数字信号处理习题及答案22664.pdf

实用文档.三、计算题 1、已知10),()(anuanxn,求)(nx的 Z 变换及收敛域。（10 分）解：0)()(nnnnnnzaznuazX 10111)(azzann|az 2、设)()(nuanxn )1()()(1nuabnubnhnn 求)()()(nhnxny。（10 分）解：azznxzX)()(，|az bzazbzabzznhzH)()(，|bz bzzzHzXzY)()()(，|bz 其 z 反变换为)()()()()(1nubzYnhnxnyn 3、写出图中流图的系统函数。(10 分)解：21)(czbzazH 21124132)(zzzzH、利用共轭对称性，可以用一次 DFT 运算来计算两个实数序列的 DFT，因而可以减少计算量。设都是 N 点实数序列，试用一次 DFT 来计算它们各自的 DFT：)()(11kXnxDFT )()(22kXnxDFT（10 分）。解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21njxnxnw 实用文档.即 )()()()(21njxnxDFTkWnwDFT nxjDFTnxDFT21)()()(21kjXkX 又)(Re)(1nwnx 得)()(Re)(1kWnwDFTkXep )()()(21*kRkNWkWNN 同样)(1)(Im)(2kWjnwDFTkXop )()()(21*kRkNWkWjNN 所以用 DFT 求出)(kW后，再按以上公式即可求得)(1kX与)(2kX。5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5nRnhn求出系统函数，并画出其直接型结构。（10 分）解：（）1z 1z 1z 1z 9.0 29.0 39.0 49.0 （）、略。、设模拟滤波器的系统函数为 3111342)(2sssssHa 试利用冲激响应不变法，设计 IIR 数字滤波器。（10 分）解 TTezTezTzH31111)(实用文档.TTTTTezeezeeTz423131)(1)(设 T=1，则有 2111831.04177.013181.0)(zzzzH 4)3(2)(2jjHa 21831.04177.013181.0)(jjjjeeeeH 三、（12 分）序列)(nx为()()2(1)(3)x nnnn 1、画出序列)(nx的图形；2、计算线性卷积)()(nxnx；3、计算 5 点圆周卷积)(nx5)(nx。4、为了使N点的)(nx与)(nx圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N值为多少？解：1、序列)(nx的图形如下：（2 分）2、)6()4(4)3(2)2(4)1(4)()()(nnnnnnnxnx =1，4，4，2，4，0，1 （4 分）)(nx3210n112实用文档.3、)(nx5)(nx)4(4)3(2)2(4)1(5)(nnnnn =1，5，4，2，4 （4 分）4、为了使N点的)(nx与)(nx圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N值为 4+4-1=7 （2 分）四、（16 分）已知一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述：)1(21)()2(81)1(43)(nxnxnynyny 求该系统的系统函数 H(z)，画出其极、零点图，并指出其收敛域。2、画出其直接型和型的实现结构。3、求该系统的单位脉冲响应()h n，并判断该系统是 FIR 系统还是 IIR 系统？解:1、112112()31148zH zzz (3 分)极点:14z ,12z 零点:0z,12z (2 分)收敛域 12z (因系统是因果系统)(1 分)2、直接型实现结构(2.5 分)直接型实现结构(2.5 分)3、112112()31148zH zzz=1143111124zz ,12z 系统的单位脉冲响应为:11()4()3()()24nnh nu n (3 分)该系统是 IIR 系统.(2 分)五、（15 分）已知系统的单位取样响应nnnh其它,070,1)(1、求该系统的频率响应即振幅、相位。并指出该系统属于哪一种类型的线性相位 FIR 滤波器？2、求该系统的系统函数 H(z)，画出 H(z)的极点和零点，指出其收敛域。3、试判断该系统是否是稳定系统？4、画出其横截型实现结构。解 1、系统的频率响应为 实用文档.27870)2/sin()4sin(11)(jjjnnjjeeeeeH )2/sin()4sin()(jeH k27)(，k为整数。（3 分）因系统单位脉冲响应的长度为 8，且具有偶对称特性，因此该系统属于第二种类型的线性相位 FIR 滤波器。（2 分）2、系统函数 H(z)为 187170111)(zzzzzzHnn （2 分）H(z)的极点为0z（7 阶），零点为kjez82 ，7,2,1k （2 分）H(z)的收敛域为 0z （1 分）3、系统函数 H(z)的收敛域包括单位圆，所以系统是稳定的 （2 分）4、该系统的横截型（即直接型或卷积型）结构如下图所示 （3 分）六、（10 分）设)3)(1(2)(sssHa，试用双线性变换法和脉冲响应不变法，将以上模拟系统函数转变为数字系统函数)(zH，采样周期2T。解：双线性变换法：（5 分）)2(221)311)(111(2)()(121111111211zzzzzzzsHzHzzTsa 脉冲响应不变法：（5 分）3111)3)(1(2)(sssssHa 241313131)(1)(11)(zezeezeeTzeTzeTzHTTTTTTT 当采样周期2T 28162162)(1)(2)(zezeezeezH)(nx3210n112实用文档.七、(12 分)有一连续信号)2cos()(fttxa，式中Hzf50，1、求出)(txa的周期；2、用采样间隔sT002.0对)(txa进行采样，写出采样信号)(txa的表达式；3、写出对应)(txa的时域离散信号（序列）)(nx，并求出)(nx的周期。4、若频谱分析时计算了 100 个采样的 DFT，试求频谱采样之间的频率间隔F。解：1、)(txa的周期是 02.01fTas (2 分)2、nanTtfnttx)()2cos()(=nnTtnT)()100cos(3 分)3、因sT002.0,则)2.0cos()(nnx (2 分)(nx的数字频率为 2.0，102 周期10N (3 分)4、频谱采样之间的频率间隔 HzNTNfFs5002.010011 (2 分)八、（10 分）1、图 1 所示为时间抽取法蝶形运算流图，试写出1()Y k和2()Y k与1()X k和2()Xk的关系。2、若MN2，请给出时间抽取法 FFT 总的复数乘法次数和复数加法次数。3、MN2时，DIT-FFT 共需多少级分解？每级运算要计算的蝶形运算有多少个？图 1 时间抽取法蝶形运算流图符号 解：1、)()()(211kXWkXkYkN （2 分）)()()(212kXWkXkYkN （2 分）2()Y k1()Y k1()X k2()XkkNW1实用文档.2、总的复数乘法次数 NNMF2log21 （1.5 分）总的复数加法次数 NNAF2log （1.5 分）3、DIT-FFT 共需 M 级分解，每级运算要计算的蝶形运算有2N个.（3 分）四、简答题（每题 5 分，共 20 分）1用 DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？2画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。3简述用双线性法设计 IIR 数字低通滤波器设计的步骤。48 点序列的按时间抽取的（DIT）基-2 FFT 如何表示？五、计算题（共 40 分）1已知2(),2(1)(2)zX zzzz，求 x(n)。（6 分）2写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（8 分）)1(31)()2(81)1(43)(nxnxnynyny 3计算下面序列的 N 点 DFT。（1）)0()()(Nmmnnx（4 分）（2）)0()(2NmenxmnNj （4 分）4设序列 x(n)=1，3，2，1；n=0,1,2,3，另一序列 h(n)=1，2，1，2；n=0,1,2,3，（1）求两序列的线性卷积 yL(n)；（4 分）（2）求两序列的 6 点循环卷积 yC(n)。（4 分）（3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2 分）5设系统由下面差分方程描述：)1()2()1()(nxnynyny（1）求系统函数 H（z）；（2 分）（2）限定系统稳定，写出 H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应 h(n)。（6 分）四、简答题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）答案：1.答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应 实用文档.2.答：第 1 部分：滤除模拟信号高频部分；第 2 部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第 3 部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第 4 部分：数字信号变为模拟信号；第 5 部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。3.答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。4答：五、计算题（本题共 5 个小题，共 40 分）本题主要考查学生的分析计算能力。评分标准：1.所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给 0 分。2.部分步骤正确、答案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。3.采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。答案：1解：由题部分分式展开()(1)(2)12F zzABzzzzz 求系数得 A=1/3，B=2/3 所以 232131)(zzzzzF （3 分）收敛域z2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数，则 12()(1)()(2)()33kkf kkk （3 分）2解：(8 分)实用文档.3解：（1）knNWkX)(（4 分）（2）mkmkNkX,0,)(（4 分）4解：（1）yL(n)=1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,26 （4 分）（2）yC(n)=3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5 （4 分）（3）cL1+L2-1 （2 分）5解：（1）1)(2zzzzH （2 分）（2）511522z （2 分）；)1()251(51)()251(51)(nununhnn （4 分）简答题：1 在 A/D 变换之前和 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在 A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(minZH有何特点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式 NkkkMrrrZaZbZQZPZH101)()()(，他的所有极点都应在单位圆内，即1k。但零点可以位于 Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统)(1)(ZHZG也是稳定因果的。这就需要)(ZH的零点也位于单位圆内，即1r。一实用文档.个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值)(jweH唯一确定。从jwe求)(ZH的过程如下：给定jwe，先求2jwe，它是)cos(kw的函数。然后，用)(21kkZZ替代)cos(kw，我们得到)()()(1ZHZHZG。最后，最小相位系统由单位圆内的)(ZG的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即)()()(minZHZHZHap 完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(ZH的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数)(minZH是最小相位的。然后，选择全通滤波器)(ZHap，把与之对应的)(minZH中的零点映射回单位圆外。3何谓全通系统？全通系统的系统函数)(ZHap有何特点？解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(ZHap对应的傅里叶变换幅值1)(jweH，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即 NkkkNkkkMrrrapZZZaZbZQZPZH1111011)()()(。因而，如果在kZ处有一个极点，则在其共轭倒数点kZ1处必须有一个零点。4有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。nh nx ny 解：频率响应：njjenheH)()(系统函数：nZnhZH)()(差分方程：)()(1ZXZYZ 实用文档.卷积关系：)()()(nxnhny 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题：1设序列)(nx的傅氏变换为)(jeX，试求下列序列的傅里叶变换。（1）)2(nx （2）)(*nx（共轭）解：（1）)2(nx 由序列傅氏变换公式 DTFTnnjjenxeXnx)()()可以得到 DTFT2)()2()2(njnnjnenxenxnx为偶数 )()(21)(21)(21)(21)(21)()1()(2122)2(2)2(22jjjjnjnnjnnjnneXeXeXeXenxenxenxnx（2）)(*nx（共轭）解：DTFT)(*)()(*)(*jnnjnjneXenxenxnx 2计算下列各信号的傅里叶变换。（a）2nun （b）2)41(nun（c）24n （d）nn)21(实用文档.解：（a）022)(nnjnnjnneenuX jnnjee2111)21(0（b）2)41(241)(nnjnnjnneenuX）（jjmmjmeee41116)41(20)2(2（c）224)(jnnjnjneenenxX（d）12111211121)(jjnjnneeeX）（利用频率微分特性，可得 22)211(121)211(121)()(jjjjeeeedXdjX 3序列)(nx的傅里叶变换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶变换。（1）)(*nx （2）)(Renx (3)(nnx 解：（1）)(*)()(*)(*jwnnjwnjwneXenxenx （2）njwjwjwnnjwneXeXenxnxenx)()(21)()(21)(Re （3）dwedXjenxdwdjdwendxjennxjwnjwnnjwnnjwn)()()(1)(4序列)(nx的傅里叶变换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶变换。（1）)(nx （2）)(Imnxj (3)(2nx 实用文档.解：（1）)()()()()()(jwnnwjnnwjnjwneXenxenxenx （2）)()(21)()(21)()(21)()(21)(jwjwnnwjjwnnjwnjwnjwnneXeXenxeXenxenxenxnx （3）)()(21)()(21)()(21)()()(2jwjwjjnnnwjjnjwneXeXdeXeXenxdeXenx 5令)(nx和)(jweX表示一个序列及其傅立叶变换，利用)(jweX表示下面各序列的傅立叶变换。（1）)2()(nxng（2）为奇数为偶数nnnxng02)(解：（1）为偶数kkwkjnjnwnjnwjwekxenxengeG2)()2()()()()(2121)(21)(21)(21)(21)(21)()1()(2122)2(2)2(2222wjwjwjwjkwjkwjkwjkjkwjkkwkjkeXeXeXeXekxeXeekxekxekxkx 实用文档.（2）)()()2()()(222wjrwjrrrwjnjnwjweXerxergengeG 6设序列)(nx傅立叶变换为)(jweX，求下列序列的傅立叶变换。（1）)(0nnx 0n为任意实整数（2）为奇数为偶数nnnxng02)(（3）)2(nx 解：（1）0)(jwnjweeX （2）)2(nx n 为偶数 )(ng )(2wjeX 0 n 为奇数 （3）)()2(2jweXnx 7计算下列各信号的傅立叶变换。（1）)2()3()21(nunun（2）)2sin()718cos(nn（3）其它041)3cos()(nnnx【解】（1）nknNjnenunukX2)2()3()21()(2232)21()21(nknNjnnknNjnee kNjkNjkNjkNjeeee222223211412118 实用文档.kNjkNjkNjeee225523211)21(18（2）假定)718cos(n和)2sin(n的变换分别为)(1kX和)(2kX，则 kkkNkkNkX)27182()27182()(1 kkkNkkNjkX)222()222()(2 所以 )()()(21kXkXkX kkkNjkkNjkkNkkN)22()222()27182()27182(（3）4423cos)(nkNjnnekX 44233)(21nkNjnnjnjeee 90)23()32(490)23()32(42121nnNjkNjnnkNjkNjeeee )23()23()32(4)23()23()32(41121112199kNjkNjkNjkNjkNjkNjeeeeee 8求下列序列的时域离散傅里叶变换 )(nx，)(Renx，)(0nx 解：)()()()(jnjeXenxnx )()()(21)()(21)(RejejjnjeXeXeXenxnxnx)(Im)()(21)(0jnjjeXjenxnxenx 实用文档.、离散傅立叶级数 计算题：1如果)(nx是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把)(nx看作周期为N的周期序列有)()(1kXnx（周期为N）；把)(nx看作周期为2N的周期序列有)()(2kXnx（周期为2N）；试用）（kX1表示）（kX2。解：101021)()()(NnNnknNjknNenxWnxkX nkNjNNnNnNnnkNjknNenxenxWnxkX2212120102222)()()()(对后一项令Nnn，则 1010)(22222)()()(NnNnNnkNjnkNjeNnxenxkX )2()1()()1(1022kXeenxejkNnnkNjjk 所以0)2(2)(12kXkX 为奇数为偶数kk 计算题 8令)(kX表示N点的序列)(nx的N点离散傅里叶变换，)(kX本身也是一个N点的序列。如果计算)(kX的离散傅里叶变换得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx。解：1010)(1010101)()()()(NnNknnkNnkNNkNnnkNNknkNWnxWWnxWkXnx 因为 10)(0NknnkNNW 其他Nlnn 所以 11)()()()(NnNNnRnNxNlnNxnx 实用文档.9序列0,0,1,1)(nx，其4点DFT)(kx如下图所示。现将)(nx按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）nxn kXk（1）)4()()(1nxnxny 7430nn（2）0)()(2nxny 7430nn（3）0)2()(3nxny 奇数偶数nn 解：（1）01230,2211kYkkXkY（2）30,70,2,211112kkkkkXkXkY（3）4mod,30,70114113kkkkkXkXkY 10设)(nx是一个 2N 点的序列，具有如下性质：)()(nxNnx 另设)()()(1nRnxnxN，它的 N 点 DFT 为)(1kX，求)(nx的 2N 点 DFT)(kX和)(1kX的关系。解：221kXkX推导过程略 11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1）)()(nRanxNn （2）)()(nnRnxN 解：（1）因为)()(nRanxNn，所以 实用文档.kNjNNnnkNjnaeaeakX210211)(（2）由)()(nnRnxN，得 10)()(NnNnkNkRnWkX 10)1()()(NnNknNkNkRnWkXW 10)1(10)()()1)(NnNknNNnnkNkNkRnWnWWkX)()1()()1)2(2()1(3211)1(32)1(32kRWNkRNWNWWWNWWWNNnnkNNkNNkNkNkNNkNkNkN)()(11)1(kNRkRWWNNNkNkN 所以)(1)(kRWNkXNkN 12计算下列序列的N点DFT：116P （1）10,)(Nnanxn （2）)(nxnmN2cos，Nn 0，Nm 0 解：（1）kNNkNNKNNNnnkNnaWaaWWaWakX1111)(10，10Nk （2）1022210212cos)(NnnkNjmnNjmnNjNnnkNeeeWmnNkX)(2)(2)(2)(2111121mkNjmkjmkNjmkjeeee 实用文档.)(1)()()()()(1)()()()(21mkNNjmkNjmkNjmkjmkjmkNNjmkNjmkNjmkjmkjeeeeeeeeee)(1)(1)(sin)(sin)(sin)sin(21mkNNjmkNNjeNmkmkeNmkmk 2N,k=m 或 k=-m=0,其它 13已知一个有限长序列)5(2)()(nnnx （1）求它的 10 点离散傅里叶变换)(kX（2）已知序列)(ny的 10 点离散傅立叶变换为)()(210kXWkYk，求序列)(ny（3）已知序列)(nm的 10 点离散傅立叶变换为)()()(kYkXkM，求序列)(nm 解；（1）109010)5(2)()()(NnnnknkNWnnWnxkX=1+2kW510=1+2kje5102=1+2k)1(，9,.,1,0k（2）由)()(210kXWkYk可以知道，)(ny是)(nx向右循环移位 2 的结果，即)7(2)2()2()(10nnnxny （3）由)()()(kYkXkM可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(nynxnm 一种方法是先计算的线性卷积与)()(nynx llnylxnynxnu)()()()()(=4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0 然后由下式得到 10 点循环卷积 )7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10nnnRlnunml 实用文档.另一种方法是先计算)(ny的 10 点离散傅立叶变换 kknnkNnnkNWWWnnWnykY7102109010102722)()(再计算乘积 kkkWWWkYkXkM710210510221)()()(kkkkWWWW1210710710210422 kkWW71021045 由上式得到 7425)(nnnm 14（1）已知序列：102sin)(NnnNnx，求)(nx的 N 点 DFT。（2）已 知 序 列：2,1,010)(nnx，其它，则)(nx的9点DFT是8,.,2,1,09sin3sin)(92kkkekXkj，正确否？用演算来证明你的结论。345P 解：（1）)(kXknNjNnenN2102sin 1022221NnknNjnNjnNjeeej 10)1(2)1(221NnnkNjnkNjeej 1,2kNj=1,2kNj 0，其它（2）kjkjkjkjkjkjkjkjnknjeeeeeeeeekX9993339296209211)(实用文档.8,.,1,09sin3sin92Kkkekj，可见，题给答案是正确的。15一个 8 点序列)(nx的 8 点离散傅里叶变换)(kX如图 5.29 所示。在)(nx的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个 16 点序列)(ny，即 2nx ，n为偶数)(ny 0，n为奇数（1）求)(ny的 16 点离散傅里叶变换)(kY，并画出)(kY的图形。（2）设)(kX的长度 N 为偶数，且有12,.,1,0),1()(NkkNXkX，求2Nx。01234 567-1 kX1234 解：（1）因 n 为奇数时0)(ny，故 14,.2,016150162)()(nnknnkWnxWnykY 708)(mmkWmx，150 k 另一方面 其它,070,)()(708kWmxkXmmk 实用文档.因此 其它,0158,)()8(70)8(8kWmxkXmkm 其它,0150,)(708kWmxmmk 所以 )(kY其它,0150,)(708kWmxmmk 其它,0158),8(70),(kkXkkX 按照上式可画出)(kY的图形，如图 5.34 所示。16计算下列有限长序列)(nx的DFT，假设长度为N。（1）nanx)(10Nn （2）1,3,2,1)(nx 解：（1）1010)(NnnkNNnnkNnaWWakX kNNkNNkNaWaaWaW1111 10Nk(2)304)()(nnkWnxkX 10123456789k2)(kY实用文档.kkkkkkWWWWWWW3424342440432132 kkkjj)1(3)(21 )30(k 17长度为 8 的有限长序列)(nx的 8 点 DFT 为)(kX，长度为 16 的一个新序列定义为 )2(nx 14,.2,0n )(ny 0 15,.,3,1n 试用)(kX来表示)()(nyDFTkY。解：15016)()(nnkWnykY 70)12(1670216)12()2(rkrrrkWryWry 708)(rrkWrx )15,.,1,0(k 而 708)()(nnkWnxkX )7,.,1,0(k 因此，当7,.,1,0k时，)()(kXkY；当15,.,9,8k时，令)7,.,1,0(8llk，得到：)()()()8(70870)8(8lXWrxWrxlYrrlrlr 即 )8()(kXkY 于是有 )(kX 7,.,1,0k )(kY)8(kX 15,.,9,8k 实用文档.18 304,211,02)(nNnnnx若试 计 算)(nx的 离 散 傅 里 叶 变 换)(kX的 值)3,2,1,0(k。【解】140)()(kknNWkxnX 所以 50122)()0(00030NNNkknNWWWWkxX jjjjNNNkknNeeeeWWWWkxX2242422103022220122)()1(242030220122)()2(jjNNNkknNeeWWWWkxX 32363030220122)()3(jjNNNkknNeeWWWWkxX 证明题：19设)(kX表示长度为 N 的有限长序列)(nx的 DFT。（1）证明如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx 则0)0(X（2）证明当 N 为偶数时，如果 )1()(nNxnx 则0)2(NX 解 （1）121201010010)1()()()()0()()(NNnNnNnNnNNnnkNnNxnxnxWnxXWnxkX 实用文档.令mnN1 012120)()()0(NnNnmxnxX 显然可得 0)0(X（2）1010)1)()()2(NnnNnjknxenxNX（将 n 分为奇数和偶数两部分表示）120121202)1)(12()1)(2(NrrNrrrxrx 120120)12()2(NrNrrxrx 1221)12()21(120120krNrxrNxNrNr令 12002)12()12(NrNkrxrx 显然可得 0)2(NX 简答题：21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理 减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2sf的频率成分。22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是 Z 变换在单位圆上的等间隔采样。证明题：4试证N点序列 nx的离散傅立叶变换 kX满足Parseval恒等式 2102101NmNkkXNnx 实用文档.证：10210*11NmNmmXmXNmXN 21010*1010*10*101)(1NkNkNmmkNNkNmNkmkNkxkxkxWmXNkxWkxmXN 5)()(nXkx和是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：)()(1nxkXN 证明略。6)(nx长为N的有限长序列，)(),(nxnxoe分别为)(nx的圆周共轭偶部及奇部，也即)(*)(21)(*)(nNxnxnNxnxee)(*)(21)(*)(nNxnxnNxnxoo 证明：)(Im)()(Re)(KXjnxDFTKXnxDFToe 证 )(*)(21)(*)(21)(*)(NeenxnxnNxnxnNxnx )(Re)(*)(21kXkXkX)(*)(21)(*)(21)(*)(NoonxnxnNxnxnNxnx)(Im)(*)(21kXjkXkX 7若NkNxnXDFTkXnxDFT)()(),()(求证 实用文档.证：10)(1)(NkknNWkXNnx （1）10)()(NkknNWnxkX （2）由（2）10)()(NkknNWnxkX，将nk与互换，则有 10)()(NnknNWkxnX（这应该是反变换公式）10)(1NkknNWkNxN（用kk 代替，且求和取主值区）10)(1NknkNWkNxN 与（1）比较 所以NkNxnX)()(8若)()(kXIDFTnx，求证)()(1)(nRnXNkxIDFTNN。证：10)(1)(NkknNWkxNkxIDFS 1010)(21010)(1)(11NrNrnrkNNkknNNrrkNWrXNWWrXNN 而 N lNnr 10)(NknrkNW （l为整数）0 lNnr 所以 )(1)(1)(2nXNNnlNXNkxIDFS 于是 )()(1)()(1)(nRnXNnRnXNkxIDFTNNN 9令)(kX表示 N 点序列)(nx的 N 点 DFT，试证明：（a）如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx，则0)0(X。实用文档.（b）当 N 为偶数时，如果)1()(nNxnx，则0)2(NX。证：10)()(NnnkNWnxkX )1,.,1,0(Nk （a）10)()0(NnnxX N 为偶数：120120)1()()0(NnNnnNxnxX 0)()()1()(120120NnNnnxnxnNxnx N 为奇数：)21()1()()0(12101210NxnNxnxXNnNn)21(0)21()()()21()1()()21(12101210NxNxnxnxNxnNxnxNxNnNn 而)(nx中间的一项应当满足：)21()211()21(nxNNxNx 因此必然有 0)21(nX 这就是说，当 N 为奇数时，也有0)0(X。（b）当 N 为偶数：10102)1)()()2(NnnNnNnNnxWnxNX 实用文档.12011201201120)1)()1()1)()1)(1()1)(NnnNNnnNnnNNnnnxnxnNxnx 当 N 为偶数时，1N为奇数，故1)1(1N；又由于,)1()1(nn故有 0)1)()1)()2(120120NnnNnnnxnxNX 10设)()(kXnxDFT，求证)()(nNNxkXDFT。【解】因为 nkNnNkNWW)(根据题意 10)(1)(NknkNWkXNnx 10)()()(NknNkNWkXnNNx 因为 nkNnNkNWW)(所以 )()()(10kXDFTWkXnNNxNkknN 11证明：若)(nx为实偶对称，即)()(nNxnx，则)(kX也为实偶对称。【解】根据题意 10)()(NnnkNWnxkX 的周期性质再利用nkNNnknNWWnNx10)()(10)()(NnkNnNNWnNx 下面我们令mnN进行变量代换，则 1)()()(NmmkNNWmxkX 又因为)(nx为实偶对称,所以0)()0(Nxx，所以 0)()(0)()0()()0(kNNmkNNkNNWxWNxWx 实用文档.可将上式写为 0)()(1)0()()(kNNmkNNNmWxWmxkX NmmkNNWmx0)()(NkNNNmmkNNWNxWmx)(0)()()(10)()(NmmkNNWmx 所以 )()()(10)(kNXWmxkXNmmkNN 即证。注意：若)(nx为奇对称，即)()(nNxnx，则)(kX为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。计算题：12 已知)30()1()(),30(1)(nnynnnxn，用圆周卷积法求)(nx和)(ny的线性卷积)(nz。解：4,3,2,1)(nx 30 n，1,1,1,1)(ny 30 n 因为)(nx的长度为41N,)(ny的长度为42N 所以)()()(nynxnz的长度为7121NNN,故应求周期7N的圆周卷积)()(nynx的值，即)()()()()()(10nRmnymxnynxnzNNm 所以60,4,1,3,2,2,1,1)()()(nnynxnz 13序列3,2,1)(为na，序列1,2,3)(为nb。（1）求线性卷积 nbna（2）若用基 2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？实用文档.解：（1）nmnbmanbnanw)()()()()(所以3,8,14,8,3)()()(nbnanw，40 n（2）若用基 2FFT 的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为)(na的长度为31N；所以 nbna得长度为5121NNN。故 FFT 至少应取823点。14有限长为 N=100 的两序列 01)(nx 9911100nn 101)(ny 99908910nnn 做出)(),(nynx示意图，并求圆周卷积)()()(nynxnf及做图。解 )(),(nynx示意图略，圆周卷积)()()(nynxnf 9010090,10191,9292,8393,7494,6595,5696,4797,3898,2999,110011nnnnnnnnnnnnnf 15已知)(nx是长度为 N 的有限长序列，)()(nxDFTkX，现将)(nx的每两点之间补进1r个零值，得到一个长为rN的有限 长序列)(ny 实用文档.0)()(rnxny 1,1,0,1,1,0,NiirnNiirn 求：DFT)(ny与)(kX的关系。解：因为0)()(10NllkNWlxkX 10Nk knrNNrrlrNnknrNWrnxWnykY12,010)()()(令lrn 1012,0)(0)1()()()(rmNrrllkNmNkXNrkXNkXkXWlx 101)1(121010rNkrNkNrNkNNkrNk其他 16已知)(nx是 N 点有限长序列，)()(nxDFTkX。现将长度变成rN点的有限长序列)(ny 0)()(nxny 110rNnNNn 试求rN点 DFT)(ny与)(kX的关系。解：由10,)()()(102NkenxnxDFTkXNnnkNj 可得 1010)()()()(NnnkrNrNnnkrNWnxWnynyDFTkY 1,1,0,)(102NllrkrkXenxNnrknNj 所以在一个周期内，)(kY的抽样点数是rkX的)(倍，相当于在)(kX的每两个值之间插实用文档.入1r个其他的数值（不一定为零），而当rk为的整数l倍时，rkXkY与)(相等。17已知)(nx是 N 点有限长序列，)()(nxDFTkX。现将)(nx的每两点之间补进1r个零值点，得到一个rN点的有限长序列)(ny 0)()(rnxny nNiirn其他1,1,0,试求rN点 DFT)(ny与)(kX的关系。解：由10,)()()(10NkWnxnxDFTkXNnnkN 可得 10)()()(rNnnkrNWnynyDFTkY 10,)()(1010rNkWixWrirxNnikNNiirkrN 而 )()()