2022年新湘教版九年级数学下二次函数知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2022 新湘教版九年级数学下第一章 二次函数（一）二次函数21、二次函数的概念：一般地,形如 y ax bx c （ a, , 是常数,a 0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数22. 、二次函数 y ax bx c 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 最高次数是 2 a, , 是常数, a是二次项系数,b 是一次项系数, c 是常数项（二）二次函数的图像和性质1、二次函数的基本形式（ 1）二次函数基本形式：y2 ax 的图像和性质：第 1 页,共 4 页a 的开口顶点对称性质符号方向坐标轴a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 （2）yax2c 的图像和性质： （上加下减）a 的符开口顶点对称性质号方向坐标轴a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c （3）ya xh2的性质（左加右减）a 的开口顶点对称性质方向坐标轴符号a0向上h,0X=h xh时,y随x的增大而增大；xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 0 a0向下h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全 2（4）二次函数ya xh2k 的图象与性质y=2x-42a 的开口顶点坐对性质y=2x2称符号方向标y=2x-42-3轴a0向上h,kX=h xha0时, y 随 x 的增大而增大； xh时,y随x的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh时,y随x的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k （5）二次函数yax2bxc的图像与性质a的符开口顶点对称性质号方向坐标轴a0向上b,4aca2 bxbxb时, y 随 x 的增大而增大；2axb时, y 随 x 的增大而减小；2a2 a42axb时, y 有最小值4 acab22a4a0向下b,4aca2 bxbxb时, y 随 x 的增大而增大；2axb时, y 随 x 的增大而减小；2a2 a42axb时, y 有最大值4 acab22a4、二次函数yax2bxc 图象的画法画精确图：五点绘图法（列表-描点 -连线）利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 画草图：抓住以下几点：开口方向,对称轴,与x 轴 y 轴的交点,顶点. 3、二次函数图象的平移：平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h,k；2 保持抛物线 y ax 的外形不变,将其顶点平移到 h,k 处,详细平移方法如下：向上 k>0【或向下 k<0】平移 |k|个单位y=ax2 y=ax2+k向右 h>0【或左 h<0】向右 h>0【或左 h<0】平移 |k|个单位 向右 h>0【或左 h<0】平移 |k|个单位 平移 |k|个单位向上 k>0【或下 k<0】平移 |k|个单位名师归纳总结 y=ax-h2向上 k>0【或下 k<0 】平移 |k|个单位y=ax-h2+k第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全 5平移规律 ： 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”c是两种不同的概括成八个字 “ 左加右减,上加下减”4、 二次函数ya xh2k 与yax2bxc 的比较：从解析式上看,ya xh2k 与yax2bx表达形式,后者通过配方可以得到前者,即ya xb24acb2,其中hb,k4acb22a4 a2a4 ab 2 a. 、求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：yax2bxcaxb24 acb2,顶点是（b4,acb2）,对称轴是x2 a4 a2a4 a配方法：将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线xh. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 0 ,c ；抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为 6 、二次函数的图象与各项系数之间的关系2（1）二次项系数 a ：二次函数 y ax bx c 中, a作为二次项系数,明显 a 0a 打算了抛物线开口 的大小和方向,a 的正负打算开口方向,的 a 的值越大,抛物线的开口越小（ 2） 一次项系数 b ：在二次项系数a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴的位置b b在 a 0 的前提下：当 b 0 时,0,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当 b 0 时,0,2 a 2 ab即抛物线的对称轴就是 y 轴；当 b 0 时,0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2 a在 a 0 的前提下：当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当 b 0 时,b 0,2 a 2 a即抛物线的对称轴就是 y 轴；当 b 0 时,b0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2 aab 的符号的判定：对称轴 x b 在 y 轴左边就 ab 0,在 y 轴的右侧就 ab 0,概括的说就是“左同右异 ”2 a（ 3）常数项 c ：打算了抛物线与 y 轴交点的位置当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ；当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负（三）不共线三点确定二次函数的表达式 1、用待定系数法求二次函数的解析式. 第 3 页,共 4 页名师归纳总结 一般式：.已知图象上三点或三对、的值,通常挑选一般式. 顶点式：.已知图象的顶点或对称轴或抛物线上纵坐标相同的两点,通常挑选顶点式交点式：.已知图象与轴的交点坐标、,通常挑选交点式. 2、二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（1） 关于x 轴对称：yax2bxc 关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；h2m22 nkya xh2k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；（2）关于y 轴对称：yax2bxc 关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；（3）关于原点对称：yax2bxc 关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2k 关于原点对称后,得到的解析式是ya xh2k ；（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180° ）yax2bxc 关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxcb22 a ；ya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xh2k （ 5）关于点m,n对称：ya xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是ya x依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式（四） 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系：函数 y ax 2bx c,当 y 0 时,得到一元二次方程 ax 2bx c 0,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标,因此二次函数图象与 x 轴的交点情形打算一元二次方程根的情形 . 的图象与 x 轴有两个交点 与 x 轴有一个交点 与 x 轴有无交点y 为全体实数y0y>0 方程有两个相等实数解方程有两个不等实数解 方程没有实数解的解（五） 二次函数的应用二次函数解决实际问题的一般步骤是：1 建立适当的平面直角坐标系；2 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 3 用待定系数法求出抛物线的关系式；4 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题 .名师归纳总结 第 4 页,共 4 页- - - - - - -