圆锥曲线定点、定直线、定值问题3749.pdf

1 高三二轮复习专题讲座 圆锥曲线中定点、定直线、定值问题 例 1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1 （）求椭圆C的标准方程；（）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 解(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab 3,1acac，22,1,3acb221.43xy (II)设1122(,),(,)A x yB xy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk 22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，(最好是用向量点乘来)1212122()40y yx xxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222,7kmk m ，且满足22340km.当2mk 时，:(2)l yk x，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km 时，2:()7l yk x，直线过定点2(,0).7 综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7 例 2、已知椭圆 C 的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（）求椭圆 C 的方 2 程；（）设直线xmy1与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线1A P与2A Q交于点 S。试问：当 m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆C的方程为2222xy1 ab0ab。1 分 a2，c3ea2，c3，222bac1。4 分 椭圆C的方程为222xy14。5 分（）取33P 1,Q 1,22，直线1A P的方程是33yx,63 直线2A Q的方程是3yx3,2交点为1S4,3.7 分,若33P 1,Q 1,22，由对称性可知交点为2S4,3.若点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。8 分 以下证明对于任意的m,直线1A P与直线2A Q的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30，记1122P x,y,Q x,y，则1212222m3yy,y ym4m4。9 分 设1A P与交于点00S(4,y),由011yy,42x2得1016yy.x2 设2A Q与交于点00S(4,y),由022yy,42x2得2022yy.x2 10 1200126y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124my y6 yyx2x2 221212m12mm4m40 x2x2，12分 00yy，即0S与0S重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。13 分 解法二：（）取33P 1,Q 1,22，直线1A P的方程是33yx,63直线2A Q的方程是3yx3,2交点为1S4,3.7 分 取m1,得8 3P,Q 0,15 5，直线1A P的方程是11yx,63直线2A Q的方程是1yx1,2交点为2S4,1.3 若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。8 分 以下证明对于任意的m,直线1A P与直线2A Q的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30，记1122Px,y,Qx，则1212222m3yy,y ym4m4。9 分 1A P的方程是11yyx2,x22A Q的方程是22yyx2,x2消去y,得1212yyx2x2x2x2 以下用分析法证明x4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明12126y2y,x2x2即证12213ymy1ymy3,即证12122my y3 yy.1212226m6m2my y3 yy0,m4m4式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。解法三：（）由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30。记1122P x,y,Q x,y，则1212222m3yy,y ym4m4。6 分 1A P的方程是11yyx2,x22A Q的方程是22yyx2,x2 7 分 由1122yyx2,x2yyx2,x2得1212yyx2x2,x2x2 9 分 即21122112yx2yx2x2yx2yx221122112ymy3ymy12ymy3ymy11221212my y3yy23yy 112211232m2m3yym4m424.2m3yym4 12 分 这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。13 分 3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为21，离心率为2e2 （）求椭圆E的方程；（）过点1,0作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由 4 解：（I）设椭圆 E 的方程为2222xy1ab,由已知得：ac21c2a2。2 分 a2c1222bac1椭圆 E 的方程为22xy12。3 分（）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x,y),Q(x,y)，则：11221212MP(xm,y),MQ(xm,y),MP MQ(xm)(xm)y y 2121212x xm(xx)my y。5 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，则 由22xy12yk(x1)得222x2k(x1)20 2222(2k1)x4k x(2k2)0221212224k2k2xx,xx2k12k1 7 分 222121212122ky yk(x1)(x1)k x x(xx)12k1 所以22222222k24kkMP MQmm2k12k12k1 2222(2m4m1)k(m2)2k1 9 分 对于任意的k值，MP MQ 为定值，所以222m4m12(m2)，得5m4，所以57M(,0),MP MQ416 ；11 分 当直线l的斜率不存在时，直线1212121l:x1,xx2,x x1,y y2 由5m4得7MP MQ16 综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为5(,0)4 13 分 法二：假设存在点M(m,0)，又设1122P(x,y),Q(x,y),则：1122MP(xm,y),MQ(xm,y)1212MP MQ(xm)(xm)y y =2121212x xm(xx)my y.5 分 当直线l的斜率不为 0 时，设直线l的方程为xty1，由22xy12xty1得22(t2)y2ty10 1212222t1yy,yyt2t2 7 分 222212122121222t2tt22t2x x(ty1)(ty1)t y yt(yy)1t2t2 221212222t2t44xxt(yy)2t2t2 222222t24m1MP MQmt2t2t2 2222(m2)t2m4m1t2 9 分 设MP MQ 则2222(m2)t2m4m1t2 2222222(m2)t2m4m1(t2)(m2)t2m4m120 22m202m4m120 5m4716 5M(,0)4 11 分 当直线l的斜率为 0 时，直线l:y0，由5M(,0)4得：5 55257MP MQ(2)(2)2441616 综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为5(,0)4。13 分 例 4、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；（）设点(,0)M m是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；（）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（I）设椭圆方程为22221(0)xyabab，由题意知1b 2222255abaa故椭圆方程为2215xy （）由（I）得(2,0)F，所以02m，设l的方程为(2)yk x（0k）代入2215xy，得2222(51)202050kxk xk 设1122(,),(,),A x yB xy 则2212122220205,5151kkxxx xkk,12121212(4),()yyk xxyyk xx 112212122121(,)(,)(2,),(,)MAMBxm yxm yxxm yyABxx yy 12212112(),()0,(2)()()()0 MAMBABMAMBABxxm xxyyyy 2222220420,(85)05151kkmm kmkk由280,0855mkmm，当805m时，有()MAMBAB 成立。（）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。依题意知11(,)C xy，直线 BC 的方程为211121()yyyyxxxx，令0y，则121122112121()y xxy xy xxxyyyy l的方程为(2),yk xA、B在直线l上，1221121211221212(1)(1)22()(2),(2)()4()4k xxk xxkx xk xxyk xyk xxk xxkk xxk 222222205202255151202451kkkkkkkkkk在x轴上存在定点5(,0)2N，使得CBN三点共线。解法二：（）由（I）得(2,0)F，所以02m。设l的方程为(2)(0),yk xk 代入2215xy，得2222(51)202050kxkk设1122(,),(,),A x yB xy则2212122220205,5151kkxxx xkk 1212121224(4),()51kyyk xxyyk xxk 6 2211221212121222212(),|,()(),(2)()()()0,(1)()240,(85)0 MAMBABMAMBxmyxmyxxm xxyyyykxxmkm km 2222888)0,05155(51kmkkkk805m 当805m时，有()MAMBAB 成立。（）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。设存在(,0),N t使得C、B、N三点共线，则/CBCN，122111(,),(,)C BxxyyC Ntxy，211112()()()0 xx ytxyy 即211112()(2)()(4)0 xx k xtx k xx12122(2)()40 x xtxxt 2222205202(2)405151kkttkk，52t 存在5(,0)2N，使得CBN三点共线。例 6、（福建卷）已知椭圆1222 yx的左焦点为 F，O 为坐标原点。（）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；（）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：（I）222,11,(1,0),:2.abcFl x 圆过点 O、F，M 在直线12x 上。设1(,),2Mt则圆半径13()(2).22r 由,OMr得2213(),22t 解得2.t 所求圆的方程为2219()(2).24xy （II）设直线 AB 的方程为(1)(0),yk xk 代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk 直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根。记1122(,),(,),A x yB xyAB中点00(,),N xy 则21224,21kxxk AB的垂直平分线 NG 的方程为001().yyxxk 令0,y 得 xylGABFO 7 222002222211.212121242Gkkkxxkykkkk 10,0,2Gkx点 G 横坐标的取值范围为1(,0).2