水平宽铅垂高求三角形面积.doc4528.pdf

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法 -二次函数教学反思 铅垂高 如图，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高”（h）我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC=12 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图 1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例 1（2013 深圳）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），连结 OA，将线段 OA 绕原点 OB C 铅垂高 水平宽 h a 图 1 C B A O y x D B A O y x P 顺时针旋转 120，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，3）（2）设抛物线的解析式为 y=ax(x+a)，代入点 B（1,3），得33a，因此232 333yxx（3）如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时，BOC 的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以33,320.2 33kkbkbb解得，因此直线AB为32 333yx，当x=1时，33y，因此点 C 的坐标为（1，3/3）.（4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D.2221()()2132 332 332333333322319 3228PABPADPBDDPBASSSyyxxxxxxxx 当 x=12时，PAB 的面积的最大值为9 38，此时13,24P.例 2(2014 益阳)如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及CABS；(3)是否存在一点 P，使 SPAB=89SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21xay把 A（3,0）代入解析式求得1a所以324)1(221xxxy设直线AB的解析式为：bkxy2由3221xxy求得 B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A，)3,0(B代入bkxy2中 解得：图-2 x C O y A B D 1 1 yCPyCQ3,1bk所以32xy (2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y14，y22 所以 CD4-2232321CABS(平方单位)(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则xxxxxyyh3)3()32(2221由 SPAB=89SCAB得389)3(3212xx化简得：091242xx解得，23x将23x代入3221xxy中，解得 P 点坐标为)415,23(例 3（2015 江津）如图，抛物线cbxxy2与 x 轴交于 A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最大，若存在，求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将 A(1，0)，B(3，0)代2yxbxc 中得10930bcbc 23bc 抛物线解析式为：223yxx (2)存在。理由如下：由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴1x 对称 直线 BC 与1x 的交点即为 Q 点，此时AQC 周长最小 223yxx C 的坐标为：(0，3)直线 BC 解析式为：3yx Q 点坐标即为13xyx 的解 12xy Q(1，2)（3）答：存在。理由如下：设 P 点2(23)(30)xxxx，92BPCBOCBPCOBPCOSSSS四边形四边形若BPCOS四边形有最大值，则BPCS就最大，BPEBPCOPEOCSSSRt四边形直角梯形11()22BE PEOE PEOC 2211(3)(23)()(233)22xxxxxx 233927()2228x 当32x 时，BPCOS四边形最大值92728 BPCS最大9279272828 当32x 时，215234xx 点P坐 标 为315()24，同学们可以做以下练习：1（2015 浙江湖州）已知如图，矩形 OABC 的长 OA=3，宽 OC=1，将AOC 沿 AC 翻折得APC。（1）填空：PCB=_度，P 点坐标为（，）；（2）若 P，A 两点在抛物线 y=43x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线 CP 段（不包括 C，P 点）上，是否存在一点 M，使得四边形 MCAP 的面积最大若存在，求出这个最大值及此时 M 点的坐标；若不存在，请说明理由。2（湖北省十堰市 2014）如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点 A(1，0)和点B(3，0)，与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标 图 图 3.(2015 年恩施)如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP/C，那么是否存在点 P，使四边形 POP/C为菱形若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得303ccb 解得：32cb 所以二次函数的表达式为：322xxy （2）存在点 P，使四边形 POP/C 为菱形 设 P 点坐标为（x，322 xx），PP/交 CO 于 E 若四边形 POP/C 是菱形，则有 PCPO 连结 PP/则 PECO 于 E，OE=EC=23 y=23 322 xx=23 解得1x=2102，2x=2102（不合题意，舍去）P 点的坐标为（2102，23）图 11（3）过点 P 作y轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，322 xx），易得，直线 BC 的解析式为3 xy则 Q 点的坐标为（x，x3）.EBQPOEQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC212121四边形 3)3(2134212xx=87523232x 当23x时，四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为415,23，四边形 ABPC 的面积875的最大值为 25（2015 绵阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0）、B（2，0），与 y轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，EFK的面积最大并求出最大面积 【解析】（1）由题意，得,0424,04416baba 解得21a，b=1 所以抛物线的解析式为4212xxy，顶点 D 的坐标为（1，29）（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B，连结 BD交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DH+CH 最小，即最小为 DH+CH=DH+HB=BD=132322 DMBM 而 25)429(122CD CDH 的周长最小值为 CD+DR+CH=21335 C E D G A x y O B F K N C E D G A x y O B F 设直线 BD 的解析式为 y=k1x+b，则,29,021111bkbk 解得 231k，b1=3 所以直线 BD 的解析式为 y=23x+3由于 BC=25，CE=BC2=5，RtCEGCOB，得 CE:CO=CG:CB，所以 CG=，GO=G（0，）同理可求得直线 EF 的解析式为 y=21x+23 联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使CDH 的周长最小的点 H（43，815）（3）如图所示，设 K（t，4212tt），xFtxE过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N 则 KN=yKyN=4212tt（21t+23）=2523212tt 所以 SEFK=SKFN+SKNE=21KN（t+3）+21KN（1t）=2KN=t23t+5=（t+23）2+429 即当 t=23时，EFK 的面积最大，最大面积为429，此时 K（23，835）平面直角坐标系中三角形面积的求法 我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1 有一边在坐标轴上：例 1：如图 1，平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为（3，0），（0，3），（0，1），求ABC 的面积.分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，ABC 的边 BC 在 y 轴上，由图形可得 BC4，点 A 到 BC 边的距离就是 A 点到 y 轴的距离，也就是 A 点横坐标的绝对值 3，然后根据三角形的面积公式求解.2 有一边与坐标轴平行：例 2：如图 2，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为 A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求ABC 的面积.分析：由 A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边 AB 与 y 轴平行，因而 AB 的长度易求.作 AB 边上的高 CD，就可求得线段 CD 的长，进而可求得三角形 ABC 的面积.3 三边均不与坐标轴平行：例 3：分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接 求边长，也无法求高，因此得另想办法.4 三角形面积公式的推广：过ABC 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条 直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高”（h）我们可得出 一种计算三角形面积的新方法：SABC=21ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 例 4：已知：直线 l1：y=2x+6 与 x 轴交于点 A，直线 l2：y=x+3 与 y 轴交于点 B，直线 l1、l2交于点 C ()建立平面直角坐标系，画出示意图并求出 C 点的坐标；()利用阅读材料提供的方法求 ABC 的面积 5 巩固练习：（1）已知：如图，直线bkxy与反比例函数kyx（x0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4.（）试确定反比例函数的关系式；（）求AOC的面积 （2）如图，在直角坐标平面内，函数myx（0 x，m是常数）的图象经过(14)A，()B ab，其中1a 过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB 若ABD的面积为 4，求点B的坐标；（3）已知，直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt ABC，BAC=90且点 P（1，a）为坐标系中的一个动点（）求三角形 ABC 的面积 S ABC；（）请说明不论 a 取任何实数，三角形 BOP 的面积是一个常数；（）要使得 ABC 和 ABP 的面积相等，求实数 a 的值