函数的概念及表示法20406.pdf

.v 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 fx和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。例 1.以下从集合 A 到集合 B 的对应关系中，能确定 y 是 x 的函数的是 A=*Z，B=yyZ，对应法那么 f：xy=3x;A=*0,xR,B=yyR，对应法那么 f：x2y=3x;A=R,B=R,对应法那么 f：xy=2x;变式 1.以下图像中，是函数图像的是 变式 2.以下式子能确定 y 是 x 的函数的有 22xy=2 111xy y=21xx A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 变式 3.函数 y=fx，那么对于直线 x=aa 为常数，以下说法正确的选项是 A.y=fx图像与直线 x=a 必有一个交点 B.y=fx图像与直线 x=a 没有交点 C.y=fx图像与直线 x=a 最少有一个交点 D.y=fx图像与直线 x=a 最多有一个交点 变式 4.对于函数 yf(x)，以下说法正确的有()y 是 x 的函数 对于不同的 x，y 的值也不同 f(a)表示当 xa 时函数 f(x)的值，是一个常量 f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 变式 5 设集合 Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有()ABCD 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域一样，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。例 2.以下哪个函数与 y=x 一样 .y=x.2yx.2yx.y=t.33xy；.2xy 变式 1.以下函数中哪个与函数32yx一样 A.2yxx B.2yxx C.32yxx D.22yxx 变式 2.以下各组函数表示相等函数的是 A.293xyx 与 3yx B.21yx 与 1yx O O O O X X X X y y y y.v C.0yxx0 与 1y x0 D.21yx，xZ 与21yx，xZ 变式 3.以下各组中的两个函数是否为一样的函数.13)5)(3(1xxxy52 xy 2111xxy)1)(1(2xxy 321)52()(xxf52)(2xxf 考点三：求函数的定义域 1当 fx是整式时，定义域为 R；2当 fx是分式时，定义域是使分母不为 0 的 x 取值集合；3当 fx是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的 x 取值集合；4当 fx是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值集合；5当 fx是对数式时，定义域是使真数大于 0 且底数为不等于 1 的正数的 x 取值集合；已学函数的定义域和值域 1一次函数yaxb)0(a:定义域 R,值域 R;2反比例函kyx)0(k:定义域0|xx,值域|0y y;3二次函数2yaxbxc)0(a:定义域 R 值域：当0a时，abacyy44|2；当0a时，abacyy44|2 例 3.函数2211yxx的定义域是 A.1,1 B.(-1,1)C.-1,1 D.(-,-1)(1,+)函数yx112x的定义域是(用区间表示)_ 变式 1.求以下函数的定义域(1)21)(xxf；(2)23)(xxf；(3)xxxf211)(.(4)01xyxx(5)yx1x24；(6)y1|x|2；(7)yx2x1(x1)0.求复合函数的定义域 例 5.函数 f21x定义域为1,3,求 fx的定义域 变式 1.函数 f1x的定义域为 0，3，求 fx的定义域 变式 2.已经函数 fx定义域为 0,4,求 f 2x的定义域 考点四：求函数的值域.v 例 6求以下函数的值域 31yx，x1，2,3，4，5 (观察法)246yxx，x1,5 (配方法：形如2yaxbxc)21yxx (换元法：形如yaxbcxd)21xyx (别离常数法：形如cxdyaxb)221yxxx(判别式法：形如21112222a xb xcya xb xc)变式 1.求以下函数的值域 2243yxx1yxx 2()234f xxx2()234f xxx(12)x y=213xx2224723xxyxx 考点五：求函数的解析式 例 7.fx=22xx，求 f1x的解析式 代入法/拼凑法/换元法 变式 1.fx=21x，求 f2x的解析式 变式 2.fx+1=233xx，求 fx的解析式 变式 3.(1)2fxxx，试求()f x的解析式.例 8.假设 f fx=4x+3，求一次函数 fx的解析式 待定系数法 变式 1.fx是二次函数，且211244f xf xxx，求 fx.变式 2.一次函数()f x满足()45f f xx，求该函数的解析式.变式 3多项式7)(axxf，222)(bxxxg，且922)()(2xxxgxf.试求a、b的值.变式 4f(x)是二次函数，且 f(0)=2，f(x+1)f(x)=x1，求 f(x)的解析式.变式 5二次函数 fxx2bxc 满足 f1xf1x，且 f03，求 fx的解析式.变式 6.函数 fx是一次函数，且满足 3fx12fx12x17，求 fx.例 9.fx2fx=x，求函数 fx的解析式 消去法/方程组法 变式 1.2 fxfx=x+1，求函数 fx的解析式 变式 2.2 fxf1x=3x，求函数 fx的解析式 例10.设 对 任 意 数x，y均 有 222233fxyfyxxyyxy，求f x 的 解 析 式.赋值法/特殊值法 变式 1.对一切 x，yR，21fxyf xxyy都成立，且 f0=1，求 fx的解析式.v 考点六：函数的求值 例 11.已经函数 fx=32xx，求 f2和 fa+f(a)的值 变式 1.f2x=21xx，求 f2的值 例 12.函数 510320 xxxxf x ，求 f1+f1的值 变式 1.函数 2122111f xxxxxxf x ，求 f f4的值 变式 2.函数 1(2)2nf nnf n，求 f5的值 例 13.设函数 812l,1og(1,)(,xf xxxx ，求满足 fx=12的 x 值 变式 1.函数 11xf xxxx，假设 fx=2，求 x 的值 考点七：映射 例 1判断以下对应是否是映射.变式 1.以下各组映射是否是同一映射.变式 2.判断以下两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射.1设 A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，对应法那么12:xxf 2设1,0,*BNA，对应法那么得的余数除以2:xxf 3NA，2,1,0B，:3f xx 被 除所得的余数 4设1 1 1X1,2,3,4,Y1,2 3 4取倒数xxf:5NBNxxxA,2|，的最大质数小于xxf:考点八：函数的表示方法：1解析法；2列表法；3图象法 例 1 某种笔记本每个 5 元，买 x1,2,3,4个笔记本的钱数记为 y元，试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图像.例 2 国内投寄信函外埠，每封信函不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 而不超过 40g 付邮资 160 分，依次类推，每封 xg(0 x100)的信函应付邮资为单位：分，试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图像.v 531-2-5xOy例 3 画出函数 y=|x|=00 xxxx的图象.例 4 求以下函数的最大值、最小值与值域.142xxy；4,3,142xxxy；1,0,142xxxy；函数的单调性与最值 增函数与减函数 单调性与单调区间 例 1 如图，是定义在闭区间-5，5上的函数)(xfy 的图象，根据图象说出)(xfy 的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(xfy 是增函数还是减函数.例 2 证明函数23)(xxf在 R 上是增函数.例 3 证明函数xxf1)(在(0,+)上是减函数.练习 1函数 y=x2+x+2 单调减区间是()A、1,)2B、-1，+C、1(,2 D、-，+2下面说法正确的选项 A函数的单调区间可以是函数的定义域 B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 3函数 f(x)=2x2mx+3,当 x 2,)时,增函数,当 x2,时,是减函数,那么 f1等于 A3 B13 C7 D由 m 而定的其它常数 4.如果函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(,4上是减函数，那么实数a的取值 X 围是 Aa3 Ba3Ca5Da3 5.函数bxky)12(在实数集上是增函数，那么 A21k B21kC0b D0b.函数2122yxx 求:(1)当03x时，函数的最值;(2)当35x时，函数的最值 函数的奇偶性 观察以下函数的图象，总结各函数之间的共性.偶函数：.v 奇函数：例 1判断以下函数的奇偶性 12()1,2f xxx 232()1xxf xx 32211(0)2()11(0)2xxg xxx 例 2判断以下函数的奇偶性 14()f xx 25()f xx 31()f xxx 421()f xx 例 3()f x是奇函数，在0，+上是增函数 证明：()f x在，0上也是增函数 练习 1判断以下函数的奇偶性，并说明理由()0,6,22,6f xx ()|2|2|f xxx 2设()f xRx在 上是奇函数,当0 时，()(1)f xxx，试问：当x0 时，()f x的表达式是什么.学案6反函数一 选讲 复习 观图答复：:fABab 的意义是什么.新课 1试求函数231xyx的值域.(提示：利用别离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2反函数的定义：试利用定义填写下表：函数()yf x 反函数1()yfx 定义域 A A B a b A B b a.v 值域 B 3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：4试求(1)y=2x+1(2)y=2x+11()2x 的反函数,并比照有何不同.5求解反函数的步骤:例 求以下函数的反函数(1)(13Rxxy(2)212xyx(3)(13Rxxy (4)0(1xxy 练习 1.函数)1(156xRxxxy且，那么它的反函数为()A、1156xRxxxy且 B、665xRxxxy且 C、65561xRxxxy且 D、556xRxxxy且 2.函数2(0)1(0)2xxyx x的反函数是()A、2(0)0 x xyx x B、2(0)0 x xyx x C、1020 x xyx x D、1020 x xyx x 3.点(a,b)在 y=f(x)的图像上，那么以下各点中位于其反函数图像上的点是 A、)(,(1afa B、bbf,1 C、aaf,1 D、bfb1,4.假设函数)1(1)(2xxxf，那么)4(1f的值为 A、5 B、5 C、15 D、3 5.函数)(cxRxcxbaxy且的反函数为213xxy，求a,b,c 的值 6.132)(1xxxf，求 f(x)学案7反函数二 选讲 目标：1了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明；2会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.v 复习：1反函数的定义：2互为反函数的两个函数)(xfy 与)(1xfy间的关系：函数()yf x 反函数1()yfx 定义域 A B 值域 B A 3反函数的求法：一反解、二互换、三标明；4.原函数与其反函数的图象关于 y=x 对称.新课：例 1求函数2(0)yxx的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.例 2求函数2385xxy的值域.例 3)(xf=211x(x-1)，求)31(1f.例 4 假设点 A(1,2)既在函数)(xf=bax 的图象上，又在)(xf的反函数的图象上，求a,b 的值.例 5 假设)0(2)1(xxxxf，试求反函数)(1xfy.练习：1求以下函数的反函数：1)3(32xxy；2y=2x-6x+12(x3);3y=2 x(x-2).2.函数 y=ax+2 的反函数是 y=3x+b，求a,b 的值.3.函数 f(x)2916x是否有反函数.；当34,0 x时，反函数为，定义域为；当0,34x时，反函数为，定义域为。4.设 f(x)的反函数为)(1xf，23)(1xxf，那么)3(1f，f(3)=5.假设点(1,2)既在函数baxxf)(的图象上，又在函数 f(x)的反函数)(1xf的图象上，那么a=,b=6.f(x)在,0上为递增函数，那么)1(1f与)3(1f的大小关系是 解答题 7.函数 y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数 f(x)学案8函数图象变换.v 目标 根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换平移变换和对称变换.新课 1.根据所给定义域，画出函数222yxx的图象,并确定其最值.1Rx22,1(x32,1(x且 xZ 2.函数2)1(xy2 和1)21(2 xy的图象分别是由2xy 函数的图象经过如何变化得到的.练习 1二次函数 yx24x1，不求值比拟 f3和 f5的大小关系 2方程 x22ax40 的两根均大于 1，*数a的取值 X 围 3二次函数 f(x)x2xa(a0)，假设 f(m)0，那么 f(m1)的值是 A正数 B负数 C零 D符号与a有关 4不等式a2x22a2x40 对 xR 恒成立，那么a的取值 X 围是_ 5二次函数 yx23a6x2 是偶函数，那么a的取值 X 围是_ 6二次函数 yax2bxc 满足 f4f1，那么 Af2f3 Bf2f3 Cf2f3 Df2与 f3的大小关系不能确定 7二次函数 y2x24a3x5 在区间，3上是减函数，那么a的取值 X 围是_ 8假设二次函数 yx23x4 的定义域为0，m，值域为425，4，那么 m 的取值 X 围是 A0，4 B23，4 C23，3 D23，9设二次函数 yax2bxc，对任意的实数 t 都有 f2tf2t成立，在函数值 f2、f1、f1、f5中，最小的一个不可能是 Af2 Bf1 Cf1 Df5 10函数 yaxb 和 yax2bxc，那么它们的图象是 A B C D 函数的应用 例 1 如图，一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点出发，沿正方形的边界运动一周，再回到 A 点.假设点 P 运动的路程为 x，点 P 到顶点 A 的距离为 y.求 A、P 两点间的距离 y 与点 P 的路程式 x 之间的函数关系式.例 2 在底边 BC=60,高 AD=40 的ABC 中作内接矩形 MNPQ。设矩形的面积为 S，MN=x，写出 S 与此同时 x 之间的 函数关系式，并求其定义域和值域。P B A D P C P A B C N M D Q P.v 例 3 某房地产公司要在荒地 ABCD如图上划出一块长方形的地面修建一座公寓楼。问如何设计才能使公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积。练习 1有一块梯形木板，上、下底长分别为 2m、3m，高为 2.5m，应当如何安排与底边平行的锯线,才能使锯下的矩形木条的面积最大.这个最大面积是多少.2.等腰梯形的周长是 60cm，腰与下底的夹角为 60，一腰长为 x，写出梯形面积 y 与 x 的函数关系，并求当 x 取何值时，梯形面积最大，最大值为多少.3某旅行社组织到参观，共需 6 天，每人往返机票、食宿、门票等费用共需 3200 元，如果把每人的收费标准定为 4600 元，只有 20 人参加旅游团.高于 4600 元，没有人参加。如果每人收费标准从 4600 元每降低 100 元，参加旅游团人数就增加 10 人。试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获利润最大.此时参加旅游团的人数是多少.G 100m 60m B A N E D C 70m 80m M