圆锥曲线的光学性质及其应用37261.pdf
圆锥曲线的光学性质及其应用 尹建堂 一、圆锥曲线的光学性质 圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。设 P（XQJO）为圆锥曲线 Ax2+Bxy+C”+Dx+Ey+F=0（A、B、C不同时为零）上一定 点，则 在该点 处 的 切线 方 程为：她+B近箜+CW+D 上+E+F=。2 2 2。（该方程与已知曲线方程 本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。该方程的推导，原则上用“法”求出在点 P处的切线斜率k-fSyj,进而用点 斜式写出切线方程y-y0=f（x。Jo）（x-x）,则在点P处的法线方程为 _ 1 7 y f（Wo）（x-xQ。1、抛物线的切线、法线性质 经过抛物线=2px（p0）上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法 线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图 i中k鱼。事实上，设为抛物线寸=2牌上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得 _ X+x0P_ F2，即yoy=p（x+x（）.），斜率为，于是得在点M处的法线方程为 令y=，得法线与x轴的交点N的坐标为（*。+P），又焦半径 所以|FN|二+p-？卜 X。+所以|FN|=|FM|,从而得乌=4=如即4=闻 当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。|FT|=|FM|m m 22=Z3,从而得血=&也可以利用到角公式来证明 _ 抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴”。2、椭圆的切线、法线性质 经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图图2 证明也不难，分别求出kp#*?旷kp与，然后用到角公式即可获证。椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反 射光线交于椭圆的另一个焦点上”。3、双曲线的切线、法线性质 经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图 可利用到角公式获证。图3 这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光 线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。二、圆锥曲线光学性质的应用 光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥 曲线的有关问题中的应用。应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式 的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图 4,MN切曲线C于 点P,则Z APM=Z BPN。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等 角的余角相等来证明的。图4 x y 1 广 _+=1 =例1求证：椭圆25 9 和双曲线15 在交点处的切线互相垂直。图5 也可以利用点M处的切线方程求出 丁即）,则叩=护 IMFf+L，又 2故 3中蛆乌。仍 分析：如图5,用圆锥曲线光学性质证明Z 1+Z 3=90即可。证明：如图5,两曲线的公共焦点，设p为两曲线的一个交点，PQ、PR分别为椭圆、双曲线的切线，连&P，并延长，由椭圆光学性质，推得1=/2;由双曲线光学性质，得/3=7 4。又Z 2=Z 5,Z4=Z 6（对顶角相等），所以Z 1=Z 5,/3=/6（等量代换）。又Z 1+Z 3+Z 5+Z 6=180 ,所以Z 1+Z 3=90 ,即PQ PR,命题得证。评注：（1）本题也可采用代数运算证出 kpkpR=-l的方法来证明，但比较复杂。这 里采用光学性质证明法则直观简捷。（2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭 圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相 垂直，叫做这两曲直交。例2如图6,已知Fp 5是椭圆3+仍一 b对）的焦点，6 P?分别是$5在椭 圆任一切线CD上的射影。（1）求证：|FP|FE|为定值；（2）求Pp Pa的轨迹方程。图6 分析：（1）欲证IRP|，|Fg|为定值，即证|FQ|siim|FQ|如皿为定值（由光学性 质推得 ZFiQP 广QP 广以），从而知应用余弦定理于 AFQF：即可获证。）（2）求出 mm分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。证明：（1）设Q为切线，由椭圆光学性质推知 ZF1QP广况QP,设为（X,贝U IFRHFIQ网饥喝日以网CL 所以|隅|明曲QIJ眼|血毫 又ZFiQF广-2，则在怔网中，1哂|七|FiQf+旧Q|L2|FiQ|FQg（18。-2d）=（|F；Q|+I5QF）2|F；Q|WQ|（1LCW2OL）-（2a）a-2|F1Q|FaQ|l（l-2maa）=4a2-4151|F2Q|sin2（x=4a3-4|F1P1|F2P2L 则1 I-所以|FP|,国R|=为常数,即定值。(2)设点O在CD上的射影为 M,贝U OM是直角梯形 F朋R 的中位线，于是有=：|耶F+0F】P/+1 E P也N1 喝于N）=31所/-0阴|-匡明）七（|卵|+|&均|=；+4 IF出1.1 5马|）=1（*+府）曲（1削|F】P hl F涡|=尸）4 4=aa 同理 L 所以Pp P?的轨迹是以。为圆心，a为半径的圆，其方程为/例3设抛物线 矿=1位的焦点为F,以F与A(4,4)为焦点作椭圆，使其与已知抛物 线有公共点(如图 7),当长轴最短时，求椭圆方程。分析：求解的关键是光线 FP的反射线PA平行于x轴。E 3-2)2+5-=1 解：设以点A(4,4)、F(4,0)为焦点的椭圆为&-4 a(a为长半轴 长)。再设P为抛物线与椭圆的公共点,由椭圆第一定义知：|PA|+|PF|=2a 即长轴长2a等于抛物线上一点 P到两定点A、F距离之和，若2a最小，当且仅当椭圆 与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光学性质知，光线 FP的反射线PA平行于x轴。所以P(1,4)。由知占血三4，(4)(y-2)+-=L 所以所求的椭圆方程为 一 二 例4如图8,已知探照灯的轴截面是抛物线 y3=x,平行于对称轴y=0的光线于此抛物 线上的入射点、反射点分别为 P、Q,设点P的纵坐标为，当a为何值时，从入射 在 RtAOPjM 中,|OP1p=|MP1|2+|OM|2=故知点Q坐标为 点P到反射点Q的路程PQ最短?函数I PQ 1=f(&)，求出最小值条件a即可。解：由抛物线光学性质知光线 PQ必过其焦点 J,设点P(a)a)，则直线PQ的方 程为2 将方程y 代入，消去x,得 4aya-(4aa-l)y-a=0=y=-l n 4a 或y-U 二1 a 当且仅当 16a2，即-项时，等号成立。1 口“1)i 1)此刻 IPQIG，即当 2时，亦即入射点4 2人反射点、4 2)时|PQ|最短,过 时P、Q恰好关于x轴对称。分析：设F(a、)，由抛物线光学性质知 F-0 PQ过焦点14),故可用弦长公式建立目标
