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第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理 1.罗尔定理 罗尔定理 如果函数)(xf满足：（1）在闭区间,ba上连续（2）在开区间),(ba内可导（3）在区间端点处的函数值相等，即)()(bfaf 那么在),(ba内至少在一点)(ba 使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)(f 证明：由于)(xf在,ba上连续，因此必有最大值 M 和最小值m，于是有两种可能的情形：（1）mM，此时)(xf在,ba上必然取相同的数值 M，即.)(Mxf 由此得.0)(xf因此，任取),(ba，有.0)(f（2）mM，由于)()(bfaf，所以 M 和m至少与一个不等于)(xf在区间,ba 端点处的函数值.不妨设)(afM(若)(afm,可类似证明),则必定在),(ba有一点使Mf)(.因此任取,bax有)()(fxf,从而由费马引理有0)(f.证毕 几何意义：对于在,ba上每一点都有不垂直于x轴的切线，且两端点的连线与x轴平行的不间断的曲线)(xf来说，至少存在一点 C，使得其切线平行于x轴。C A B ab12xyo)(xfy 例 1 验证罗尔定理对32)(2xxxf在区间3,1上的正确性 解 显然32)(2xxxf)1)(3(xx 在3,1上连续，在)3,1(上可导，且0)3()1(ff,又)1(2)(xxf,取)3,1(1(,1,有0)(f.说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.例如 2,2,xxy在 2,2上除)0(f 不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间2,2内找不到一点能使0)(xf.例如 0,0 1,0(,1xxxy 除了0 x点不连续外，在 1,0上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 1,0上不存在使得0)(f的点 例如.1,0,xxy除了)1()0(ff外，在 1,0上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 1,0上不存在使得0)(f的点 又例如23,2,cosxxy满足定理的一切条件，而,0 2罗尔定理的应用 罗尔定理 1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例 2 证明方程0155 xx有且仅有一个小于 1 的正实根.证明：设15)(5xxxf,则)(xf在 1,0上连续，且.3)1(,1)0(ff 由介值定理存在)1,0(0 x使0)(0 xf,即0 x为方程的小于 1 的正实根.设另有,),1,0(011xxx使.0)(1xf因为)(xf在10,xx之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一个（在10,xx之间）使得0)(f.但)1(5)(4xxf)1,0(,0 x,矛盾,所以0 x为方程的唯一实根.拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1.拉格朗日中值定理 在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数)(xf满足（1）在闭区间,ba上连续（2）在开区间),(ba内可导 那么在),(ba内至少有一点)(ba 使得等式)()()(abfafbf 成立 几何意义 上述等式可变形为abafbff)()()(，等式右端为弦 AB 的斜率,于是在区间,ba上不间断且其上每一点都有不垂直于x轴切线的曲线上，至少存在一点 C，使得过 C 点的切线平行于弦 AB.当)()(bfaf时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.分析与证明：弦 AB 的方程为).()()()(axabafbfafy 曲线)(xf减去弦AB，所得曲线 AB 两端点的函数值相等.作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfxF 于是)(xF满足罗尔定理的条件，则在),(ba 内至少存在一点，使得0)(F.又abafbfxfxF)()()()(,所以abafbff)()()(即在),(ba内至少有一点)(ba，使得)()()(abfafbf.证毕 说明:1.)()()(abfafbf又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）,此公式对于ab 也成立;2拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设)(xf在,ba上连续,在),(ba内可导时,若 ),(,00baxxx,则有)10()()()(000 xxxfxfxxf 当)(xfy 时,也可写成).10()(0 xxxfy 试与微分xxfdy)(比较 xxfdy)(是函数增量y的近似表达式 而)10()(0 xxxfy是函数增量y的精确表达式 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.推论 若函数)(xf在区间 I 上导数恒为零，则)(xf在区间 I 上是一个常数.2.拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理 1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式.例 3 证明)11(2arccosarcsinxxx 证明：设 1,1,arccosarcsin)(xxxxf 由于0)11(11)(22xxxf,所以 1,1,)(xCxf 又0arccos0arcsin)0(f 20 2,即2C.故2arccosarcsinxx.例 4 证明当0 x时,xxxx)1ln(1 证明:设)1ln()(xxf,则)(xf在,0 x上满足拉氏定理的条件 于是)0(),0)()0()(xxffxf 又xxff11)(,0)0(,于是 1)1ln(xx 而x0,所以x111,故11111x 从而 xxxx11,即xxxx)1ln(1 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数)(xf及)(xF在闭区间,ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)(xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(FfaFbFafbf成立 几何解释:设曲线弧 C 由参数方程)()(xfYxFX(bxa)表示 其中x为参数 如果曲线 C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必有一点x 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB 曲线C上点x处的切线的 斜 率 为)()(FfdXdY 弦AB的 斜 率 为)()()()(aFbFafbf 于 是)()()()()()(FfaFbFafbf,即在曲线弧 AB 上至少有一点)(),(fFC,在该点处的切线平行于弦 AB.证明:作辅助函数)()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx)(1F)(2Fxoy)()(xfYxFX)(aFA)(bFBC)(xFNM则)(x满足罗尔定理的条件，于是在),(ba内至少存在一点，使得0)(,即0)()()()(Fabafbff,所以)()()()()()(FfaFbFafbf.证毕 特别地 当xxF)(时,1)(,)()(xFabaFbF 由)()()()()()(FfaFbFafbf 有)()()(fabafbf 即)()()(abfafbf,故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.例 5 设函数)(xf在 1,0上连续,在)1,0(内可导,证明:至少存在一点)1,0(，使)0()1(2)(fff 证明与分析:结论可变形为2)(01)0()1(fffxxxf)()(2 设2)(xxg，则)(),(xgxf在 1,0上满足柯西中值定理的条件 于是至少存在一点)1,0(，使2)(01)0()1(fff 所以至少存在一点)1,0(，使2)(01)0()1(fff 即)0()1(2)(fff 四、小结 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.注意中值定理成立的条件.五、作业 作业卡:P136P137 1.12.14.15 第二节 洛必达法则 教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求00型和型以及,0型未定式的极限的方法;了解00,1,0型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况,0型的极限的求法.教学内容：一 00型和型未定式的解：法洛必达法则 定义：若当ax（或x）时，函数)(xf和)(xF都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(xFxfxax可能存在、也可能不存在，通常称为00型和型未定式.例如 xxxtanlim0,(00型);bxaxxsinlnsinlnlim0,(型).定理：设(1)当0 x时,函数)(xf和)(xF都趋于零;(2)在a点的某去心邻域内,)(xf 和)(xF都存在且0)(xF;(3)()(lim)(xFxfxax存在(或无穷大),则)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax 定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 证明:定义辅助函数 axaxxfxf,0),()(1,axaxxFxF,0),()(1 在),(aU内任取一点x,在以a和x为端点的区间上函数)(1xf和)(1xF满足柯西中值定理的条件,则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff,(在a与x之间)当0 x时,有a,所以当AxFxfax)()(lim,有AFfa)()(lim 故AFfxFxfaax)()(lim)()(lim.证毕 说明:1.如果)()(limxFxfax仍属于00型,且)(xf 和)(xF满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则,即 )()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfxFxfaxaxax;2.当x时,该法则仍然成立,有)()(lim)()(limxFxfxFxfxx;3.对ax（或x）时的未定式，也有相应的洛必达法则;4.洛必达法则是充分条件;5.如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.例 1 求xxxtanlim0,(00型)解 原式=)()(tanlim0 xxx=11seclim20 xx 例 2 求123lim2331xxxxxx,(00型)解 原式=12333lim221xxxx=266lim1xxx23 例 3 求 xxx1arctan2lim,(00型)解 原式=22111limxxx=221limxxx=1 例 4 求 bxaxxsinlnsinlnlim0,(型).解 原式=axbxbbxaxaxsincossincoslim0=axbxxcoscoslim0=1 例 5 求 xxx3tantanlim2,(型)解 原式=xxx3sec3seclim222=xxx222cos3coslim31=xxxxxsincos23sin3cos6lim312 =xxx2sin6sinlim2=32cos26cos6lim2xxx 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例 6 求xxxxxtantanlim20 解 原式=30tanlimxxxx=22031seclimxxx=220tanlim31xxx=31 二00,1,0,0型未定式的求法 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和型.10型未定式的求法 步骤：,10或0100 例 7 求.lim2xxex )0(型 解 原式=2limxexx=xexx2lim2limxxe.型.2 步骤：0101.0000 例 8 求).1sin1(lim0 xxx )(型 解 原式=xxxxxsinsinlim0 xxxxxcossincos1lim0.0 型00,1,0.3 步骤：ln01ln0ln01000取对数.0 例 9 求.lim0 xxx )0(0型 解 原式=xxxeln0limxxxelnlim0 xxxe1lnlim02011limxxxe0e.1 例 10 求.lim111xxx )1(型 解 原式=xxxeln111limxxxe1lnlim111lim1xxe.1 e 例 11 求.)(cotlimln10 xxx )(0型 解 由于)ln(cotln1ln1)(cotxxxex 而)ln(cotln1lim0 xxxxxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim01 所以 原式=.1e 注意：洛必达法则的使用条件 例 12 求.coslimxxxx 解 原式=1sin1limxx).sin1(limxx极限不存在 （洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式=)cos11(limxxx.1 例 13 求)24(tanlimnnn 解 设)24(tan)(xxfx，则)24(tan)(nnfn 因为)24tan(lnlimexp)(limxxxfxx=1)24tan(lnlimexpxxx)24tan(1)2)(24(seclimexp222xxxxx=4e 从而 原式=4)(lim)(limexfnfxn 三小结 1 洛必达法则是求00型和型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用。因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。2 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。3 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的极限不存在。4 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.四作业 作业卡:P142P143 1.单数 第三节 泰勒公式 教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。教学重点：泰勒中值定理。教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。教学内容：一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道 当x很小时 有如下的近似等式 xex1 xx )1ln(这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用0 x高次多项式来近似表达函数 同时给出误差公式 设函数)(xf在含有的开区间内具有直到1n阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于0 xx 的n次多项式 nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 来近似表达)(xf 要求)(xpn与 f(x)之差是比nxx)(0高阶的无穷小 并给出误差)()()(xPxfxRnn的具体表达式 我们自然希望)(xpn与)(xf在0 x的各阶导数(直到1n阶导数)相等 这样就有 nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 10021)()(2)(nnnxxnaxxaaxP 20032)()1()(232)(nnnxxannxxaaxP 30043)()2)(1()(2343)(nnnxxannnxxaaxP！,nnnanxp!)()(于 是00)(axpn,10)(axpn,20!2)(axpn,30!3)(axpn ,nnnanxp!)(0)(按要求有000)()(axpxfn 100)()(axpxfn 2002)()(axpxfn 300!3)()(axpxfn ,nnnnanxpxf!)()(0)(0)(从而有)(00 xfa )(01xfa)(!2102xfa )(!3103xfa )(!10)(xfnann，即)(!10)(xfkakk(nk,2,1)于是就有 nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1 )(!21)()()(00)(200000 二、泰勒中值定理 泰勒中值定理 如果函数)(xf在含有0 x的某个开区间),(ba内具有直到1n阶导数 则当x在),(ba内时)(xf可以表示为0 xx 的一个n次多项式与一个余项)(xRn之和，即)()(!1 )(!21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于0 x与x之间)证明：由假设,)(xRn在),(ba内具有直到)1(n阶导数,且 0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn 两函数)(xRn及10)(nxx在以0 x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得0)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxRnnxnR)(1()(011(介于0 x与x之间)两函数)(xRn及nxxn)(1(0在以0 x及1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得0)(1()()()(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR1022)(1()(nnxnnR(介于0 x与x之间),此下去,经过)1(n次后,得,0)()1(xPnn 所以)()()1()1(xfxRnnn 则由上式得10)1()(!1)()(nnnxxnfxR(介于0 x与x之间).证毕 说明：1这里多项式nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 称为函数)(xf按0 xx 的幂展开的n次近似多项式 公式 2)()(!1 )(!21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn 称为)(xf按0 xx 的幂展开的n阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式 310)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于0 x与x之间)称为拉格朗日型余项 4当0n时 泰勒公式变成)()()(00 xxfxfxf(介于0 x与x之间)拉格朗日中值公式,因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 5如果对于某个固定的n 当x在区间),(ba内变动时)()1(xfn总不超过一个常数 M 则有估计式1010)1(|)!1(|)()!1()(|)(|nnnnxxnMxxnfxR及 0)(lim0)(0nxnxxxxR 可见 当ax时 误差)(xRn是比nxx)(0高阶的无穷小 即 )()(0nnxxoxR,该余项称为皮亚诺形式的余项 6在不需要余项的精确表达式时 n阶泰勒公式也可写成)()(!1 )(!21)()()(000)(200000nnnxxoxxxfnxxxfxxxfxfxf 7当00 x时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式 就是 )(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn 或)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 其中1)1()!1()()(nnnxnfxR 8由此得近似计算公式nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 误差估计式变为1|)!1(|)(|nnxnMxR 三、简单的应用 例 1 求xexf)(的n阶麦克劳林公式 解 由于xnexfxfxf)()()()(所以1)0()0()0()0()(nffff 而xnexf)()1(代入公式,得).10()!1(!2112nxnxxnenxxxe 由公式可知!212nxxxenx 估计误差:设)0(x).10()!1()!1()(11nxnxnxnexnexR 取!1!2111,1nex,其误差 )!1(neRn.)!1(3n 例 2 求xxfsin)(的n阶麦克劳林公式 解 因为)2 sin()()(nxxfn,2,1n 所以,0)0(,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()4(fffff 于是)()!12()1(!51!31sin212153xRxmxxxxmmm 当3,2,1m时 有近似公式 xx sin,3!31sinxxx 53!51!31sinxxxx 例 3 计算 403cos2lim2xxexx.解 由于)(!2114422xoxxex )(!4!21c o s542xoxxx 所以)()!412!21(3cos2442xoxxex 故 原式=4440)(127limxxoxx.127 四、常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 五、小结 Taylor公式在近似计算中具有非常重要的应用 六、作业 P149 1.2.6