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1 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一基本概念 随机试验 E:(1)可以在相同的条件下重复地进行；()每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间：E 的所有可能结果组成的集合.样本点（基本事件):E 的每个结果.随机事件(事件):样本空间 S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件.不可能事件（):每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算 AB(事件 B 包含事件 A)事件发生必然导致事件 B 发生.B(和事件)事件 A 与 B 至少有一个发生.=AB(积事件)事件 A 与同时发生.A-(差事件)事件 A 发生而不发生 AB（与 B 互不相容或互斥）事件 A 与 B 不能同时发生.6 AB=且 A=S(A 与 B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中 A 与 B 必有一个且仅有一个发生.=A，A=B 运算规则 交换律 结合律 分配律 德 摩根律 BABA BABA 三.概率的定义与性质 定义 对于 E 的每一事件赋予一个实数,记为 P(A),称为事件的概率(1）非负性 P(A)0;(2)归一性或规范性 P（)1;()可列可加性 对于两两互不相容的事件 A1,A2,(A iAj=,ij,i,j=1,）,P(A12)=（A)(A2）+2性质 (1)P(）=0，注意：A 为不可能事件 P(A)0.2 (2)有限可加性 对于 n 个两两互不相容的事件1,A2,A n,P（A1A2A n）=P(A1)+(A2）+P(A n)（有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若B,则 P(A)(),（BA）=P(B)P(A）.()对于任一事件 A,P()1,P（A)=1-P(A).(5)广义加法定理 对于任意二事件,B，P(AB)=P(A)()-P(AB).对于任意个事件 A1,2,，A n nkjikjinjijiniinAAAPAAPAPAAAP11121+(-)-1P(A2A n)四.等可能(古典）概型 1.定义 如果试验满足:(1）样本空间的元素只有有限个,即=1,2,，e;(）每一个基本事件的概率相等,即(e1)P（e)=P(e n).则称试验 E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2计算公式 P()k/其中 k 是 A 中包含的基本事件数，n 是 S 中包含的基本事件总数.五.条件概率 1.定义 事件 A 发生的条件下事件发生的条件概率 P(B|A)(AB)/P(A)（P(）).2乘法定理 P(AB)=P（A)（B|A）(P(A)0）;(AB)=(B)(AB)(P（B).P（A1A)=(A1)P（A21)P(A3|AA2)P(nA1A2 n-1)(n2，（AA2 n1)0).B1,B2,，B n是样本空间的一个划分(BB=,i,i,j=1，2,n,B1B2B 3 n=S）,则 当 P(B i)0 时，有全概率公式 P(A)=iniiBAPBP1 当 P（A)0,P(B)时，有贝叶斯公式(Bi|A)=niiiiiiBAPBPBAPBPAPABP1.六.事件的独立性 1.两个事件 A,，满足 P（AB)=P(A）P(B)时,称,B 为相互独立的事件.()两个事件 A,B 相互独立 P(）=P（BA).(2)若 A 与 B,A 与B，A与 B，,A与B中有一对相互独立，则另外三对也相互独立.2.三个事件 A，B，C 满足(A)=P(）P(B),(C)=P（)P(C）,(B)P（B）()，称 A,B,三事件两两相互独立.若再满足(AC）=P(）P(B)P（),则称,B，C 三事件相互独立.3.n 个事件 A1,A,，A n,如果对任意 k(1kn),任意 11i kn.有 kkiiiiiiAPAPAPAAAP2121，则称这 n 个事件 A1,A 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布 一随机变量及其分布函数.在随机试验的样本空间 S=e上定义的单值实值函数 XX（e)称为随机变量 2随机变量 X 的分布函数 F（x)=PXx,是任意实数.其性质为：（)F()1,F()0,F()1.(2)F(x)单调不减,即若1x2,则 F(1)（2).(3）F()右连续,即 F(+）(x).（4)Px12=F(x2)-F(x1).二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 X x k=p (k1,2,)也可以列表表示 其性质为:(1)非负性 0 ;(2）归一性 11kkp 4 2离散型随机变量的分布函数 F(x）=xXkkP为阶梯函数,它在 x=x k(k，2,)处具有跳跃点，其跳跃值为 p k=k.3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)(0)分布 PX=1=p,X=0=p （0p1).(2）X（n,p)参数为 n,p 的二项分布 P=k=knkppkn1(k=0,1,n)(0p0）三连续型随机变量 1定义 如果随机变量的分布函数(x)可以表示成某一非负函数 f(x)的积分F(x)=dttfx,-0).(3)XN（,)参数为,的正态分布 222)(21)(xexf-x0 特别,=0,=时，称 X 服从标准正态分布,记为 XN(0，1),其概率密度 2221)(xex,标准正态分布函数 xtdtex2221)(,(-x)=1-()5 若 X（(，），则 Z=XN（0,1),P1z=Pz/,则点 z,-z，z/2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点.注意：（z)=-,z-z.四.随机变量 X 的函数 Y=(X)的分布 1.离散型随机变量的函数 X x 1 x x k p k p p =g（X)g(x1)g(x2)g（x k）若 g(k）（k=1，2,)的值全不相等,则由上表立得 Y=(X)的分布律.若 g（x k）(k=1,）的值有相等的，则应将相等的值的概率相加,才能得到 Yg(X)的分布律.连续型随机变量的函数 若的概率密度为X(x),则求其函数 Y=g（X)的概率密度 f(）常用两种方法：(1)分布函数法 先求 Y 的分布函数 FY（）Py=Pg(X）y=dxxfkyXk 其中k(y）是与 g（)y 对应的 X 的可能值 x 所在的区间(可能不只一个),然后对 y 求导即得 fY(）=FY/(y)()公式法 若(x）处处可导,且恒有(x)(或 g/(x）0），则 Y=g()是连续型随机变量,其概率密度为 0yhyhfyfXY 其它 y 其中h(y)是 g(x）的反函数，=n(g(-),g()mx（(-),g()）如果 f()在有限区间a,b 以外等于零,则=min(g（a)，g(b)=ma(（),g()）.第三章 二维随机变量及其概率分布 6 一二维随机变量与联合分布函数 1.定义 若 X 和是定义在样本空间上的两个随机变量，则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数，y,二元函数 F（x，y）=PX,Yy称为(X,)的(和的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1）F(x，y）分别关于和单调不减()0F(x，)1，F(x,-)=0，F(-,y)=0,F(-,-)=0，F(,）=1.()(x,)关于每个变量都是右连续的,即(+0，y)=F(，y),（x,y+0)=F(x,y）.（4)对于任意实数 x 2，y y 2 Px 1x ,10,则称 PXx|y 为在=yj条件下随机变量 X 的条件分布律.同样，对于固定的 i,若 PXxi,则称,jjijjippyYPyYxXP 8 PY=j|Xx i 为在 Xxi条件下随机变量 Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征 一.数学期望和方差的定义 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 分布律 P i i（i=1,2,)概率密度 f(x）数学期望（均值)（X)1iiipx（级数绝对收敛)dxxxf)(（积分绝对收敛)方差(X）=E-E(X)2 12)(iiipXEx dxxfXEx)()(2 =E（）-E(X)(级数绝对收敛)(积分绝对收敛)函数数学期望 E(Y)=Eg(X)iiipxg1)(（级数绝对收敛)dxxfxg)()(（积分绝对收敛)标准差(X)=D(X).二.数学期望与方差的性质 1.c 为为任意常数时,E（c）=，E（X）=cE(X)，D(c)=0,D（cX）=c D().2.X,为任意随机变量时，E(X)=E（X)E(Y).3.与 Y 相互独立时，E(Y)(X)(Y),D(X)D(X）+（Y).4.D(X)=PX=，C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(）(X).X(0-1)分布 PX=1 p(0p1)p p(1),ijiijippxXPyYxXP 9 2.X b(n,p)(p1)n p n p（p).（)4.X (,b)(a+b)/（b-a)2/12 5.X 服从参数为的指数分布 2.N(，2)四.矩的概念 随机变量的 k 阶(原点)矩 E(X k)k=1，2,随机变量 X 的 k 阶中心矩-E(X)随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 E(X kY l)l=，2,随机变量和的 k+l 阶混合中心矩 EX-E（X)(Y)l 第六章 样本和抽样分布 一.基本概念 总体 X 即随机变量;样本 X1，2,X 是与总体同分布且相互独立的随机变量；样本值 x1,x2,x n为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值niiXnX11 样本方差niiXXnS12211 样本标准差 S 样本 k 阶矩nikikXnA11(k1,2,)样本 k 阶中心矩nikikXXnB1)(1（=1,2,)二.抽样分布 即统计量的分布 1.X的分布 不论总体 X 服从什么分布,E(X)E(X),D(X)=D(X)/.特别，若 X N(,2)，则 X N(，2/n).2.2分布 (1）定义 若N(0，1),则 Y=niiX12 2(n)自由度为 n 的2分布.(2)性质 若 Y 2（n),则 E(Y)=n,D()=2n.10 若 Y1(1)Y2 2(2)，则+Y2 2(n1+n2).若 X N(,2),则22)1(Sn 2(n-1),且X与 S2相互独立.()分位点 若 Y 2(n)，0 1,则满足)()()()(22/122/212nYnYPnYPnYP 的点)()(),(),(22/122/212nnnn和分别称为2分布的上、下、双侧分位点.3 t 分布()定义 若（,),2（),且 X,Y 相互独立,则 t=nYXt(n)自由度为 n 的t 分布(2)性质n时,t 分布的极限为标准正态分布.X（,2)时，nSX t（n1).两个正态总体 相互独立的样本 样本均值 样本方差 X N(1，1)且2=2=X1,2,X n1 X S12 N(2,22)1，Y2,Y n Y 22 则 212111)()(nnSYXw t(n1+n2),其中 2)1()1(212222112nnSnSnSw(3)分位点 若 t (n)，0 1,则满足)()()(2/nttPnttPnttP 的点)(),(),(2/ntntnt分别称 t 分布的上、下、双侧分位点.注意:t 1-(n)=t （n).4F 分布 (1)定义 若 U2(n1),V 2(n2）,且 U，V 相互独立,则=21nVnU（n,n 11 2)自由度为（,2)的分布.(2)性质(条件同(2)22212221SSF(-1,n-)（3）分位点 若 F F（1,n2），0 1,则满足),(),(21121nnFFPnnFFP),(),(212/1212/nnFFnnFFP 的点),(),(),(),(212/1212/21121nnFnnFnnFnnF和分别称为 F 分布的上、下、双侧分位点.注意:.).(1),(12211nnFnnF 第七章 参数估计 一.点估计 总体的分布中有个待估参数1,2，X1,X,，X n是的一个样本,x1，x2,n是样本值.1.矩估计法 先求总体矩),(),(),(2121222111kkkkk解此方程组,得到),(),(),(2121222111kkkkk，以样本矩 A取代总体矩 l(l=1,k）得到矩估计量),(),(),(2121222111kkkkkAAAAAAAAA,若代入样本值则得到矩估计值.最大似然估计法 若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为 p(x,1，2，,k),称样本 X1，X2,X n的联合分布nikikxpL12121),(),(为似然函数.取使似然函数达到最大值的k,21,称为参数1,2,，的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.12 若 L(,2,k)关于1,2，k可微,则一般可由 似然方程组 0iL 或 对数似然方程组 0lniL(=1,2,)求出最大似然估计.估计量的标准(1)无偏性 若 E()=,则估计量称为参数的无偏估计量.不论总体 X 服从什么分布,E(X)=(X),E（2)(X）,(Ak)kE(k)，即样本均值X,样本方差 S2，样本 k 阶矩 Ak分别是总体均值 E（X),方差 D（X),总体 k 阶矩k的无偏估计,(）有效性 若 E(1)=E()=,而 D(1)（)，则称估计量1比有效.(3)一致性(相合性)若 n时,P,则称估计量是参数的相合估计量 二.区间估计 1.求参数的置信水平为-的双侧置信区间的步骤（1)寻找样本函数 W=W(X,X,X，),其中只有一个待估参数未知，且其分布完全确定.()利用双侧分位点找出的区间（,b),使 PaW 1-.(3)由不等式 aWb 解出则区间(,）为所求.2.单个正态总体 待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间 2已知 nX(0,1)（2/znX)2未知 nSX t(-1）)1(2/ntnSX 未知 22)1(Sn(n-1）)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn 13 3.两个正态总体 (1)均值差 1-其它参数 W 及其分布 置信区间 已知2221,22212121)(nnYX (0,1)(2221212nnzYX 未知22221 212111)(nnSYXwt（+n-)11)2(21212nnSnntYXw 其中 Sw等符号的意义见第六章二.3(2）.（2)1,2未知,W=22212221SS F（n-,n2-),方差比2/22的置信区间为 )1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221nnFSSnnFSS 注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标/2 改为,另外的下(上)限取为-()即可.