立体几何证明方法总结教师20175.pdf

-一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。2、利用三角形或梯形的中位线。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和交线平行。线面平行的性质定理 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。面面平行的性质定理 5、如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线 平行。线面垂直的性质定理 6、平行于同一条直线的两条直线平行。7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。需证明 二、线面平行的证明方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。2、如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。线面平行的判定定理 3、两个平面平行，其中一个平面的任何一条直线必平行于另一个平面。三、面面平行的证明方法：1、定义法：两平面没有公共点。2、如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。面面平行的判定定理 3、平行于同一平面的两个平面平行。4、经过平面外一点，有且只有一个平面和平面平行。5、垂直于同一直线的两个平面平行。四、线线垂直的证明方法：1、勾股定理。2、等腰三角形。3、菱形对角线。4、圆所对的圆周角是直角。5、点在线上的射影。6、如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线就和这个平面任意的直线都垂直。7、在平面的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。三垂线定理，需证明 8、在平面的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直。三垂线逆定理，需证明 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。五、线面垂直的证明方法：-1、定义法：直线与平面任意直线都垂直。2、点在面的射影。3、如果一条直线和一个平面的两条相交直线垂直，则 这条直线垂直于这个平面。线面垂直的判定定理 4、如果两个平面互相垂直，则在一个平面垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的性质定理 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。7、两相交平面同时垂直于第三个平面，则两平面交线垂直于第三个平面。8、过一点，有且只有一条直线与平面垂直。9、过一点，有且只有一个平面与直线垂直。六、面面垂直的证明方法：1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。面面垂直的判定定理 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直。4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，则这两个平面互相垂直。一选择题共 27 小题 1 2010设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则以下命题正确的选项是 A 假设 lm，m，则 l B 假设 l，lm，则 m C 假设 l，m，则 lm D 假设 l，m，则 lm 2 2006过平行六面体 ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 A 4 条 B 6 条 C 8 条 D 12 条 3直线 l 与平面 无公共点是l的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4m，n 表示两条直线，表示一个平面，给出以下四个命题：n；其中正确命题的序号是 A B C D 5 正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别是 A1B1、CD、B1C1的中点，则以下中与直线 AE 有关的正确命题是 A AE 丄 CG B AE 与 CG 是异面直线 C 四边形 ABC1F 是正方形 D AE平面 BC1F 6直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面的 A 一条直线不相交 B 两条直线不相交 C 任意一条直线都不相交 D 无数条直线不相交 7、表示平面，a、b 表示直线，则 a 的一个充分条件是 A，且 a B=b，且 ab C ab，且 b D，且 a 8两条直线 a，b，两个平面，则以下结论中正确的选项是 A 假设 a，且，则 a B 假设 b，ab，则 a-C 假设 a，则 a D 假设 b，ab，则 a 9以下四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP的图形的序号是 A、B、C、D、10设、是三个不同的平面，a、b 是两条不同的直线，给出以下 4 个命题：假设 a，b，则 ab；假设 a，b，ab，则；假设 a，b，ab，则；假设 a、b 在平面 的射影互相垂直，则 ab其中正确命题是 A B C D 11两条直线 a，b 和平面，假设 b，则 ab 是 a 的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 12直线 a 和平面，则 a 的一个充分条件是 A 存在一条直线 b，ab，b B 存在一条直线 b，ab，b C 存在一个平面，a，D 存在一个平面，a，a 13，表示平面，a，b 表示直线，则 a 的一个充分条件是 A a，B a=b，ab C ab，b D，a 14A，b，c 为三条不重合的直线，为三个不重合平面，现给出六个命题 ab ab a a 其中正确的命题是 A B C D 15以下说确的是 A 垂直于同一平面的两平面也平行 B 与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 C 过一点有且只有一条直线与直线垂直 D 垂直于同一直线的两平面平行 16两条直线 m、n 与两个平面、，以下命题正确的选项是 A 假设 m，n，则 mn B 假设 m，m，则 C 假设 m，m，则 D 假设 mn，m，则 n 17直线 a，b，平面，则 a 的一个充分条件是 A ab，b B a，C b，ab D ab，b，a 18A 是平面 BCD 外一点，E，F，G 分别是 BD，DC，CA 的中点，设过这三点的平面为，则在直线 AB，AC，AD，BC，BD，DC 中，与平面 平行的直线有 A 0 B 1 条 C 2 条 D 3 条 19 2010在空间，以下命题正确的选项是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 20 2008设有直线 m、n 和平面、，以下四个命题中，正确的选项是 A 假设 m，n，则 mn B 假设 m，n，m，n，则 C 假设，m，则 m D 假设，m，m，则 m 21 2008 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为 A B C D -22 2008两条不同直线，是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 A 假设 m，n，则 mn B 假设，则 C 假设 m，m，则 D 假设 m，n，则 mn 23 2007假设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则以下命题中为真命题的是 A 假设 m，则 m B 假设=m，=n，mn，则 C 假设，则 D 假设 m，m，则 24 2007两条直线 m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，m n，m，n mn mn，m n，mn，m n 其中正确命题的序号是 A B C D 25 2002三条直线 m、n、l，三个平面 a、b、g，以下四个命题中，正确的选项是 A B C D 26直线 m 平面，直线 n 平面，直线 cm，直线 cn是直线 c平面 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 27假设直线 a直线 b，且 a平面，则 b 与平面 的位置关系是 A 一定平行 B 不平行 C 平行或相交 D 平行或在平面 二填空题共 3 小题 28如图：点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则以下四个命题：三棱锥 AD1PC 的体积不变；A1P面 ACD1；DPBC1；面 PDB1面 ACD1 其中正确的命题的序号是 _ 29考察以下三个命题，在处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题其中 l，m 为不同的直线，、为不重合的平面，则此条件为 _ l，l，l 30在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CA 的中点给出下面四个结论：BC平面 PDF；DF平面 PAE；平面 PDF平面 ABC；平面 PAE平面 ABC，其中所有不正确的结论的序号是 _ 1.分析：根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断C：根据线面平行的判定定理判断D：由线线的位置关系判断B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案 解答：解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面两条相交直线才行，不正确；C：l，m，则 lm 或两线异面，故不正确 D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确 B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面故正-确 应选 B 2.：解：如图，过平行六面体 ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 12 条，应选 D 3 解：假设直线 l 与平面 无公共点成立，则l 即直线 l 与平面 无公共点 l为真命题 反之，当l时，直线 l 与平面 无公共点 即l 直线 l 与平面 无公共点也为真命题 根据充要条件的定义可得：直线 l 与平面 无公共点是l的充要条件 应选 C 4：mn，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故正确 n，由 m，mn 得 n 或 n，故不正确 mn，由 m，n，则 m，n 可能平行、可能相交、可能异面故不正确，则 m，n 可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知 mn故正确 应选 D 5 根据正方体的几何特征，可以判断出 AE 与 CG 相交，但不垂直，由此可以判断出 A，B 的真假，分析四边形 ABC1F中各边的长度，即可判断 C 的真假，由线面平行的判定定理，可以判断出 D 的真假，进而得到答案 解：由正方体的几何特征，可得 AE 丄 C1G，但 AE 与平面 BCB1C1不垂直，故 AE 丄 CG 不成立；由于 EGAC，故 A，E，B，C 四点共线 AE 与 CG 是异面直线错误；四边形 ABC1F 中，ABBC1，故四边形 ABC1F 是正方形错误；而 AEC1F，由线面平行的判定定理，可得 AE平面 BC1F 应选 D -，由其性质可知：意一条直线都不相交，明有其它直线与其相交，故 A 错误；说明有其它直线与其相交，故 B 错误；，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故 D 错误；行的判断定理：有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上 点确定一个平面 一点确定一个平面 定一个平面，所以不正确，所以不正确 以不正确 面面平行的性质定理可知是正确的 面，面面的平行及垂直间的相互转化，一定要注意常见结论的严密性 a，a 故 A 正确；设 a，则 a 不可能与 平行，故 B 错误；假设 a，则结论不成立，故 C 错误；设 a，则结论不成立，故 D 错误；行的判断定理：有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上 点确定一个平面 一点确定一个平面 定一个平面，平行，考虑线面平行定义；对于，考虑线面平行的判定及定义；对于，可以用线面平的定义及判定定理判断；对于定理即可 所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面 MNP，由线面平行的定义可得 AB平面 MNP PN 得到 AB平面 MNP；还是判定定理都无法证明线面平行；定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题，故错误；，故错误；b，故正确；射影互相垂直，a 与 b 不一定是垂直的，有可能斜交，故错误；行的判断定理：有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上 点确定一个平面 一点确定一个平面 定一个平面，-的关系可能是 a，也可能是 a，即 a 不一定成立，故 ab a 为假命题；的关系可能是 ab，也可能是 a 与 b 异面，即 ab 不一定成立，故 a ab 也为假命题；不充分又不必要条件 要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断 ab a 与 a ab 的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是法，要求大家熟练掌握，不正确 正确 理知正确 正确 理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面 a 或 a b a 或 a a 或 a 能排除 a，的性质可知正确 正确；理可知正确；相交或异面 能相交，平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考察了对定理、公理的理解，属于综合题 个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，假设交于三个点则共无数条直线与直线垂直，得到结论 的两个平面的位置关系不能确定，故 A 不正确，的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，假设交于三个点则共面，故 B 不正确，条直线与直线垂直，故 C 不正确，平面平行，正确，n，则 m，n 可以平行、相交，也可以异面，故不正确；，则当 m 平行于，的交线时，也成立，故不正确；，则 m 为平面 与 的公垂线，则，故正确；，则 n，n 也可以在 平面的位置关系涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面找直线平行面面平行来推导线面平行 则 a 与平面平行或在平面，不正确 a 与平面平行或在平面，不正确 与平面平行或在平面，不正确 理知，正确-何中线面之间的位置关系及判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题 18 解答：解：取 AB 的中点 H，连接 HE、EF、FG、GH 平面 HEFG 为平面 其中 AB、BD、CD、AC 都与平面 相交 E、F 是 BD、CD 的中点 EFBC，而 EF，BC BC平面 同理可证 AD平面 应选 C 点评：此题主要考察了直线与平面平行的判定，同时考察了空间想象能力和推理论证的能力，属于根底题 19 解答：解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A 错误 平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B 错误 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C 错误 应选 D 20 分析 由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断 A、B、D；由面面垂直的性质定理判断 C 解答：解：A 不对，由面面平行的判定定理知，m 与 n 可能相交；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线；应选 D 点评：此题考察了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进展验证，属于根底题 21 分：由题意连接 A1C1，则AC1A1为所求的角，在AC1A1计算 解答：解：连接 A1C1，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，A1A平面 A1B1C1D1，则AC1A1为 AC1与平面 A1B1C1D1所成角 在AC1A1中，sinAC1A1=应选 D 22 分析：此题考察的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，假设 m，n，m，n 可以相交也可以异面，故 A 不正确；假设，则，则、可以相交也可以平行，故 B 不正确；假设 m，m，则，则、可以相交也可以平行，故 C 不正确；m，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；故 D 答案正确；分析即可得到结论 解答：解：m，n 均为直线，其中 m，n 平行，m，n 可以相交也可以异面，故 A 不正确；假设，则，则、可以相交也可以平行，故 B 不正确；假设 m，m，则，则、可以相交也可以平行，故 C 不正确；m，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；应选 D 23 分对于选项 A 直线 m 可能与平面 斜交，对于选项 B 可根据三棱柱进展判定，对于选项 C 列举反例，如正-析：方体同一顶点的三个平面，对于 D 根据面面垂直的判定定理进展判定即可 解答：解：对于选项 D，假设 m，则过直线 m 的平面与平面 相交得交线 n，由线面平行的性质定理可得 mn，又 m，故 n，且 n，故由面面垂直的判定定理可得 应选 D 点评：此题主要考察了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考察了推理能力，属于根底题 24 解答：解：用线面垂直和面面平行的定理可判断正确；中，由面面平行的定义，m，n 可以平行或异面；中，用线面平行的判定定理知，n 可以在；应选 C 点评：此题考察了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于根底题 25 分析：利用墙角知 A 不对，线面平行和垂直的定理知 B 不对，由面面平行的判定定理和线面垂直的性质定理来判断出 C 和 D 解答：解：A、与 可能相交，如墙角，故 A 错误；B、可能 l，故 B 错误；C、由面面平行的判定定理知，m、n 可能相交，故 C 错误；D、由线面垂直的性质定理知，故 D 正确 应选 D 点评：此题考察了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进展判断，考察了定理的运用能力和空间想象能力 26：由线面垂直的定义，当直线 c平面 时，c 与 中的任意一条直线都垂直，即直线 c平面 直线 cm，直线 cn为真命题，但反之，当直线 cm，直线 cn时，直线 c平面 不一定成立，根据充要条件的定义，易得答案 解答：解：假设直线 cm，直线 cn 成立 则当 m，n 相交时，直线 c平面 成立，当 m，n 平行时，直线 c平面 不一定成立 故直线 cm，直线 cn 直线 c平面 为假命题 假设直线 c平面 成立 则 C 垂直平面 的每一条直线 故直线 c平面 直线 cm，直线 cn 为直线 cm，直线 cn真命题 故直线 cm，直线 cn是直线 c平面 的必要而不充分条件 应选 B 点评：判断充要条件的方法是：假设 p q 为真命题且 q p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；假设 p q 为假命题且 q p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；假设 p q 为真命题且 q p为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；假设 p q 为假命题且 q p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的围，再根据谁大谁必要，谁小谁充分的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系 27 分 由直线 a直线 b，且 a平面，知直线 b平面 或直线 b 在平面 解答：解：直线 a直线 b，且 a平面，直线 b平面 或直线 b 在平面 应选 D 点评：此题考察空间直线与平面之间的位置关系，是根底题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进展等价转化 28 分析：如右图，对于，容易证明 AD1BC1，从而 BC1平面 AD1C，以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，易得；对于，连接 A1B，A1C1容易证明平面 BA1C1面 ACD1，从而由线面平行的定义可得；对于，由于 DC平面 BCB1C1，所以 DCBC1平面，假设 DPBC1，则 DC 与 DP 重合，与条件矛盾；对于-，容易证明 PDB1面 ACD1，从而可以证明面面垂直 解答：解：对于，容易证明 AD1BC1，从而 BC1平面 AD1C，故 BC1上任意一点到平面 AD1C 的距离 均相等，所以以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，则三棱锥 AD1PC 的体积不变；正确；对于，连接 A1B，A1C1容易证明 A1C1AD1且相等，由于知：AD1BC1，所以 BA1C1面 ACD1，从而由线面平行的定义可得；正确；对于由于 DC平面 BCB1C1，所以 DCBC1平面，假设 DPBC1，则 DC 与 DP 重合，与条件矛盾；错误；对于，连接 DB1，容易证明 DB1面 ACD1，从而由面面垂直的判定知：正确 故答案为：点评：此题考察三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想 29 分析：根据线面平行的判定定理，我们知道要判断线面平行需要三个条件：面一线，面外一线，线线平行，分析中的三个命题，即可得到答案 解答：解：表达的是线面平行的判定定理，缺的条件是l 为平面 外的直线，即l 它同样适合，故填 l 故答案为：l 点评：此题考察的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握直线与平面平行判断的方法及必要的条件是解答此题的关键 30 专题：综合题。分析：正四面体 PABC 即正三棱锥 PABC，所以其四个面都是正三角形，应该联想到三线合一平面条件为空间问题提供素材 解答：解：由 DFBC 可得 BC平面 PDF，故正确 BCPE，BCAE BC面 PAE，DFBCDF平面 PAE，正确 根据正四面的定义 P 点在底面的射影是底面ABC 的中心 O，有平面几何知识，O 点不在 DF 上，故错-在的根底上，DF 面 ABC，由面面垂直的判定定理，正确 故答案为：点评：本小题考察空间中的线面关系，用到了正三角形中三线合一，中位线定理等根底知识，考察空间想象能力和思维能力，平面问题空间问题相互转化的能力