2022年不等关系与不等式经典教案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载不等关系与不等式【学习目标】1明白不等式 组的实际背景2把握比较两个实数大小的方法3把握不等式的八条性质【学法指导】1不等关系广泛存在于现实生活中,应用不等式 组 表示不等关系实质是将“ 自然语言” 或“ 图形语言”转化成“ 数学语言” ,是用不等式学问解决实际问题的第一步只需依据题意建立相应模型,把模型中的量详细化即可2作差法是比较两个数 或式 大小的重要方法之一,可简洁概括为“ 三步一结论” ,其中关键步骤“ 变形” 要完全,当不能“ 定号” 时留意分类争论3不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据,应用时每步都要做到等价变形一、学问温故1不等式中文字语言与数学符号之间的转换大于小于大于小于至多至少不少于不多于等于等于2关于实数a、b 大小的比较：bc；ab0.；ab0.；ab0. 3常用的不等式的基本性质1a>b. ba对称性 ；2a>b,b>c. ac传递性 ；3a>b. acbc可加性 ；4a>b,c>0. acbc；a>b,c<0. ac5a>b,c>d. acbd；6a>b>0, c>d>0. acbd；n 7a>b>0, nN,n2. ab n；8a>b>0, nN,n2.n an b.二、经典范例问题探究一实数比较大小a 与 b,右边的点表示的数比左 a,b 之间具有以下性质： 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 问题 1实数比较大小的依据 在数轴上不同的点A 与点 B 分别表示两个不同的实数边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载假如 ab 是正数,那么；假如 ab 是负数,那么；假如 ab 等于零,那么 . 以上结论反过来也成立,即ab0. ab；ab0. ab；ab0. ab. 问题 2 作差法比较实数的大小 向一杯 a 克糖水中加入 m 克糖,糖水变得更甜了 你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论问题探究二 不等式的基本性质问题 3 在实数大小比较的基础上,可以给出不等式八条基本性质的严格证明证明时,可以利用前面的性质推证后续的性质请同学们借助前面的性质证明性质 6：假如 ab0,cd0,那么 acbd. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载问题 4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够,其实不等式的基本性质是不等式变形证明不等式和求解不等式 的重要依据请同学们解下面这个简洁的一元一次不等式,体会并证明不等式基本性质的应用解不等式：1 6x3 4<2 3x 1 12. 应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另小结1当问题中同时满意几个不等关系时,外如问题有几个变量,就选用几个字母分别表示这些变量即可2解决这类有多个不等关系的问题时,要留意依据题设将全部不等关系都找出来3如有表格、图象等,读懂表格,图象对解决这类问题很关键变式练习 1：某用户方案购买单价分别为60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500 元,依据需要,软件至少买3 片,磁盘至少买2 盒问：软件数与磁盘数应满意什么条件？变式练习 2：已知 x1,试比较 x 31 与 2x 22x 的大小小结 作差后变形是比较大小的关键一环,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判定符号的因式积的形式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载变式练习 3：1比较 a3a5与a2a4的大小；2设 x, y,zR,比较 5x 2y 2z 2 与 2xy4x2z 2 的大小变式练习 4：已知 a、b、c 为实数,判定以下各命题的真假1如 a>b,就 ac<bc；小结2如 ac 2>bc2,就 a>b；3如 a<b<0,就 a 2>ab>b2；4如 c>a>b>0,就a ca>b cb；5如 a>b,1 a>1,就 a>0, b<0. 在不等式的各性质中,乘法的性质极易出错,即在不等式两边同乘或除以一个数时,必需要确定该数是正数、负数或零,否就结论就不确定变式练习 5:判定以下各命题是否正确,并说明理由1如c a<c b且 c>0,就 a>b；2如 a>b>0 且 c>d>0,就a d> b c；3如 a>b,ab 0,就1 a<1 b；4如 a>b,c>d,就 ac>bd. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载三、过关测试一、挑选题1如 a, b,cR,a>b,就以下不等式成立的是 A. 1a< 1b B a 2>b 2a bC. c 21> c 21 Da|c|>b|c| 2已知 a<0,b<1,就以下不等式成立的是 a a a aA a> b> b 2 B. b 2> b>aa a a aC. b>a> b 2 D. b> b 2>a3已知 a、 b 为非零实数,且 a<b,就以下命题成立的是 A a 2<b 2Ba 2b<ab 2C. 1 ab 2< 1 a 2b D.b a<a1,4如 xe 1, aln x,b2ln x,cln 3x,就 A a<b<c Bc<a<bC b<a<c Db<c<a5设 a, bR,如 a|b|>0,就以下不等式中正确选项 A ba>0 Ba 3b 3<0 C a 2b 2<0 Dba>0 6如 a>b>c 且 abc 0,就以下不等式中正确选项 A ab>ac Bac>bcC a|b|>c|b| Da 2>b 2>c 2二、填空题7如 1 a5, 1b 2,就 ab 的取值范畴为 _8如 fx 3x 2x1, gx 2x 2x1,就 fx与 gx的大小关系是 _9如 xR,就 1x x 2与1 2的大小关系为 _10设 n>1,nN,Ann1,Bn1n,就 A 与 B 的大小关系为 _三、解答题11设 a>b>0,试比较 aa 2b2b 22与abab 的大小12设 fx1logx3,gx2log x2,其中 x0 且 x 1,试比较 fx与 gx的大小细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载才能提升13如 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1a2b1b21,就以下代数式中值最大的是 A a1b1a2b2Ba1a2b1b21 C a1b2 a2b1 D. 214设 x,y,zR,试比较 5x 2y 2z 2 与 2xy4x2z2 的大小四、课后练习一、挑选题1如 a,b,cR, a>b,就以下不等式成立的是 A.1 a<1Ba 2>b 2 C. ca 21>cb 21Da|c|>b|c| 2已知 a、b 为非零实数,且a<b,就以下命题成立的是Aa2<b 2Ba 2b<ab2 1 C. ab2<1 a 2bD.b a<ab3如 xe1,1,aln x,b 2ln x,c ln3x,就Aa<b<cBc<a<b Cb<a<cDb<c<a4如 a>0 且 a 1,M logaa 31,Nlogaa21,就 M,N 的大小关系为 AM<NBMNCM>NDMN5如 a>b>c 且 ab c0,就以下不等式中正确选项Aab>acBac>bcCa|b|>c|b| Da2>b 2>c2 二、填空题6如 1a5, 1 b2,就 ab 的取值范畴是 _7如 xR,就 1x x 2与1 2的大小关系为 _8设 n>1,nN,Ann1,Bn1n,就 A 与 B 的大小关系为 _三、解答题9比较 x 61 与 x 4x 2的大小,其中 xR. 10设 a>b>0,试比较 a a 2b2b 22与a b a b的大小11.已知 12<a<60,15<b<36,求 ab 及a b 的取值范畴四、探究与拓展12设 fx1 logx3,gx2log x2,其中 x0 且 x 1,试比较 fx与 gx的大小细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载部分参考答案：问题 2：设原先 a 克糖水中含糖b 克,加入 m 克糖后,糖水浓度变大了,用不等式表示为b a<bm a m其中 a,b,m 均为正数,且a>b证明如下：amb aabmbammab aam,又 a,b,m均为正数且a>b, ab>0,m a b>0 ,a am>0 ,mab >0. aam因此,bm am >b a,也就是糖水浓度更大了,糖水变得更甜了问题 3：证明1 6xab0 c0. acbc012,不等式方向不转变. acbd.问题 4： 解cd0 b0. bcbd03 4<2 3x1 12. 2x9<8x1 不等式两边都乘以. 2x<8x10 不等式两边都加上91 10,不等式方向转变 . 10x<10 不等式两边都加上8x . x>1 不等式两边都乘以60x 70y500,变式练习 1：设软件数为x,磁盘数为y,依据题意可得x3且xN,y2且yN.变式练习 2： x31 2 x 2 2x:23 40,x1 0, x1 x1 223 4 0, x 3 12x 22x. x 3 2x 22x1 x3x 2 x22x 1 x 2 x1 x12 x1 x 2 x1 x1 x1 223 4 , x1 2细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载变式练习 3：解 1a3a5a2 a 4 a 22a15 a 22a8 7<0. a3 a5< a2 a4 25x 2y 2z 22xy 4x2z2 4x 24x1x 22xyy 2z 22z1 2 x1 2 xy 2 z1 20,5x 2y 2z 22xy4x2z2,当且仅当 xy1 2且 z1 时取等号变式练习 4：解 1c 是正、负或为零未知,因而缺少判定 ac 与 bc 的大小依据,故该命题为假命题2 由 ac 2>bc 2知 c 0, c 2>0, a>b,故该命题为真命题a<b a<b3 . a 2>ab；又 . ab>b 2, a 2>ab>b 2,故该命题为真命题a<0 b<04 a>b>0, a<b, ca<cb,又 c>a>b>0,1 ca cb >0,1 1 1 a b在 ca<cb 两边同乘 ca cb,得 ca> c b>0,又 a>b>0,ca> c b. 故该命题为真命题1 1 1 1 ba5 由已知条件知 a>b. ab>0,又 a> b. ab>0. ab>0, ab>0, ba<0, ab<0.又 a>b,a>0,b<0,故该命题为真命题变式练习 5：解1a<c b.1 1a< b,但推不出a>b,故 1 错c>02a>b>0.a d>b c>0.a d> b c成立,故 2 对c>d>0过关测试：3 错例如,当 a1, b 1 时,不成立4错例如,当 ac1,b d 2 时,不成立1、答案 C 解析 对 A,如 a>0>b,就1 a>0,1 b<0,此时 1 a>1 b,A 不成立；对 B,如 a1,b 2,就 a 2<b 2,B 不成立；对 C,c 21 1,且 a>b,a> b恒成立, C 正确；c 21 c 21对 D,当 c0 时, a|c|b|c|,D 不成立细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、答案D 优秀教案欢迎下载解析 取 a 2,b 2,就a b 1, a 22,a b> b a2>a. 3、答案 C 解析 对于 A,当 a<0,b<0 时, a 2<b 2 不成立；对于 B,当 a<0,b>0 时, a 2b>0,ab 2<0,a 2b<ab 2 不成立；1 1 1对于 C,a<b,a 2b 2>0,ab 2< a 2b；对于 D,当 a 1,b1 时,b aa b 1. 4、答案 C 解析1 e<x<1,1<ln x<0.令 tln x,就 1<t<0. abt2t t>0,a>b.ca t 3ttt 21tt 1t1,又1<t<0,0<t1<1, 2<t1<1,ca>0,c>a.c>a>b. 5、答案 D 解析 由 a>|b|得 a<b<a,ab>0,且 ab>0.ba<0,A 错, D 对可取特值,如 a 2,b 1,a 3b 37>0,故 B 错而 a 2b 2a ba b>0 ,C 错6、答案 A 解析 由 a>b>c 及 abc 0 知 a>0,c<0,又a>0,b>c,ab>ac.应选 A. 7、答案 1,6解析1b2,2 b1,又 1a5,1ab6. 8、答案 fx>gx解析fxgxx 22x2x1 21>0,fx>gx2 29、答案1 x x 21 2解析x1x 21 22x1x2 1x 2 x12 1x 2 0,1x x 21 2. 10、答案 A>B 解析 A1,B1. nn 1 n1n nn1< n1n,并且都为正数, A>B. 11、解 方法一 作差法a 2b 2a b ab a 2b 2 ab a 2b 2ab ab 2 a 2b 2 2ab a ba 2b 2a ba 2b 2 aba 2 b 2 abab a 2b 2a>b>0,ab>0,ab>0,2ab>0. 2ab aba 2 b 22>0,a 2b 2>ab . ab2 aba 2b 2a2ba 2b 22ab212aba 2ba 2 b 22>1.a 2 b 2>ab . abab a 2b方法二作商法a2b 2a 2 b 2a>b>0,a 2 b 2>0,a b a 2b 2>0.a b a ba b12、解3x fxgx1logx32log x2log x 4, 第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - 当0x1,或x1,即 1x4 3x3时, log x 40,fxgx；3x 41,03x 41,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当3x 41,即 x4 3时, logx优秀教案欢迎下载3x 40,即 fxgx；当0x1,或x1,即 0x1,或 x4 3时, log x3x 40,即 fxgx4 3时, f x 03x 4 1,3x 4 1,综上所述,当1x4 3时, f x g x ；当 x4 3时, f x g x ；当 0x1,或 xg x 13、答案 A 解析 方法一 特别值法令 a11 4,a23 4,b11 4, b23 4,就 a1b1a2b210 165 8,a1a2b1b2 6 163 8,a1b2a2b16 163 8,5 8>1 2>3 8,最大的数应是 a1b1a2b2. 方法二 作差法a1 a21b1b2 且 0<a1<a2,0<b1<b2,a21 a1>a1,b21b1>b1,1 10<a1< 2,0<b1< 2.又 a1b1a2b2a1b11a11b12a1b11 a1b1,2 2a1a2b1b2a11a1b11b1a1b1a 1b 1,2 2a1b2a2b1a11b1b11a1a1b12a1b1,a1b2a2b1a1a2b1b2a 1b 12a1b1a1b1 20,a1b2a2b1a1a2b1b2. a1b1a2b2a1b2a2b14a1b112a12b11 2a12b12a112a112b11 4 a11 2b11 2 >0,a1b1a2b2>a1b2 a2b1. 2xy 2a1b1a2b21 22a1b11 2a1b1b12a111 22a1 1 2a11 b1122 a11b12 >0,a1b1a2b2>1 2. 2综上可知,最大的数应为a1b1 a2b2. 14、解5x 2y 2z 22xy4x2z2 4x24x1x22xyy2z 22z12x1 z120,5x2y2z 22xy4x2z2,当且仅当xy1 2且 z1 时取到等号课后练习答案：1C2.C3.C4.C5.A 第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - 6 1,67. x1x21 28.A>B9解x61x4 x 2x 6x 4x21 x4x2 1 x21x 2 1x 41 x 2 12x210. 当 x±1 时, x61x 4x 2；当 x ±1 时, x 61>x4x2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载综上所述, x 61 x 4 x 2,当且仅当 x±1 时取等号10解方法一作差法2a 2b 2a 2b 2ab ababa2b2aba2ba2b2abab ab 2a2b2a 2b2ab2abab2. aba2ba>b>0,ab>0,ab>0,2ab>0. 2abab a 2b 2a baba 2b 2 >0,a 2b 2>a b . 方法二 作商法a 2b 2aba>b>0,a 2b 2>0,ab >0. a 2b 2a 2b 2ab 2a 2b 22ababa 2b 2a 2b 2ab2ab a 2b 2a b1a 2 b 2>1.a 2b 2>a b . 11 解15<b<36, 36< b<15. 1236<a b<6015,24<ab<45. 又1 36<1 b< 1 15,12 36<a b<60 15,3x 4,1 3<a b<4. 24<ab<45,1 3<a b<4. 12解fxgx1log x32log x2logx0x1,x1,当3x 41,或03x 41,即 1x4 3x3时, log x 40,fx gx；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当3x 41,即 x4 3时, logx3x 40,优秀教案欢迎下载即 fxgx；0x1,x1,当 3x 或 3x04 1,4 1,即 0x1,或 x4 3时, log x 3x40,即 fxgx综上所述,当1 x4 3时, fxgx； 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - - 当 x4 3时, fxgx；当 0x1,或 x4 3时, fxgx细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -