2009高数A(下)(试卷B及答案)641.pdf
1 海南大学 2008-2009 学年度第 2 学期试卷 科目：高等数学 A（下）试题(B 卷)姓名：学 号：学院：专业班级：成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 阅卷教师：200 9 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。一、填空题：（每题 3 分，共 15 分）在以下各小题中画有_处填上答案。1、设向量121112，则向量积；2、(31)(831)Lxydxyxdy_，其中 L 为圆盘222xyR的正向边界曲线；3、改变积分的次序221101(,)yydyf x y dx_；4、设曲面是下半球面222zrxy 的下侧，则积分 222_xyz dxdy；5、若级数21knn发散，则有_k；二、选择题（每题 3 分，共 15 分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）（）1、设2,1,2,4,1,10,abcbaac且 垂直于则 得分 阅卷教师 得分 阅卷教师 2 (A)3;(B)-3 ;(C)2 ;(D)-2 .（）2、函数22(,)f x yxy在(0,0)处为 (A)(,)f x y不连续.(B),ffxy存在.(C)(,)f x y可微.(D)(,)f x y沿着任一方向的方向导数存在.（）3、交换积分次序20111(,)xxdxf x y dy 21011()(,)xxAdyf x y dx 20111()(,)xxBdyf x y dx 21101()(,)yyCdyf x y dx 21101()(,)yyDdyf x y dx 、（）4、幂级数nnnx)21(0的收敛半径是（）(A)3 ,(B)2 ,(C)21 ,(D)31（）5、两直线23111:,11112:21zyxLzyxL之间的夹角为(A)3;(B)4;(C)6;(D)23arccos.三、计算题（每小题 6 分，共 48 分）1、设22(,)xytyf x ye dt，求1,2,1,21,2xyxyfff及和(,)df x y。2、设函数(,)(,)0zzzz x yF xyyx由方程确定，求,zzxy.得分 阅卷教师 3 3、计算三重积分zdv，其中为曲面22zxy与平面4z 围成的空间闭区域 4、求过点（2，0，-3）且与直线 2470,35210,xyzxyz 平行的直线方程。4 5,设 是由曲面222,0zaxyz围成的立体的外侧曲面，利用高斯公式计算曲面积分22322Ixz dydzx yzdzdxxyy z dxdy。6、讨论级数13 lnnna,(a0)的敛散性。7、计算对弧长的曲线积分222cos(),sinxatxyzdsyatzkt其中 是螺旋线 上相应于02t从 到的一段弧.5 8、将函数 21f xx展成1x的幂级数，并求收敛区间。四、证明题（6 分，）下：证明：级数 111sinnnnn是绝对收敛的。得分 阅卷教师 6 五、应用题：（每小题 8 分，共 16 分）1、建造容积为 4 立方米的开顶长方体水池，长、宽、高各为多少时，才能使表面积最小？2、求底圆半经相等的两个直交圆拄面222222xyrxzr及所围立体的表面积。得分 阅卷教师 7 2009 年高等数学 A(下)试题（B 卷答案）一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1,(5,-3,-1);2,24 R;3，21110(,)xdxf x y dy;4，4r；5，K1.二,选择题(每小题 3 分，共 15 分)1,(A);2,(D);3,(C);4,(B);5,(A).三、计算题（每小题 6 分，共 48 分）1,解：222222,2,2,4xyxyyxyxyxyfx yxefx yyeefx yxye（2 分）因此，55251,22,1,24,1,28xyxyfefeefe（4 分）2222,22xyxyydfx yxedxyeedy（6 分）2、解：,)(,),zzzzx y zF xyuxvyyxyx令（12,.FFFFuv记 （2 分）1212122211,xyzzzFFFFFFxyyx （4 分）由此，1221221212,.1111yxzzzzFFFFzzyxxyFFFFyxyx （6 分）3,解：利用拄面坐标，得 2224003rzdvdrdrzdz分 =240164216623rrdr分 4解：因为，2441 12,16,14,115223 35s ，（3分）8 所以，所求直线方程为 23161411xyz（6 分）,5,解：由高斯公式，得 222,Ixyz dxdydz其中为上半球体：2220zaxy（3 分）=2222000sinaddr r dr =525a（6 分）6,解：因为该级数是公比lnqa的等比级数，所以 当lna1，即1eae 时，原级数收敛（3 分）当ln1a，即ae或 01ae时，原级数发散（6 分 7,解：22222222220()(cos)(sin)()(sin)(cos)xyzdsatatktatatk dt （3 分）222 2220()ak tak dt 22223202222232(34).3kaka ttakak （6 分）8，解：011111nnxxx（2 分）12011111nnnnxn xxx（4 分）收敛区间为（-2，0）（6 分）四,证明题（6 分）11sin12nnnnnu分 9 而11nn是11q的收敛级数（4 分）即1nnu收敛，所以1nnu绝对收敛（6 分）五、应用题（每小题 8 分，共 16 分。）1,设长宽分别为,x yxy4则高为因此表面积S 为：4488,)22.x yxyxyxyxyxyxyS(（4 分）令228080SyxxSxxy，有 （6 分）2,xy即（2，2）是唯一的驻点，由题知为极小点，此时高为 1，因此，当长宽高分别为 2，2，1 米时，表面积最小。（8 分）2,由对称性知，所求面积 S 为第一卦限表面积1212sss的 8 倍，即 122161616DDrssdAdxdyrx（5 分）=22222001616rrxrdxdyrrx-（8 分）
