2022年七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点+习题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点整 式 的 乘 除 与 因 式 分 解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数；2a2bc的 系数为,次数为,单独的一个非零数的次数是；2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式；多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数；a22abx1,项有,二次项为次项式；,一次项为,常数项为,各项,系数分别为,叫次数分别为3、整式： 单项式和多项式统称整式；4、多项式按字母的升（降）幂排列：x32x2y2xy2y31留意 ：凡分母含有字母代数式都不是整式；也不是单项式和多项式；按 x 的升幂排列：amanam n（m,n按 y 的升幂排列：按 x 的降幂排列：按 y 的降幂排列：5、同底数幂的乘法法就：都是正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加；留意底数可以是多项式或单项式；例 1.如 2 a 2 64,就 a= ；如 27 3 n 3 8,就 n= . 例 2.如 5 2x 1 125,就 x 2 2022 x的值为；例 3 .设 4 x=8 y-1,且 9 y=27 x-1,就 x-y 等于；m n mn6、幂的乘方法就： a a（m, n 都是正整数）5 2 10幂的乘方,底数不变,指数相乘；如： 3 3mn m n n m幂的乘方法就可以逆用：即 a a a 6 2 3 3 2如：4 4 4 n n n7、积的乘方法就： ab a b（ n 是正整数）积的乘方,等于各因数乘方的积；3 2 5（2 x y z = 8、同底数幂的除法法就：a m a n a m n（a 0 , m , n 都是正整数,且 m n 4 3 3 3同底数幂相除,底数不变,指数相减；如： ab ab ab a b9、零指数和负指数；0a 1,即任何不等于零的数的零次方等于 1；p 1a p（a 0 , p 是正整数）,即一个不等于零的数的 p 次方等于这个数的 p 次方的倒数；a3 1 3 1如：2 2 810、单项式的乘法法就：单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式；留意： 积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再运算肯定值；相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法就；只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法就对于三个以上的单项式相乘同样适用；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式；如：2 x 2 y 3 z 3 xy11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即 m a b c ma mb mc m , a , b , c 都是单项式 留意 ：积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同；运算时要留意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时,要留意运算次序,结果有同类项的要合并同类项；如：2x2x3y3y xy = : 12、多项式与多项式相乘的法就多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加；如： 3 a 2 b a 3 13、单项式的除法法就：单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式；如：7 a 2 b 4 m 49 a 2 b = 14、多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加；即： ambmcmmammbmmcmmabc2÷ （ a 22abb 2） 2ab例 1.（ a1b）（2a1b）（3a21b2）；例 2. （a b）（a b）6312例 3.已知 x2x10,求 x 32x23 的值15、平方差公式 ：ababa2b2留意平方差公式绽开只有两项如：xyzxyz= b2ab24ab 第 2 页,共 6 页 16、完全平方公式：ab2a22abb2a2b2ab22abab22 abaab2ab2ab2ab 2ab2ab2完全平方公式的口诀：首平方,尾平方,加上首尾乘积的22 倍；2 ac2 bc 17、三项式的完全平方公式：abc 2a2bc22ab例 1.利用平方差公式运算：20072200720062022细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 2.广场内有一块边长为名师总结优秀学问点3 米,东西方向要加长3 米,2a 米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短就改造后的长方形草坪的面积是多少？例 3.（ 1）x12,求x21的值；（ 2）xy216,xy24,求 xy 的值；xx218、因式分解： 常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法 A.提公因式法： 式子中有公因式时,先提公因式；例 1.把 2 ax 10 ay 5 by bx 分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列, 然后从两组分别提出公因式 2a 与 b ,这时另一个因式正好都是 x 5 y ,这样可以连续提取公因式解： 2 ax 10 ay 5 by bx说明： 用分组分解法,肯定要想想分组后能否连续完成因式分解,由此合理挑选分组的方法此题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试例 2.把ab c2d2a2b2cd 分解因式分析： 依据原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式解：ab c2d2a2b2cd = 说明： 由例 2、例 1 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了安排律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用；B. 公式法： 依据平方差和完全平方公式分解因式9x225y2x26x16C.配方法： 分解因式说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解当然,此题仍有其它方法,请大家试验D.十字相乘法：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）x2pq xpq 型的因式分解名师总结优秀学问点这类式子在很多问题中常常显现,其特点是：1 二次项系数是1；2 常数项是两个数之积；3 一次项系数是常数项的两个因数之和x2pq xpqx2pxqxpqx xpq xpxpxq 因此,2 xpq xpqxpxq运用这个公式,可以把某些二次项系数为 例 1.把以下各式因式分解：1 的二次三项式分解因式1 x27x62 x213x36说明： 此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同例 2.把以下各式因式分解：1 x25x242 x22x15说明： 此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中肯定值较大的因数与一次项系数的符号相同例 3.把以下各式因式分解：1 x2xy6y262 x2x28x2x 12y ,把2 6y 分解成 3y分析： 1 把x2xy2 y 看成 x 的二次三项式,这常常数项是2 6y ,一次项系数是与 2 y 的积,而 3 y 2 y ,正好是一次项系数2 22 由换元思想, 只要把 x x 整体看作一个字母 a ,可不必写出, 只当作分解二次三项式 a 8 a 122（2）一般二次三项式 ax bx c 型的因式分解2大家知道, a x c 1 a x c 2 a a x a c 2 a c x c c 2反过来,就得到：a a x a c 2 a c 1 x c c 2 a x c 1 a x c 2 我们发觉,二次项系数 a 分解成 a a ,常数项 c 分解成 c c ,把 a a 2 , c c 写成 a 1 c 1,这里按斜线交叉相a 2 c 22 2乘,再相加,就得到 a c 2 a c ,假如它正好等于 ax bx c 的一次项系数 b ,那么 ax bx c 就可以分解成 a x c 1 a x c 2 ,其中 a c 位于上一行,a 2 , c 位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做 十字相乘法 细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点例 4.把以下各式因式分解：1 12x25x22 5x26xy8y2说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难,详细分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,如原常数为负数,用减法”凑” ,看是否符合一次项系数,否就用加法”凑” ,先 ”凑”肯定值,然后调整,添加正、负号提高练习1（2x 24x10xy）÷（）1x 15y2 22如 xy8,x 2y 24,就 x 2y 2_3代数式 4x 23mx9 是完全平方式 ,就 m_ ；4.220221.52022_ 35. 如a2b22 b10,就2 a b2 ab = ；6. （ a1）（a1）（a21）=56cm；2 ,原先正方形的边长为4cm ,面积就增加7. 一个正方形的边长增加8（3+1）（ 3 2+1）（34+1） （32022+1）34016= ；29（1）（x 3y） 2（4x 3y） 2 4（ 2）（x 22x1）（x22x1）；10求（ 11 ）（12 21 ）（12 31 ） （12 41 ）（12 911）的值2 011已知 x1 2,求 x 2x1,x41的值x2x412已知（ a1）（ b2） a（b3） 3,求代数式a22b2ab 的值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13如（ x2pxq）（x22x3）绽开后不含名师总结优秀学问点x2,x3项,求 p、 q 的值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -