等腰三角形，求点 P 的坐标 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 图 3-1【解析】我们先用代数法解这道题 由 y2x2 得，A(1，0)，B(0，2)所以 OA1，OB2 如图 3-2，由于QPAABO，所以 OPOQOBOA21 设点 Q 的坐标为(0，m)，那么点 P 的坐标为(2m，0)因此 AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2 当 APAQ 时，解方程(2m1)2m21，得0m 或43m 所以符合条件的点 P 不存在 当 PAPQ 时，解方程(2m1)25m2，得25m 所以(42 5,0)P 当QAQP 时，解方程 m215m2，得12m 所以(1,0)P 图 3-2 图 3-3 图 3-4 我们再用几何法验证代数法，并进行比较 如图 3-3，在直线 PQ 平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知QPO 的大小是不变的，因此PQA 也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个P，点 P 在点 A 的右侧，暂时不画 y 轴（如图 3-4）如果 APAQ，以 A 为圆心、AP 为半径画圆，得到点 Q（如图 3-5）因为点 Q 在 y 轴上，于是“奇迹”出现了，点 A(1,0)怎么可以在 y 轴的右侧呢？图 3-5 图 3-6 当 PAPQ 时，以 P 为圆心、PA 为半径画圆，得到点 Q，再过点 Q 画 y 轴 此时由215mm，解得25m，所以(42 5,0)P（如图 3-6）请问代数法解得的点(42 5,0)P在哪里？看看图3-7 就明白了 当 QAQP 时，点 Q 在 AP 的垂直平分线上，由于 A(1,0)，所以 P(1,0)（如图 3-8）我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 图 3-7 图 3-8 例 如图 4-1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点P(0,m)是线段 OC 上一动点（C 点除外），直线 PM 交 AB 的延长线于点 D当APD 是等腰三角形时，求 m 的值 图 4-1【解析】点 P(0,m)在运动的过程中，APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解 因为 PC/DB，M 是 BC 的中点，所以 BDCP2m所以 D(2,4m)于是我们可以罗列出APD 的三边长（的平方）：22(4)ADm，224APm，2222(42)PDm 当 APAD 时，22(4)4mm解得32m（如图 4-2）当 PAPD 时，22242(42)mm 解得43m（如图 4-3）或4m（不合题意，舍去）当 DADP 时，222(4)2(42)mm 解得23m（如图 4-4）或2m（不合题意，舍去）综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23 图 4-2 图 4-3 图 4-4 其实、两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：如图 4-2，当 APAD 时，AM 垂直平分 PD，那么PCMMBA 所以12PCMBCMBA因此12PC，32m 如图 4-3，当 PAPD 时，P 在 AD 的垂直平分线上 所以 DA2PO因此42mm解得43m 例 如图 5-1，已知ABC 中，ABAC6，BC8，点 D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，ADEB设 BD 的长为 x，如果ADE 为等腰三角形，求 x 的值 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 图 5-1【解析】在ADE 中，ADEB 大小确定，但是夹ADE 的两条边 DA、DE 用含有 x 的式子表示太麻烦了 本题的已知条件ADEBC 非常典型，由于ADCADE1，ADC B2，ADEB，所以12于是得到典型结论DCEABD 如图 5-2，当 DADE 时，DCEABD因此 DCAB，8x6解得 x2 如图 5-3，如果 ADAE，那么AEDADEC由于AED 是DCE 的一个外角，所以AEDC如果ADEC，那么 E 与 C 重合，此时 D 与 B 重合，x0 如图 5-4，当 EAED 时，DAEADEBC，所以DACABC因此8668x解得72x 图 5-2 图 5-3 图 5-4 更多、更详细内容，请查看华东师大出版社挑战中考数学压轴题。