2022年《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点二次根式题型分类学问点一：二次根式的概念【学问要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义【典型例题】【例 1】以下各式 1）1, 25,32 x2, 44,512 ,61a,7a22a1,53其中是二次根式的是 _（填序号）举一反三：1、以下各式中,肯定是二次根式的是（）_个A、aB、10C、a1D、a212、在a 、2 a b 、x1、1x2、3 中是二次根式的个数有【例 2】如式子13有意义,就x 的取值范畴是x举一反三：1、使代数式x3有意义的 x 的取值范畴是（）D 、 x3 且 x4 第 1 页,共 14 页 x4A、x>3 x2B、x3 C、 x>4 2、使代数式2x1有意义的x 的取值范畴是细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、假如代数式m1名师总结优秀学问点P（m,n）的位置在（）有意义,那么,直角坐标系中点mnA、第一象限5+B、其次象限C、第三象限D、第四象限【例 3】如 y=x5x+2022 ,就 x+y= 举一反三：1、如x11xxy2,就 xy 的值为（）A 1 B1 C2 D3 3、当a取什么值时, 代数式2a11取值最小,2、如 x、y 都是实数,且y=2x332x4,求 xy 的值并求出这个最小值；x,小数部分为y,求已知 a 是5 整数部分, b 是5 的小数部分,如217的整数部分为求a12的值；a,小数部分是b,就x21的值 . yb如 7-3 的整数部分是3 ab；学问点二：二次根式的性质细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点【学问要点】1. 非负性：a a0 是一个非负数留意：此性质可作公式记住,后面根式运算中常常用到2. a2aa0 留意：此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aa 2a0 留意：（1）字母不肯定是正数3. a2| |a a0a a0 （2）能开得尽方的因式移到根号外时,必需用它的算术平方根代替（3）可移到根号内的因式,必需是非负因式,假如因式的值是负的,应把负号留在根号外4. 公式（1）（2） （3）a2| |a a0与 a2aa0 的区分与联系a a0a2 表示求一个数的平方的算术根,a 的范畴是一切实数a2 表示一个数的算术平方根的平方,a 的范畴是非负数a2 和 a2 的运算结果都是非负的【典型例题】【例 4】如a2b3c420,就abc举一反三：1、如my3n1 20,就 mn 的值为0,就xy；） 第 3 页,共 14 页 2、已知x,为实数,且x的值为（2213yB 3 C1 A3 D 1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、已知直角三角形两边名师总结优秀学问点. x、y 的长满意 x24y25y60,就第三边长为4、如ab1与a2b4互为相反数,就ab2005_；（公式a2aa0的运用）【例 5】 化简：a1a32的结果为（）A、42a B、0 C、2a4 D、4 举一反三：1、在实数范畴内分解因式: x23= aa0 ；4 m2 4 m4= x49_,x22 2x2_的应用）a2aa （公式a 0【例 6】已知x2,就化简2 x4x4的结果是D、 2xA、x2B、x2C、x2举一反三：1、根式 32的值是 D9 第 4 页,共 14 页 A-3 B3 或-3 C 3 2、已知 a<0 ,那么a22a 可化简为（）D 3a A a Ba C 3a 3、如2a3,就2a2a32等于（）A. 52aB. 12aC. 2 a5D. 2a1）4、如 a30,就化简a26a94a的结果是（A 1 B 1 C 2a 7 D 72a 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点ab+ ab 2的结果等5、化简4x24x12x32得（）（ A）2 （B）4x4（C） 2 （D） 4x4a22 a16、当 al 且 a0 时,化简a2a7、已知a0,化简求值：4a124a12aa【例 7】假如表示 a,b 两个实数的点在数轴上的位置如下列图,那么化简于（）bao10 1a2A 2b B2b C 2a D2a 举一反三：实数 a 在数轴上的位置如下列图：化简：a1 a2 2_）【例 8】化简1xx28x16的结果是 2x-5,就 x 的取值范畴是（）（ A）x 为任意实数（B）1x4 （C） x1 （D）x1 举一反三： 如代数式2a 2a42的值是常数 2 ,就 a 的取值范畴是（a4a2 2a4a2或a4【例 9】假如aa22a11,那么 a 的取值范畴是（）A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a1 举一反三：1、假如aa26a93成立,那么实数a 的取值范畴是（） 第 5 页,共 14 页 A a0 . B a3;C a3;D a3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点x3a111a；2、如x3 2x30,就 x 的取值范畴是（）（A）x3（B）x3（C）x3（ D）【例 10】化简二次根式aa22的结果是（）a2a（A）a2Ba2Ca2D1、把二次根式a1 化简,正确的结果是（a）D. A. aB. aC. a2、把根号外的因式移到根号内：当b 0 时,bx；ax学问点三：最简二次根式和同类二次根式【学问要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数,因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或 因式；分母中不含根号2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可 以合并的两个根式；【典型例题】【例 11】在根式 1 a2b2;2x;3x2xy;427abc ,最简二次根式是（）5A1 2 B3 4 C 1 3 D1 4 解题思路：把握最简二次根式的条件；举一反三：1、45 a,30,21,40b2,54,17 a2b2中的最简二次根式是3C1D； 第 6 页,共 14 页 22、以下根式中,不是最简二次根式的是（）A7B22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、以下根式不是最简二次根式的是1 名师总结优秀学问点D.0.1y C.2 b4A.a21B.2x4、以下各式中哪些是最简二次根式,哪些不是？为什么？13 a2b23ab3x2y24abab 5568xy25、把以下各式化为最简二次根式：112245 a2b5 D. 13x2yx【例 12】以下根式中能与3 是合并的是 27C.2A.8B. 2举一反三：是1、以下各组根式中,是可以合并的根式是（）A、3 和18B、3 和1C、2 a b 和2 abD、a1 和a132 、 在 二 次 根 式 ： 12 ； 23； 2 ； 327 中 , 能 与3 合 并 的 二 次 根 式；3、假如最简二次根式3a8与172 a能够合并为一个二次根式, 就 a=_. 学问点四：二次根式运算分母有理化【学问要点】1分母有理化 定义： 把分母中的根号化去,叫做分母有理化；2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式；有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa 来确定,如：a与a,ab与ab,ab与ab等分细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 14 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点别互为有理化因式； 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 ； 如 ab 与 ab ,ab与ab,axby 与axby分别互为有理化因式；3分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；最终结果必需化成最简二次根式或有理式；【典型例题】【例 13】 把以下各式分母有理化（1）1（2）4 3（3）1 21（4）13483 712550【例 14】把以下各式分母有理化（1）2x（2）2b（3）x8（4）2 a5 b83 x ya3 x2 ba5【例 15】把以下各式分母有理化：（1）221（2）53（3）3 3533 22 3举一反三：1、已知x23,y23,求以下各式的值： （1）x xy（2）x23xyy2 第 8 页,共 14 页 2323y细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点2、把以下各式分母有理化：（1）abbab（2）a2a2（3）ba2b 2aa2a2ba2b 2小结： 一般常见的互为有理化因式有如下几类：与与；与与；学问点五：二次根式运算二次根式的乘除【学问要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积；ab =a ·b （a0, b0）2二次根式的乘法法就：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根；a ·b ab （a0,b0）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a=a（a0,b>0 ）bb4二次根式的除法法就：两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a=a（a0,b>0 ）名师总结优秀学问点bb留意 ：乘、除法的运算法就要敏捷运用,在实际运算中常常从等式的右边变形至等式的左边,同时仍要考虑字母的取值范畴,最终把运算结果化成最简二次根式【典型例题】【例 16】化简19 16216813 521542 29x yx0 y0 5 1×623（4 ）2【例 17 】运算（ 1）（6）（ 2）（ 3）（7）（5）（ 8）【例 18】化简：1322 64 ba0 ,b0 39xx0,y045x2x0,y0649 a264y2169y【例 19】运算： 112 3231311（4）64 828416【例 20】能使等式2xxxx2成立的的 x 的取值范畴是（） 第 10 页,共 14 页 2xB、0C、0x2D、无解A、x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点学问点六：二次根式运算二次根式的加减【学问要点】需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减,被开方数不变；留意：对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数【典型例题】【例 20】运算（ 1）753217512 0.531 27； （2）101 52320543245；23457（3）3211314；（4）1 2631 3272834821478532247【例 21】 （1）3xyx4y2 xy2（2）abbabb4x4yaa细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）127a3a233aaa108名师总结优秀学问点4 bab1a（ 4）a1 a3a342b（5）81 a 35 a a34 a5（6）xyxyyx2ayxxy学问点七：二次根式运算二次根式的混合运算与求值【学问要点】1 、确定运算次序；2 、敏捷运用运算定律；3 、正确使用乘法公式；4 、大多数分母有理化要准时；5 、在有些简便运算中或许可以约分,不要盲目有理化；【典型习题】1、2 bab53a3b3b2、2212 +41 348 第 12 页,共 14 页 2a2 8细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、12 x y ·（-4y2）÷1 62 x y名师总结4、优秀学问点223376723x学问点八：根式比较大小【学问要点】1、根式变形法当a0,b0时,假如 ab ,就ab ；假如 ab ,就ab ；b ；2、平方法当a0,b0时,假如a22 b ,就 ab ；假如a22 b ,就 a3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较；4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较；5、倒数法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点bab ；aba0bab6、媒介传递法适当挑选介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较；7、作差比较法 在对两数比较大小时,常常运用如下性质：ab08、求商比较法 它运用如下性质：当a>0 ,b>0 时,就：a1a；a1bb【典型例题】【例 22】 比较 3 5 与 5 3 的大小；（用两种方法解答）【例 23】比较21与11的大小；32【例 24】比较1514 与1413 的大小；【例 25】比较76 与65 的大小；【例 26】比较73 与873 的大小细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 14 页 - - - - - - - - -