2022年抽象函数解法综述解题技巧.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载抽象函数与解题策略（一）抽象函数的定义、特点和一般解题策略（1）什么是抽象函数？那些没有给出函数的详细解析式,只给出一些特殊条件或特点的函数称为抽象函数；（2）抽象函数与一般函数的有什么联系？抽象函数往往有它所对应的详细的函数模型；例如,f x 1 x 2 f x 1 f x 2 对应的 是 指 数 函 数 a x 1 x 2a x 1a x 2；f x 1 x 2 f x 1 f x 2 对 应 的 是 对 数 函 数log a x 1 x 2 log a x 1 log a x 2 等等；当然,也有的时候并没有我们比较熟识的函数模型,而是新定义的一种函数；抽象函数也可以与我们熟识的函数,如指数函数、 对数函数等一样,有自己的性质,如奇偶性、周期性、单调性等；有自己的特殊点,有自己的对称性,能画出大致图像；（3）抽象函数的解题策略一般有哪些？面对抽象函数数学题,我们的解题思路一般不外乎合理赋值,化抽象为详细； 作恒等变形,找出该函数规律性、特点性特点；分类争论,归纳出抽象函数的实质问题；（二）高考中的抽象函数（1）抽象函数在高考中的位置函数是高考数学中特别重要的一部分,依据上海卷命题的要求,每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右,20XX年高考上海卷中,函数相关的内容将近 55 分；而抽象函数是函数中考核要求较高,难度较大的内容；2000 年开头,不论是全国卷仍是上海卷都对同学提出了考查抽象函数的要求；03 年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目, 03、04、05 年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目；（2）为什么抽象函数在高考中被如此重视一般抽象函数数学题融函数单调性、周期性、 奇偶性、 定义域、 值域、 图像以及不等式、方程等学问于一体； 通过赋值整体摸索, 找出一个详细函数原型等方法去探究该函数的性质,能运用相关性质去解决有关问题；在高考中加大对同学理性思维才能的考查以及主体创新能力的考查是新时期的一个重要特点；（3）详细地来看,抽象函数在历届高考中在哪些题型中显现过？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在最近五年的高考中,学习必备欢迎下载例如, 可以考抽象函数抽象函数可以显现在各种类型的题目中；的填空题、挑选题（20XX年北京卷第 11、12 题, 20XX年上海卷第 16 题,20XX 年上海卷第5 题,等等）,仍可以考抽象函数的解答题（20XX 年全国卷最终一题,20XX 年北京卷最终一题, 20XX年上海卷最终一题,20XX年北京卷最终一题,20XX年上海卷第 21 题,等等）；（4）全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区分吗？有肯定程度上的区分；全国卷中（特殊是北京卷）常常会在最终一个大题考抽象函数,是特别典型的抽象函数性质的争论、运算和证明, 对于解题技巧、 综合运用各类学问和技能的要求特别高； 上海卷中的抽象函数,特殊是最近几年, 以一种 “ 定义新函数”的题型显现,突出考核同学的学习才能、应用才能和创新才能,不特殊强调解题的技巧；详细的差别,可以通过例题的练习和讲解来得以区分；总之,关于抽象函数题的难度都是相当高的；（三）典型例题例题 1、设 fxf是定义在实数集R上的函数, 且满意以下关系：f10xf10x；f20x20x；求证： fx是奇函数,又是周期函数；证明：名师归纳总结 已知f10xf 10xf20xf10110xf10 10x,第 2 页,共 8 页f20xfx（1）xfx,（ fx 0,1）；如 f1=2又f20xf20xfxf20x（2）f40xf2020xf20即 fx是以 40 为周期的周期函数由（ 1）式f20xfx由（ 2）式fxf20xfxfxfx即 fx是奇函数综上所述, fx是奇函数,又是周期函数；例题 2、fx是定义在 R上的函数,且fx1 1fx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求f2005 的值解：已知fx21fx1 11fx11fx1fx1 11fxfx1fx2fx4fx121fx1fxfx是以 4为周期的周函数,就f2005f1 例题 3、已知函数 fx 对于 x>0有意义,且满意条件f2=1,fxy=fx+fy,fx是非减函数（定义：x1x2D,fx1fx2,就成fx是定义域在 D上的非减函数）；（1）证明 f1=0 ；（ 2）如 fx+fx2 2成立,求 x的取值范畴；解： 1令 x=2,y=1 ,就 f2× 1=f2+f1 f1=0 2由已知 fx+fx 2=fx 22x 2,又 2=1+1=f2 +f2=f4 fx 2 2xf4 又 fx 为非减的函数名师归纳总结 x22x4 即 x22x40x 1+5 或 x15第 3 页,共 8 页已知 fx 对 x>0 有意义,且x2>0x>2 x 15,例题 4、设函数 fx的定义域为 R,对于任意实数m、n,总有fmnfmfn,且x0时0fx1；（ 1）证明： f0=1 ,且 x<0时fx>1 ；（ 2）证明： fx 在R 上单调递减；（ 3 ）设Ax,yfx2fy2f 1 ,Bx,yf axy2 ,1aR ,如AB,确定 a 的范畴；（1）证明：fmnfmfn令m0,n0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fmfmf0 ,已知x学习必备0欢迎下载10时,fxf011nnx0,fx1,0 1,即当 x<0时fx>1 设mx0,f0fmfmfn1fm（2）xx2R,就x2x1,0 0fx2x1f,1x10名师归纳总结 fx2fx1fx2x1x1fx1fx2x 1fx1fx12,第 4 页,共 8 页fx1fx2x110fx在R 上单调递减；（3）fx2fy2f 1 fx2y2f 1fx在R上单调递减x2y21（单位圆内部分）faxy21f0axy20（一条直线）ABa211a23a3 3,2例题 5、对每一实数对 x、y,函数 ft满意fxyfxfyxy1；如f2试求满意ftt的整数 t 的个数；解：令xy0,得f0 1令xy1,得f2 2f1 2,又f22f1 2令x,1y1,得f1 1令x1,得fy1 fyy2fy1 fyy2（ ）即当 y为正整数时fy1 fy,由f1 1yN,fy0yN,fy1 fyy2y1即对于一切大于1的正数 t 恒有ftt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由（ ）式f3 f,14学习必备欢迎下载1下证明,当整数 t 4 时,恒有 f t 0：t 4,就 t 2 0由（ ）式 f t f t 1 t 2 0 即 f 5 f 4 0同理可得 f 6 f 5 0 , f, t 1 f t 2 f,0 t f t 1 0相加 f t f 4 1 0,即当整数 t 4 时,恒有 f t 0 t综上所述,满意 f t t 的整数只有 t 1 , 2例题 6、定义在 R上的单调函数 fx 满意 f3= log 2 3 且对任意 x,yR都有 fx+y=fx+fy；1 求证 fx为奇函数； 2 如fkx 3fx 39x2 0对任意 xR恒成立,求实数 k的取值范畴；证明： 1已知 f x+y=fx+fyx,yR 令 x=y=0 ,代入式 f0+0=f0+f0 ,即 f0=0 令 y x,代入式 fx-x=fx+f-x,又 f0=0 ,就 0=fx+f-x ,即 f-x=-fx 对任意 x R 成立,就 fx 是奇函数；名师归纳总结 2f3=log230,即 f3 f0,又 fx在 R 上是单调函数第 5 页,共 8 页fx 在 R 上是增函数,又由1fx是奇函数f kx 3fx 39x2 fx 39x2 kx 33x9x2对任意 xR 成立分别系数： k·3x -3x +9x +2k3x213x令ux 321221,即 u 的最小值为2213x当k221时,不等式kx 321对任意 xR 恒成立3xk, 221时,命题成立；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 7、已知fx是定义在学习必备欢迎下载a,bR 都满意关系式R 上的不恒为零的函数,且对于任意的f a b af b bf a ；（ 1）求 f （0）, f （ 1）的值；（ 2）判定 f x 的奇偶性,并证n明你的结论；（3）如 f 2 2 , u n f 2 n N ,求数列 u n 的前 n 项的和 S ；n解：（ 1）在 f a b af b bf a 中, 令 a b ,0f 0 f 0 0 0 f 0 0 f 0 0 . 在 f a b af b bf a 中, 令 a b ,1f 1 f 1 1 1 f 1 1 f 1 f 1 0（2）已知 f 1 f 1 2 f 1 f 1 0 ,f 1 0f x f 1 x f x xf 1 f x f x 为奇函数；（3） 由 f a 2 af a af a 2 af a ,f a 3 a 2 f a af a 2 3 a 2 f a , 推测fa nna n1fa . 下用数学归纳法证明； 1°当 n=1 时,fa 11a0f a ,原命题成立；a , 2° 假设当 n=k 时,原命题成立,即fa kkak1f那么当 n=k+1 时,名师归纳总结 fk a1akfa afk ak afa k kaf a k1k afa,原命题成立 . 第 6 页,共 8 页由12,可知,对任意nNf,annan1fa 都成立 . unf2n1n1f1. n222f11 2f20,. 已知f2 2f, 1f21221n1nN,1f11f2 1un24222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S n1 1 121n1n学习必备N欢迎下载21n.122例题 8、设yfx是定义在区间,11上的函数,且满意条件：if1f 1 0；ii对任意的u,v1,1,都有f ufvuv；（1）证明：对任意的x,11,都有x1fx1x；（2）证明：对任意的u,v,11,都有f ufv1；（3）在区间1,1上是否存在满意题设条件的奇函数yfx,且使得f ufvuvu ,v,01 2；如存在,请举一例；如不存在,请说明理由；f ufvuvu ,v11,2（1）证明：已知对任意的x1,1,有fxf 1x1,f 10f x1xx1fx1x；u,v,11,（2）证明：对任意的当uv1时,f ufvuv1,命题成立；u02vuv 1当uv1时,由u,v1,1可知uv0,不妨设都有fu fvf uf vfu f 1fvf1综上所述,对任意的u,vu1v11uv111,都有fufv1；（3）答：满意条件的函数不存在；理由如下：名师归纳总结 假设存在函数fx满意条件,f1f1111,f10f11第 7 页,共 8 页fu fvuvu,v11,222222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又fx为奇函数f0 0学习必备欢迎下载fu fvuvu,v0 ,1f1f0101f11222222,冲突,即假设不成立,所以,满意条件的函数不存在；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页