2013高考真题理数湖南卷2397.pdf
梦想不会辜负一个努力的人 all试题-1-绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1ziii为虚数单位在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 3.在锐角中ABC，角,A B所对的边长分别为,a b.若2 sin3,aBbA则角 等于 A12 B6 C4 D3 4.若变量,x y满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是 A5-2 B0 C53 D52 5.函数 2lnf xx的图像与函数 245g xxx的图像的交点个数为 A3 B2 C1 D0 6.已知,a b是单位向量，0a b.若向量c满足1,cabc则的取值范围是 A2-1,2+1，B2-1,2+2，C1,2+1，D1,2+2，7已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 A1 B2 C2-12 D2+12 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-2-8.在等腰三角形ABC中，=4AB AC ，点P是边AB上异于,A B的一点，光线从点P出发，经,BC CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC的中心，则AP等于 A2 B1 C83 D43 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.（一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy中，若,3cos,:(t)C:2sinxtxlytay 为参数 过椭圆()为参数 的右顶点，则常数a的值为 .10.已知222,236,49a b cabcabc则的最小值为 .11.如图 2，在半径为7的O中,弦,2,AB CDP PAPB相交于点 1PDO，则圆心到弦CD的距离为 .（一）必做题（12-16 题）12.若209,Tx dxT则常数 的值为 .13.执行如图 3 所示的程序框图，如果输入1,2,aba则输出的 的值为 .14设12,F F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P 是 C 上一点，若216,PFPFa且12PF F的最小内角为30，则 C 的离心率为_。梦想不会辜负一个努力的人 all试题-3-15设nS为数列na的前 n 项和，1(1),2nnnnSanN 则（1）3a _；（2）12100SSS_。16设函数(),0,0.xxxf xabccacb其中（1）记 集 合(,),Ma b c a b ca不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则(,)a b cM所对应的()f x的零点的取值集合为_。（2）若,a b cABC是的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）,1,0;xf x ,xxxxRxabc 使不能构成一个三角形的三条边长；若 1,2,0.ABCxf x 为钝角三角形，则使 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）已知函数2()sin()cos().()2sin632xf xxxg x。（I）若是第一象限角，且3 3()5f。求()g的值；（II）求使()()f xg x成立的 x 的取值集合。18（本小题满分 12 分）某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。梦想不会辜负一个努力的人 all试题-4-19（本小题满分 12 分）如图 5，在直棱柱1111/ABCDABC DADBC中，190,1,3.BADACBD BCADAA（I）证明：1ACB D；（II）求直线111BCACD与平面所成角的正弦值。20（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路 径 成 为M到N的 一 条“L路 径”。如 图6所 示 的 路 径1231MM M M NMN N与路径都是 M 到 N 的“L 路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)ABC处。现计划在 x轴上方区域（包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。（I）写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。21（本小题满分 13 分）过抛物线2:2(0)E xpy p的焦点 F 作斜率分别为12,k k的两条不同的直线12,l l，且122kk，1lE与相交于点 A，B，2lE与相交于点 C，D。以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l。（I）若120,0kk，证明；22FM FNP；（II）若点 M 到直线l的距离的最小值为755，求抛物线 E 的方程。22（本小题满分 13 分）梦想不会辜负一个努力的人 all试题-5-已知0a，函数()2xafxxa。（I）记()0,4fxa在区间上的最大值为g(),求ag()的表达式；（II）是否存在a，使函数()yf x在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
