指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳14321.pdf

v1.0 可编辑可修改 1 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂：.()nnaa a a nN 零指数幂：01(0)aa 负整数指数幂：1(0,)ppaapNa 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,1)mnmnaaam nNn且 负分数指数幂的意义是：11(0,1)mnmnmnaam nNnaa且 2、幂函数的定义 一般地，函数ayx叫做幂函数，其中 x 是自变量，a 是常数(我们只讨论 a 是有理数的情况)3、幂函数的图象 幂函数ayx 当1 1,1,2,33 2a 时的图象见左图；当12,1,2a 时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：2 ayx有下列性质：(1)0a 时：图象都通过点(0,0)，(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0,)上是增函数(2)0a 时：图象都通过点(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0,)上是减函数；在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点 二、指数函数 定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为 R；2）函数的值域为),0(；3）当10 a时函数为减函数，当1a时函数为增函数.4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a.5）抽象性质：()()(),()()/()f xyf xf yf xyf xf y 三、对数函数 如果baN（0a，1a），那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logaNb logbaaNNb（0a，1a，0N）v1.0 可编辑可修改 3 1对数的性质 logloglogaaaMNMN logloglogaaaMMNN loglognaaMnM（00MN，0a，1a）bmnbanamloglog（a,b 0 且均不为 1）2换底公式：logloglogmamNNa(a 0,a 1；0,1mm)常用的推论：（1）loglog1abba；1logloglogacbcba （2）loglogmnaanbbm（a、0b 且均不为 1）1logloglog1nmNNNaaamnnm（3）01loga，1logaa（4）对数恒等式NaNalog 一、对数函数的图像及性质 函数logayx（0a，1a）叫做对数函数 对数函数的性质：定义域：(0,)；值域：R；过点(1,0)，即当1x 时，0y 当0a 时，在（0，）上是增函数；当01a时，在（0，）上是减函数 1oyx 4 二、对数函数与指数函数的关系 对数函数logayx与指数函数xya图像关于直线yx对称 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log,log()()f xbaaabf xbf xbf xa（定义法）()()()(),log()log()()()0f xg xaaaaf xg xf xg xf xg x（转化法）()()()log()logf xg xmmabf xag xb(取对数法)