三角函数的诱导公式【六公式】46640.pdf
用公式 诱导公式 三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(+k*2)=sin （k 为整数）cos(+k*2)=cos（k 为整数）tan(+k*2)=tan（k 为整数）公式二：sin(+)=-sin cos(+)=-cos tan(+）=tan 公式三：sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan 公式四：sin(-)=sin cos(-)=-cos tan(-)=-tan 公式五：sin(/2-)=cos cos(/2-)=sin 由于 /2+=-（/2-），由公式四和公式五可得 公式六：sin(/2+)=cos cos(/2+)=-sin 诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。2 或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。和（差）角公式 三角和公式 sin（+）=sin cos cos+cos sin cos+cos cos sin-sin sin sin cos（+）=cos cos cos-cos sin sin-sin cos sin-sin sin cos tan（+）=（tan+tan +tan -tan tan tan）/（1-tan tan-tan tan-tan tan）（+/2+2k，、/2+2k）积化和差的四个公式 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)倍角公式 sin（3a)3sina-4sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a4sinasin（60+a)sin（60-a)=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sina（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60-a)/2*2sin（60-a)/2cos（60+a)/2=4sinasin（60+a)sin（60-a)cos3a4cosacos（60-a)cos（60+a)=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30）(cosa+cos30）=4cosa*2cos(a+30）/2cos(a-30）/2*-2sin(a+30）/2sin(a-30）/2=-4cosasin(a+30）sin(a-30）=-4cosasin90-（60-a)sin-90+（60+a)=-4cosacos（60-a)-cos（60+a)=4cosacos（60-a)cos（60+a)tan3atanatan（60-a)tan（60+a)上述两式相比可得 tan3a=tanatan（60-a)tan（60+a)三倍角 sin3=3sin-4sin3 =4sin sin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3 -3cos =4cos cos（/3+）cos（/3-）tan3 =tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a tan（/3+a）tan（/3-a)其他多倍角 四倍角 sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4）tan4A=（4*tanA-4*tanA3）/（1-6*tanA2+tanA4）五倍角 sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*（5-10*tanA2+tanA4）/（1-10*tanA2+5*tanA4）六倍角 sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA2）cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA4-16*cosA2+1）tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5）/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6）七倍角 sin7A=-(sinA*（56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6）cos7A=(cosA*（56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7）tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6）/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6）八倍角 sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）*(-8*sinA2+8*sinA4+1）cos8A=1+（160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2）tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6）/（1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8）九倍角 sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2）*（64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3）cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2）*（64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3）tan9A=tanA*（9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8）/（1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8）十倍角 sin10A=2*(cosA*sinA*（4*sinA2+2*sinA-1）*（4*sinA2-2*sinA-1）*(-20*sinA2+5+16*sinA4）cos10A=(-1+2*cosA2）*（256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1）tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8）/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10）N 倍角 根据棣莫弗定理，（cos+i sin）n=cos(n）+i sin(n）为方便描述，令 sin=s，cos=c 考虑 n 为正整数的情形：cos(n）+i sin(n）=(c+i s)n=C(n,0)*cn+C(n,2）*c(n-2）*(i s)2+C(n,4）*c(n-4）*(i s)4+.+C(n,1）*c(n-1）*(i s)1+C(n,3）*c(n-3）*(i s)3+C(n,5）*c(n-5）*(i s)5+.=；比较两边的实部与虚部 实部：cos(n）=C(n,0)*cn+C(n,2）*c(n-2）*(i s)2+C(n,4）*c(n-4）*(i s)4+.i*虚部：i*sin(n）=C(n,1）*c(n-1）*(i s)1+C(n,3）*c(n-3）*(i s)3+C(n,5）*c(n-5）*(i s)5+.对所有的自然数 n：cos(n）：公式中出现的 s 都是偶次方，而 s2=1-c2（平方关系），因此全部都可以改成以 c（也就是 cos）表示。sin(n）：当 n 是奇数时：公式中出现的 c 都是偶次方，而 c2=1-s2（平方关系），因此全部都可以改成以 s（也 就是 sin）表示。当 n 是偶数时：公式中出现的 c 都是奇次方，而 c2=1-s2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩 c（也就是 cos）的一次方无法消掉。例.c3=c*c2=c*（1-s2），c5=c*(c2）2=c*（1-s2）2）特殊公式（sina+sin ）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）证明：（sina+sin ）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2*2 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）坡度公式 我们通常把坡面的垂直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母 i 表示，即 i=h/l,坡度的一般形式写成 l:m形式，如 i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a（叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.半角公式万能公式 6 辅助角公式 注：该公式又称收缩公式/强提公式/化一公式 等 asin +bcos =(a2+b2)sin(+)，其中 tan =b/a asinA+bcosB=根号下a方+b方（根号下a方+b方分之asinA+根号下a方+b方分之 bcosB)令根号下 a 方+b 方分之 a=cosC 则根号下 a 方+b 方分之 b=sinC asinA+bcosB=根号下 a 方+b 方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下 a 方+b 方sin(A+C)双曲函数 h a=ea-e(-a)/2 ch a=ea+e(-a)/2 th a=sin h(a)/cos h(a)公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k +）=sin cos（2k +）=cos tan（2k +）=tan cot（2k +）=cot 公式二：设 为任意角，+的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（+）=-sin cos（+）=-cos tan（+）=tan cot（+）=cot 公式三：任意角 与-的三角函数值之间的关系：sin（-）=-sin cos（-）=cos tan（-）=-tan cot（-）=-cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关系：sin（-）=sin cos（-）=-cos tan（-）=-tan cot（-）=-cot 公式五：利用公式-和公式三可以得到 2-与 的三角函数值之间的关系：sin（2-）=-sin cos（2-）=cos tan（2-）=-tan cot（2-）=-cot 公式六：/2 及 3 /2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2+）=cos cos（/2+）=-sin tan（/2+）=-cot cot（/2+）=-tan sin（/2-）=cos cos（/2-）=sin tan（/2-）=cot cot（/2-）=tan sin（3 /2+）=-cos cos（3 /2+）=sin tan（3 /2+）=-cot cot（3 /2+）=-tan sin（3 /2-）=-cos cos（3 /2-）=-sin tan（3 /2-）=cot cot（3 /2-）=tan （以上 kZ)Asin（t+）+Bsin（t+）=(A+2ABcos（-）sin t+arcsin(Asin+Bsin）/A2+B2+2ABcos（-）表示根号，包括中的内容 反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=-arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=/21 编辑本段?函数应用 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在海岛北偏东 30，俯角为 30 的 B 处。到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60，俯角为 60 的 C 处。（1）该船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的 D 处，此时船距岛 A 有多远？解（1）在 RtPAB 中，APB=60 PA=1，AB=3（千米）在 RtPAC 中，APC=30，AC=3/3（千米）在ACB 中，CAB=30+60=90则 BC=(AB)2+(AC)2=(3/3)2+(3)2=30/3(30/3)/(1/6)=2 30（千米/时）（2）DAC=9060=30sinDCA=sin（180ACB）=sinACB=AB/BC=3/30/3=3 10/10sinCDA=sin（ACB30）=sinACBcos30cosACBsin30=(3 3-1)10/20 在ACD 中，据正弦定理得，AD/sinDCA=AC/sinCDAAD=ACsinCDA
