2022年打印版高中数学必修四知识点3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 4 学问点第一章 三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角2、象限的角 ：在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做 轴线角 ；第一象限角的集合为k360ok360oo 90 ,kkk360,kZ 其次象限角的集合为k360o90ok360oo 180 ,第三象限角的集合为k360o180ok360oo 270 ,k第四象限角的集合为k360o270ok360oo 360 ,k终边在 x 轴上的角的集合为ko 180 ,k|终边在 y 轴上的角的集合为k180oo 90 ,kko 90 ,k终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角,连同角在内,都可以表示为集合4、弧度制：（ 1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制；半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是l r（ 2）度数与弧度数的换算：360o2,180 rad ,1 rad 18057 . 3057' 18注： 角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为o n ,弧度为；- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 角度化为弧度：nono180on,弧度化为角度：o 180180o180（ 3）如扇形的圆心角为（是角的弧度数） ,半径为 r ,就：xx弧长公式：ln（用度表示的）180,l|r（用弧度表示的）；扇形面积：s 扇nr2用度表示的S 扇1|r21lr（用弧度表示的）360225、三角函数 :y（ 1）定义 ：设是一个任意大小的角,的终边上任意一点Px,y 的坐标是,x y ,它与原点的距离是rOPrx2y20,o就 siny, cosx, tany x x0rr定义 ：设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,y那么 v 叫做 的正弦,记作sin ,即 sin y;u 叫做 的余Px,y弦,记作 cos,即 cos=x; 当 的终边不在y 轴上时,oy 叫做 的正切,记作 xtan, 即 tan=y . x（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正, S 正, T 正, C正；+ y + x _ y + x _ y + x 口诀：第一象限全为正；. _ O _ _ O + O _ + sincostan二正三切四余弦（3）特别角的三角函数值的角度030456090120135150180的弧度064322 33 456- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin01 22 23 213 22 21 20cos1321 201 22312222tan03不存在30331133的角度210225240270300315330360的弧度7543571124323466sin10233211222222cos30312112222222tan3不存在313 303 31（4）三角函数线：如下图（5）同角三角函数基本关系式（）平方关系：sin2cos21（）商数关系：tansincos6、三角函数的诱导公式：1 sin 2ksin, cos 2 kcos, tan 2 ktank口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等2 sinsin, coscos, tantan- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantantan5 sin 2sin, cos 2cos, tan 2口诀：函数名称不变,正负看象限6 sin2cos, cos2sin, tan22cot7 sin2cos, cos2sin, tancot口诀：正弦与余弦互换,正负看象限诱导公式记忆口诀：“ 奇变偶不变, 符号看象限” ；即将括号里面的角拆成k2的形式；7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函ysinxycosxytanx数图象定RRx xk2,k- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 义域值值域：1,1值域：1,1；值域： R域当x2k2k时,当x2kk时,既无最大值也无最小值y max1；当x2 kymax1；当x2k2k时,ymin1k时,ymin1周ysinx 是周期函数； 周期为ycosx 是周期函数；周期ytanx 是周期函数； 周期T2k,kZ 且k0；为T2k,kZ 且k0期 为Tk,kZ且性最小正周期为 2最小正周期为2k0；最小正周期为奇偶奇函数偶函数奇函数性在2 k2,2k2在k2,k2单在 2 k,2kk上k上是增函数；在调是增函数； 在 2 k,2k性2k2,2k3k上是减函数k上是增函数2k上是减函数对称中心k对对称中心对称中心k,0kk 2,0称对称轴xk2kk2,0kk性对称轴 xk无对称轴8、（ 1）ysinxb 的图象与ysinx图像的关系：A 倍图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原先的- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 振幅变换：ysinxyAsinx图象上每个点的横坐标变为原先的1倍,纵坐标不变b周期变换：ysinxysinx图象整体向左（0 ）或向右（0 ）平移个单位相位变换：ysinxysin x平移变换 ：yAsinx图象整体向上（b0）或向下（b0）ysinx平移 b 个单位注：函数ysinx的图象怎样变换得到函数yAsinxB的图象：（两种方法）先平移后伸缩：ysinx平移 | 个单位ysinx（左加右减）纵坐标不变ysinxB横坐标变为原先的|1| 倍Asinxy横坐标不变纵坐标变为原先的A 倍sinxyA平移 |B|个单位（上加下减）y先伸缩后平移：|1| 倍ysinxsinx纵坐标不变横坐标变为原先的平移个单位ysinx（左加右减）横坐标不变A 倍yAsinxB纵坐标变为原先的平移 |B|个单位yAsinx- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （上加下减）（2）函数yAsinxbA0,0 的性质：；相位：x；初相：振幅：；周期：2；频率：f12定义域： R值域：Ab Abxkk时,ymaxAb ；T2当x2k2当x2k2k时,yminAb 周期性：函数yAsin2bA0,0 是周期函数；周期为单调性：x在 2k,22k上时是增函数；x在2k2,2k3k上时是减函数k2对称性：对称中心为k,0k；对称轴为xk2其次章平面对量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示2、零向量：长度为0 的向量叫零向量,记作0 ；零向量的方向是任意的ea|3、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量 a 平行的单位向量：| a4、平行向量 （共线向量） ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作a /b；规定 0 与任何向量平行5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等 . 留意：任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关；- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相接平行四边形法就的特点：起点相同；r br c；r ar br 0r 0r ar ar aarCr buuuruuur C运算性质：r 交换律： ar br br a结合律：r ar br cr a,就r buuur Ca r坐 标 运算 ： 设x y 1x 2,y 2,a rr bx 1x 2,y 1y 27、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量坐标运算：设a rx y 1 1,r bx 1x 2,y 2,就,就a rr bx 1x 2,y 1y 2,y 1,x 2,y 2设、两点的坐标分别为uuurx 2x y 2y 18、向量数乘运算：实数与向量 ar的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作ar的方向相反；a ra r ；的方向与 ar当0时,ar的方向与 ar的方向相同；当0 时,ar当0 时,r ar 0r ar br ar b运算律：r ar a；r ar ar a；- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标运算：设r ax y,就r ax yx,y9、向量共线定理：向量,r ra ar 0r 与 b共线,当且仅当有唯独一个实数0r,使 br ar 0设r ax y 1r,bx 2r 0,就当且仅当x y2x y 1时,向量 arr r、b b,其中r by 2共线10、平面对量基本定理：假如ur 1e、uur 2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内作为的任意向量 ar,有且只有一对实数1、2,使a r1ur e 12uur e 2（不共线 的向量ur 1e、uur 2e这一平面内全部向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x y 1,x 2,y 2,当uuuruuur时,点的坐标是x 1x 2,y 1y 2121112、平面对量的数量积：r r r r r r r r o o定义：a b a b cos a 0, b 0,0 180零向量与任一向量的数量积为 0 性质： 设 ar和 b r都是非零向量, 就 a rb ra b r r0当 ar与 b r同向时, a b r ra b r r；当 ar 与 b r反向时, a b r ra b r r；a a r ra r 2a r 2或 a r a a r r a b r ra b r rr r r r r r r r r r r r r r r r r运算律： a b b a； a b a b a b； a b c a c b c坐标运算：设两个非零向量 a r x y 1 1,b rx 2 , y 2,就 a b r rx x 2 y y 2如 a rx y,就 a r 2x 2y 2,或 a rx 2y 2设 a r x y 1,b rx 2 , y 2,就 a r b rx x 2 y y 2 0设 ar、 b r都是非零向量,a r x y 1,b rx 2 , y 2,是 ar 与 b r的夹角,就cos a ba b rr rrx 1 2 x xy 21 2 y yx 2 2 2y 2 2第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）平方关系：sin2cos21（）商数关系：tansincos（）倒数关系：tancot1sin21tan22；2 cos112tantan留意：sin,cos,tan根据以上公式可以“ 知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S：sinsincoscossin2 btanab2 bcosxS：sinsincoscossinC：cosacoscossinsinC：cosacoscossinsinT：tantantan1tantanT：tantantan1tantan正切和公式：tantantan 1tan3、帮助角公式 ：asinxbcosxa2b 2aasinx22a2b2sinxcoscosxsin）2 a2 bsin xb（其中称为帮助角,的终边过点 a,b,tana4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：S2：sin22sincos212sin2|2cos21cos22|cos|；C2：cos2cos2sinT 2：tan212tan21cos22sin|,1tan* 二倍角公式的常用变形：、- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 、1 21 2cos2|sin|,11cos2|cos|22sin44cos412sin2cos21sin22；1cos 212cossin4cos2；1cos 2cos1 sin2cos 221cos 2sin2* 降次公式：sin2222 cos112225、* 半角的正弦、余弦和正切公式：sin21cos；cos21cos,sincos|22tan21cos1cossin1cossin1cos；sin2|6、同角三角函数的常见变形：（活用“1” ）sin21cos2；sin1cos 2cos21sin2；cos1sin2；tancotcos2sin22,sincossin22cottancos2sin22cos22cotsincossin21sincos212sincos1sin2；7、补充公式：万能公式sin12tan22；cos12 tan2；tan12tan22 tan1tan222 tan2积化和差公式- 11 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - sincos1 2sinsincossin1 sin21 cos2sincoscoscossinsin1 2coscos和差化积公式sinsin2sin2cos2；sinsin2cos22sin22coscos2cos2cos2；coscos2sinsin注： 带*号的公式表示明白,没带*公式为必记公式- 12 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页