2022年三年级奥数-周长.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载第六讲 几何问题（一）学问点拨基本概念 周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长面积：物体的表面或封闭图形的大小,叫做它们的面积基本公式：长方形的周长2长宽,面积长宽边长正方形的周长4边长,正方形的面积边长常用方法：对于基本的长方形和正方形图形,可以直接用公式求出它们的周长和面积,对于一些不规章的比较复杂的几何图形,我们可以采纳转化的数学思想方法割补成基本图形,利用长方形、正方形周长及面积运算的公式求解转化是一种重要的数学思想方法：在转化过程中要抓住“ 变” 与“不变 ”两个部分转化后的图形虽然外形变了,但其周长和面积不应当转变,所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形寻求正确有效的解题思路：意味着查找一条摆脱困境、绕过障碍的途径因此,我们在解决数学问题时,摸索的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题也就是说,在直接求解不简洁或很难找到解题途径的问题时,我们往往转化问题的形式,从侧面或反面查找突破口,知道最终把它转化成一个或如干个能解决的问题这种解决问题的思想在数学中叫“化归 ”,它是数学思维中重要的思想和方法原有图形结构对称新的图形结构旋转平移细心整理归纳 精选学习资料 在原有图形结构中在新的图形结构中 第 1 页,共 10 页 解决问题较困难解决问题较简洁 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载在几何中,有很多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的这样的图形我们称为不规章图形不规就图形的面积往往无法直接应用公式运算那么,不规章图形的面积怎样去运算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段平移： 在平面图形的运算中,经常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行运算其中,将 图形沿一个固定方向的移动叫做平移,一个图形经过平行移动不转变其外形与大小,所以图形面积是 保持不变的利用图形的平移,可以使面积运算问题的解法简捷明快,颇有新意割补： 割补法在我国古代叫“ 出入相补原理”,我国古代魏晋时期闻名的数学家刘徽在九章算术注“出入相补,各从其类” 的出入相补原理这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、中就明确地提出 补所拼凑成的新图形,它的面积不变对称： 平面图形中有很多简洁美丽的图形都是轴对称图形轴对称图形沿对称轴折叠,轴两侧可以完 全重合也就是说,假如一个图形是轴对称图形,那么对称轴平分这个图形的面积熟识轴对称图形 这个性质,对面积运算会有很大帮忙代换： 在几何运算中,对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧本讲主要通过求一些不规章图形的周长,体会一种转化思想,重点在于把不规章图形转化为规章图形 的方法,包括平移、割补、差不变原理,通过这些方法的学习,让同学体会求周长的技巧,提高同学 的观看才能、动手操作才能、综合运用才能例题精讲【例 1】下图表示一块地,四周都用篱笆围起来,转弯处都是直角已知西边篱笆长D17 米,南边篱笆长 23米四周篱笆长多少米？北A北西17东西17C东B2323南南【解析】 由于这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角,可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段 AD ,将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段BD ,就折线 ACB 的长等于折线ADB 的长所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等列式为：四周篱笆长为：（23 17）280米 分米【巩固】 期望杯培训题 右图的周长是7 分 米6分米【解析】 把那些与水平方向平行的小线段都” 放” 下来,恰好与底边一样；把竖直方向的小线段都依次”贴到 ”左边,恰好贴满左边,因此多有的短横线的长的和为7 分米,图形的周长为（67）226分米 6分米,全部的短竖线的长的和为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【巩固】 运算右边图形的周长学习必备欢迎下载单位：厘米 ；1015【解析】 要求这个图形的周长,好像不行能,由于缺少条件；但是,我们认真观看这个图形,发觉它的每一个角都是直角,所以,我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处 见右下图 ,这样正好移补成一个长方形；求长方形的周长就易如反掌了；所以图形的周长是： 1015250厘米 ；【例 2】下图中标出的数表示每边长,单位是厘米它的周长是多少厘米？【解析】 平移转化为求长方形的周长,长方形的长5+6=11厘米 ,宽 1+3=4厘米 ,周长 11+4 ×2=30厘米,5+6+1+32=30厘米 ,它的周长是30 厘米【巩固】 如下图是某校的平面图,老师每天早晨绕学校跑已知线段 a120 米,b130 米,c70 米,d60 米,l250 米杨3 圈,问每天跑多少米？【解析】 平移法转化为长方形再求120130+6070+250 ×2× 33780米【巩固】 图、图都是由完全相同的正方形拼成的,并且图的周长是 22厘米,那么图的周长是多少厘米？1 2【解析】 图 的周长是小正方形边长的12倍,图 的周长是小正方形边长的18倍,因此,图 的周长为 22 12 1833厘米【例 3】下图的小正方形边长为【解析】 28 厘米1 厘米这个图形的外沿的周长是多少厘米？【例 4】一 个周长是 细心整理归纳 精选学习资料 20 厘米的正方形,剪下一个周长是6 厘米的正方形,剩下的图形的周长 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -是学习必备欢迎下载20 厘米的正方形的边长为写出全部可能的结果 【解析】 周 长为6 厘米的正方形的边长为：641.5 厘米 ,周长为2045 厘米 ,在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情形：图 1图 2对于图 1 的周长,与原先正方形的周长相等,为20 厘米；图2 的周长,观看可以发觉,比原来正方形的周长多了两条小正方形的边,即为：201.5 223厘米 【巩固】 求右图的周长【解析】 140 厘米【例 5】求下图的周长 【解析】 通 过 平 移 转 化 为 右 上 图 , 周 长 等 于 大 长 方 形 周 长 加 上AB 、 CD的 长 , 即 有 周 长 为50+35 ×2+10×2=190厘米 【例 6】第七届 ” 小机警杯 ” 数学竞赛初赛 下面两张图中,周长较大的是在横线上填写表示图名的字母 A10B14 14【解析】 通过平移比较发觉 B 比 A 多两小段边,得 第 题 B 的周长较大【巩固】 如下图,正方形操场边长100 米,一只蚂蚁沿甲地走了一圈,另一只蚂蚁沿乙地走了一圈,细心整理归纳 精选学习资料 谁走的路长？它们各走了多少米？ 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【解析】 我 们 分 别 求 甲 、 乙 的 周 长 甲 的 周 长 可 转 化 为 长 方 形 周 长 如 图 , 即 为100+50+30×2=360米再求乙的周长乙的周长等于长方形周长加上2 个 30 米,即为100+50 ×2+30×2=360 米所以它俩走的一样长【巩固】 求右图所示图形的周长单位：分米 505010【解析】 这道题最简洁的方法也是用平移法来解下面我们来看一个基本解法这是一个组合图形,由两个矩形组成, 不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长仔细观看图形可以发觉：右边矩形的右边边长可以移到左边,这样就可以使左边的矩形变得完整所以,这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的 2倍即：（50 10）2 50 2 220 分米 【例 7】如图是一个机器零件的侧面图,图中每一条最短线段长 5 厘米,这个零件高 30 厘米,求这个零件侧面的周长是多少厘米？【解析】 采 用 平 移 , 零 件 侧 面 的 周 长 等 于 长 方 形 周 长 加 上 内 部10条 最 短 线 段 长 , 即5 ×7+30 ×2+5×10=180 厘米 【例 8】下图是一面砖墙的平面图,每块砖长20 厘米,高 8 厘米,像图中那样一层、二层 一共摆十层,求摆好后这十层砖墙的周长是多少？【解析】 我们仍旧可以通过平移转化为长方形来求长方形的长是10 块砖的长度,即 20×10=200厘米 ,宽是 10 块砖的宽度,即8×10=80厘米 ,所以十层砖墙的周长是200+80 ×2=560厘米 【巩固】 把长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形砖块摆成如图的外形,求该图形的周长？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【解析】 66 厘米【例 9】右图是由 16个同样大小的正方形组成的,假如这个图形的面积是 400 平方厘米,那么它的周长是多少厘米？【解析】 考虑此类问题我们即可以局部分析,各个突破,也可以纵观全局整体摸索每个正方形的面积为 400 16 25平方厘米 ,所以每个正方形的边长是 5 厘米观看右图,这个图形的周长从上下方一直看是由 7 2 14条正方形的边组成,从左右方一直看是由4 2 3 4 20 条正方形的边组成,所以其周长为 5 14 5 20 170 厘米【巩固】 下图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成的“ 土” 字图形试求出其周长【解析】 周长是由 24 条 1 厘米的边长组成,所以周长 =1×24=24 厘米 【例 10】如下列图,一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形,各条线段长度见图单位：厘米求：图中全部长方形的周长之和【解析】 类似于上题,题目中所说的长方形,并不只包括最小的几个长方形,因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了多少次由于没从大长方形的长上找到一条线段,就能对应地找到大长方形内的一个长方形,所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题当然,要考虑到,每个长方形都有两条长和两条宽,因此运算过程中应当留意不要漏算先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论,每条边上长为 4、 3、1、2 的线段分别被运算了 4、6、6、4 次然后再考虑大长方形的宽：由于共有 4 3 2 1 10个长方形,所以长度为 2 的宽被运算了 10 2 20（次）故总周长可以用下式运算得到：2 4 4 3 6 1 6 2 4 2 20 136 （厘米）【铺垫】求图中全部线段的总长 单位：厘米 4 3 1 2A B C D E【解析】 要留意到,题目所求的是图中全部线段的总长,而图中的线段,并不仅仅是 AB 、 BC 、 CD 、DE 四段,仍包括 AC 、 BE 等等,因此不能简洁地将图中标示的线段长度进行求和同时应细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -该留意到,ACABBC43学习必备欢迎下载DE3 126,等等因此,为了运算；BEBCCD图中全部线段的总长,需要先运算AB 、BC、CD 、DE 这四条线段分别被累加了几次这里,可以依据每条线段分别是由几部分组成的加以争论：由 1 段组成的线段共有 4 条,即 AB 、BC、CD 、DE,而求和过程中 AB 、BC、CD 、DE 这四条线段各被累加了 1 次类似地考虑到,由 2 段组成的线段共有 3 条,求和过程中 AB、DE 各被累加了 1 次, BC、CD 各被累加了 2 次由 3 段组成的线段共有 2 条,求和过程中 AB 、 DE 各被累加了 1 次, BC、CD 各被累加了 2 次由 4 段组成的线段只有 AE,其中 AB 、BC、CD 、DE 各被运算了 1 次综上所述, AB 、DE 各被运算了 4 次, BC、CD 各被运算了 6 次因而图中全部线段的总长度为：4 4 2 6 3 1 48 厘米 【例 11】如图,正方形的边长为 4,被分割成如下 12个小长方形,求这 12个小长方形的全部周长之和【解析】 4 4 4 5 2 56 【巩固】（“期望杯 ” 第一试）如右图,正方形ABCD 的边长是 6 厘米,过正方形内的任意两点画直线,可把正方形分成9个小长方形；这9个小长方形的周长之和是多少厘米？ADBC【解析】 从总体考虑, 在求这 9个小长方形的周长之和时,AB 、 BC 、CD 、 DA 这四条边被用了 1次,其余四条虚线被用了 2 次,所以 9 个小长方形的周长之和是：6 4 6 2 4 72（厘米）；【例 12】边长是 15厘米的 3个正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是多少？【解析】 想一想,把几个正方形拼合在一起,拼出的长方形的周长与全部正方形的周长相差多少呢？由 3个大小相同正方形拼成一个长方形,只有一种拼法, 就是把三个正方形排成一排于是拼成的长方形的长是 15 3 45厘米,宽是 15 厘米所以长方形的周长是：长 宽 2（45 15）2 120 厘米 【巩固】 两个大小相同的正方形拼成了一个长方形,长方形的周长比原先的两个正方形周长的和削减了 6厘米,原先一个正方形的周长是多少厘米？【解析】 先想一想,削减的 6厘米相当于正方形的几条边的边长呢？把两个正方形拼成一个长方形时,拼成的长方形的周长比原先两个正方形的 8条边削减了 2条边如下列图 而这两条边的和正好是削减的6 厘米,所以,正方形的边长是623 厘米,原先一个正方形细心整理归纳 精选学习资料 的周长是 3 412厘米 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以原先一个正方形的周长是：6学习必备欢迎下载2412 厘米 【总结】 通过这个例题,可以看出,求组合图形及一些特别图形的周长与面积,肯定要认真观看,善于发觉其中内在的联系,找出未知与已知的关系,将问题转化,从而得到解决下面我们来学习几种求几何图形周长和面积的技巧【例 13】 2007年” 期望杯 ” 第一试 右图中的阴影部分BCGF 是正方形,线段FH 长 18厘米,线段 AC 长 24厘米,就长方形ADHE 的周长是厘米HEFGABCD【解析】 此题需要留意,长方形 ADHE 的宽应等于正方形 BCGF 的边长由于图中阴影部分 BCGF 是个正方形,其四条边的边长都相等,且等于长方形 ADHE 的宽 FH AC 的和应为长方形 ADHE 的长加上正方形 BCGF 的边长, 所以等于长方形 ADHE的长与宽之和所以长方形 ADHE 的周长为： 18 24 2 84 厘米【巩固】 如图,在长方形 ABCD 中, EFGH 是正方形已知 AF 10cm,HC 7cm,求长方形 ABCD的周长AEFBDHGC【解析】 通 过 观 察 发 现 A F H G是 长 方 形 的 长 与 宽 , 所 以 长 方 形 ABCD 的 周 长 是（1 0）2 cm 【例 14】如右图所示,在一个正方形内画中、小两个正方形,使三个正方形具有公共顶点,这样大正方形被分割成了正方形区域甲,和 的周长的 1.5 倍,丙的周长是乙的周长的L 形区域乙和丙甲的周长为 4 厘米,乙的边长是甲1.5 倍,那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？D甲丙CE乙JFIAGHB【解析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长 我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移,同样的,丙的周长也就是正方形 ABCD 的周长由于 AE 4 1.5 6,AD 6 1.5 9,所以丙的周长为 9 4 36厘米,EF AE AF 6 4 2 厘米 【例 15】用如干个边长都是 2 厘米的平行四边形与三角形 如右图 拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是 244 厘米,那么平行四边形和三角形各有多少个？【解析】 大平行四边形上、下两边的长为 244 2 2 2 120 厘米,观看上边,每 6 厘米有两个平行细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载四边形的边, 所以共有小平行四边形 120 6 2 40个,而三角形的数量与小平行四边形的数量相等,也是 40个【巩固】 用如干个边长都是 2厘米的平行四边形与三角形 如右图 拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是 236厘米,那么平行四边形和三角形各有多少个？【解析】 大平行四边形上、下两边的长为 236 2 2 2 116 厘米,观看上边,每 6 厘米有两个平行四边形的边,116 6 19 2 ,所以有三角形 19 2 38个,小平行四边形 38 1 39个【例 16】有 9 个小长方形, 它们的长和宽分别相等,用这 9 个小长方形拼成的大长方形 如图 的面积是 45平方厘米,求这个大长方形的周长【解析】 从图上可以知道,小长方形的长的 4 倍等于宽的 5 倍,所以长是宽的 5 4 1.25倍每个小长方形的面积为 45 9 5平方厘米, 所以1.25 宽 宽 5,所以宽为2厘米, 长为2.5厘米 大长方形的周长为 2.5 4 2 2.5 2 29 厘米【巩固】 右图的长方形被分割成 5 个正方形, 已知原长方形的面积为 120平方厘米, 求原长方形的长与宽【解析】 大正方形边长的 2 倍等于小正方形边长的 3倍,所以大正方形的边长是小正方形边长的 1.5倍,大 正 方 形 的 面 积 是 小 正 方 形 面 积 的 1.5 1.52.25 倍 , 所 以 小 正 方 形 面 积 为120 2.25 2 3 16 平方厘米,所以小正方形的边长为 4 厘米,大正方形的边长为 6 厘米,原长方形的长为 4 3 12厘米,宽为 4 6 10厘米【例 17】冯大叔给儿子做玩具用 8个一样大的小长方形拼图,拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形,图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是 2 cm 的正方形小洞求小长方形的长和宽？甲乙【解析】 由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽,由乙图可以看出,设小长方形的宽为 x cm ,就小长方形的长为 2 x 2 cm ,依据乙图小长方形的 3个长等于小长方形的 5 个宽,列方程得 5 x 32 x 2,解得 x 6,所以小长方形的长为 10 cm ,宽为 6 cm 【巩固】 用同样的长方形条砖,在一个盆的四周砌成一个正方形边框,如右图所示已知外面大正方形的周长是264 厘米,里面小正方形的面积是900 平方厘米,每块长方形条砖的长是_厘米,宽是 _厘米细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】 外面大正方形的边长为2644学习必备欢迎下载30厘米,从图中可以看出,66厘米,里面小正方形的边长为长方形的宽为6630218 厘米,长方形的长为6618224厘米课后作业练习 1. 下图是一个锯齿状的零件,每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米,求这个零件的周长【解析】 平移法,将锯齿状的零件转化成平行四边形,两组对边相等都等于 24 厘米 ,所以这个零件的周长是 24×2=48厘米 练习 2.右图是由七个长5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形求这个图形的周长？【解析】 平移法 3+5×3+3+5 ×2+6× 5-32=76 厘米 练习 3.如图, 每个小方格是一个正方形,假如该图总面积是52 个平方单位, 试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？【解析】 40 个长度单位练习 4.用一块长 8分米, 宽 4 分米的长方形纸板与两块边长4 分米的正方形纸板拼成一个正方形拼成的正方形的周长是多少分米？84【解析】 两块边长 4 分米的正方形纸可以拼成一个长8分米,宽 4分米的长方形纸板,与原有的一块8分米,宽 4分米的长方形纸板的面积一样大,而且这两个长方形两条宽的和正好等于一条长所以,拼法如下列图然后运用正方形的周长运算公式很简洁求出它的周长细心整理归纳 精选学习资料 拼成的正方形的周长是：8432分米 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -