专题--数列求和的基本方法和技巧23403.pdf
word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 数列求和的基本方法和技巧 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 3、)1(211nnkSnkn 4、)12)(1(6112nnnkSnkn 5、213)1(21nnkSnkn 例1 已知3log1log23x，求 nxxxx32的前 n 项和.解：由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 nnxxxxS 32 （利用常用公式）xxxn1)1(211)211(21n1n21 例2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn （利用常用公式）1)32()(nnSnSnf64342nnn nn6434150)8(12nn501 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 当 88n，即 n8 时，501)(maxnf 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：132)12(7531 nnxnxxxS 解：由题可知，1)12(nxn的通项是等差数列2n1的通项与等比数列1nx的通项之积 设nnxnxxxxxS)12(7531432 .（设制错位）得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn 例4 求数列 ,22,26,24,2232nn前 n 项的和.解：由题可知，nn22的通项是等差数列2n的通项与等比数列n21的通项之积 设nnnS2226242232 14322226242221 nnnS （设制错位）得1432222222222222)211(nnnnS （错位相减）1122212nnn 1224nnnS 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个)(1naa.例5 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210 .word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 把式右边倒转过来得 0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS （反序）又由mnnmnCC可得 nnnnnnnCCCnCnS 1103)12()12(.+得 nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110 （反序相加）nnnS2)1(例6 求89sin88sin3sin2sin1sin22222 的值 解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222 S.将式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin22222 S.（反序）又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx +得 （反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 S89 S44.5 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前 n 项和：231,71,41,1112 naaan，解：设)231()71()41()11(12 naaaSnn 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12 naaaSnn （分组）当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn （分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan 例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk 将其每一项拆开再重新组合得 Snkkknknknk1213132 （分组）)21()21(3)21(2222333nnn 2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn （分组求和）2)2()1(2nnn 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan （2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan （4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则 例9 求数列 ,11,321,211nn的前 n 项和.解：设nnnnan111 （裂项）则 11321211 nnSn （裂项求和）)1()23()12(nn 11n word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例10 在数列an中，11211 nnnnan，又12nnnaab，求数列bn的前 n 项的和.解：211211nnnnnan )111(82122nnnnbn （裂项）数列bn的前 n 项和 )111()4131()3121()211(8 nnSn （裂项求和）)111(8n 18nn 例11 求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S nnnntan)1tan()1cos(cos1sin （裂项）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S （裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1 )0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2 原等式成立 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例12 求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.解：设 Sn cos1+cos2+cos3+cos178+cos179 )180cos(cosnn （找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）+cos90 （合并求和）0 例13 数列an：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求 S2002.解：设 S20022002321aaaa word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 由nnnaaaaaa12321,2,3,1可得,2,3,1654aaa,2,3,1,2,3,1121110987aaaaaa 2,3,1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa 0665646362616kkkkkkaaaaaa （找特殊性质项）S20022002321aaaa （合并求和）)()()(66261612876321 kkkaaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993)(aaaaaaa 2002200120001999aaaa 46362616kkkkaaaa 5 例14 在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa 求的值.解：设1032313logloglogaaaSn 由等比数列的性质 qpnmaaaaqpnm （找特殊性质项）和对数的运算性质 NMNMaaalogloglog 得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn （合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa 9log9log9log333 10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例15 求11111111111个n 之和.word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 解：由于)110(91999991111111 kkk 个个 （找通项及特征）11111111111个n )110(91)110(91)110(91)110(91321 n （分组求和）)1111(91)10101010(911321 个nn 9110)110(1091nn)91010(8111nn 例16 已知数列an：11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值.解：)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn （找通项及特征）)4)(3(1)4)(2(18nnnn （设制分组）)4131(8)4121(4nnnn （裂项）1111)4131(8)4121(4)(1(nnnnnnnnnaan （分组、裂项求和）418)4131(4 313 说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
