2022年数学基础知识与典型例题复习-集合建议逻辑.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学基础学问与典型例题 第一章集合与简易规律集1.元素与集合的关系: 例 1 以下关系式中正确选项（a）5,1a , 合用或表示；AB 02.集合中元素具有C0D0确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类：例 2 xy31解集为 _. 按元素个数分： 有限集,无限集；2x3y按元素特点分；数集, 点集； 如例 3 设A4,2a1, a2,B9,数集 y|y=x 2, 表示非负实数集,点集 x,y|y=x2 表示开口向上,以已知AB9,求实数 a 的值 . y 轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：列举法： 用来表示有限集或具有 显著规律的无限集,如 N+=0 ,1,2,3, ；描述法子字母表示法:常用数集的符号：例 4 设Mx x2x20,xR ,a=lglg10 ,第 1 页,共 7 页自然数集 N；正整数集N*或N；整数集 Z；有理数集Q、实数集 R;集合与集合的关系:用, =集表示 ;A 是 B 的子集记为AB；A就 a 与 M 的关系是 是 B 的真子集记为AB；A a=M BM ü a C a Y M DM a 任何一个集合是它本身的子集,例 5 集合 A= x|x=3k- 2,kZ ,B= y|y=3n+1,记为AA；空集是任何集合nZ ,S= y|y=6m+1, m Z 之间的关系是 的子集,记为A ；空集是任AS ü Bü A BS=B ü A 何非空集合的真子集；CS ü B=A DS Y B=A 假如AB,同时BA,那例 6 用适当的符号、 、=、 、填空：么 A = B ；假如 AB,BC,交那么 A C .n 个元素的子集有2 n个；n 个元素的真子集有 2 n 1个； n 个元素的非空真子集有 2 n _ Q; 3.14_ Q; R R+_R; x|x=2k+1, kZ_ x|x=2k1, k Z ；例 7 已知全集 U 2,4,1a,A2,a2a22 个. 假如e UA1,那么 a 的值为 _. 1.交集 A B= x|xA 且 xB; 例 8 设集合 A= x|xZ 且 - 10x- 1 ,B= x|xZ,、并集 AB= x|xA ,或 xB; 且|x|5 ,就 A B 中的元素个数是 并补集 CUA= x|xU,且 xA ,A11 B1 C16 D15 、集合 U 表示全集 . 例 9 已知 A=m|m24Z ,B= x|x23N ,补2.集合运算中常用结论 A B A B: A;就 AB=_ ；例 10 已知集合 M= y|y=x 2+1,xR ,N= y|y=x+1,ABABB名师归纳总结 痧ABUA . UB ;x R ,求 MN ；痧 UABUA . UBcard ABcardA card B card AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 交例 11 如 A = x, y| y =x+1,B= y|y =x2+1, 学习必备欢迎下载、就 AB =_. 并例 12 设全集UR Ax x6,、就A e UA_,Ae UA _.补例 13 设全集U = 1 ,2,3, 4,5,6,7,8 ,A = 3 ,4,5 B = 4 ,7,8, 求：（CU A） CU B, CU ACU B, CUA B, C U A B. 不1.肯定值不等式的解法：g x g x f x g x.等xa a0的解集是xaxa a0; 式xa a0的解集是x xa或xa a0公式法 :f x g x f x g x 或 f x g x ,f x 2几何法3定义法（利用定义打开肯定值）4两边平方0a .0 的求解原理： 利用2、一元二次不等式ax2bxc0a0 或ax2bxc二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解 集；二次函数yax20cyax20bxcyax20bxcbxy2 axbxc（a0） 的图象一 元 二 次 方有两相异实根有两相等实根无实根R 程x1x2b2 axbx c0x 1,x 2x 1x22 aa0的根2 axbxc0xxx 1 或xx2xxb a0 的解集2aax2bxc0xx 1xx 2 a0 的解集注:分式、高次不等式的解法：标根法不14.不等式x2ax3b0的解集是x2x3,就a_,b_.第 2 页,共 7 页等15.分式不等式x0的解集为： _. 式x7名师归纳总结 16.求使3x4有意义的取值范畴 . 12x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 不17.解不等式： |4x-3|>2x+1. 学习必备欢迎下载等式18.解不等式： |x-3|-|x+1|<1. 19.解不等式：x224x2x1. 3x20.已知方程 2k+12 x +4k x+3k - 2=0 有两个负实根,求实数k 的取值范畴 . 命1.命题分类：真命题与假命题,简例 21 写出命题：“ 如 x + y = 5 就 x = 3 且 y = 2” 的逆题单命题与复合命题；命题否命题逆否命题,并判定它们的真假；2.复合命题的形式：p 且 q,p 或 q,非 p； “ 或” 、“ 且” 、“ 非” 这些词叫做规律联结词； 不含有规律联结词的命题是简洁命题； 由简洁命题和逻例 22:“ 如ab5,就a2 或b3” 是_命题 .填真、假 例 23 命题 “ 如 ab=0,就 a、b 中至少有一个为零” 的逆辑联结词“ 或”、“ 且” 、否命题为 _；“ 非” 构成的命题是复合命题； 例 24：用反证法证明：已知x、yR,x+y2,求 证“p 且 q” 形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情形时为假 即当 q、p 为真时, p 且 q 为真；x、 y 中至少有一个不小于1；当 p、q 中有一个为假时,p 且 q为假；“p 或 q” 形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情形时为真 即当 p、q 均为假时, p 或 q 为假；当 p、q 中有一个为真时,p 或 q 为真；“ 非 p” 形式复合命题的真假与名师归纳总结 p 的真假相反即当p 为真时,非p第 3 页,共 7 页为假；当 p 为假时,非p 为真；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 命3.四种命题：记 “如 q 就 p”为原命学习必备欢迎下载例 25 已知c0.设 P：函数ycx在 R 上单调递减 . Q：题题,就否命题为“ 如非 p 就非 q”,不等式x|x2 c|1的 解集为 R,假如 P 和 Q有且逆命题为 “如 q 就 p“ ,逆否命题为 ”仅有一个正确,求c 的取值范畴 . 如非 q 就非 p“ ；其中互为逆否的两个命题同真假,即；一个命题的否命题为真,它的逆命题肯定为真. （否命题逆命题.）一个命题为真,就它的逆否命题肯定为真.（ 原命题逆否命题 .）4.反证法是中学数学的重要方法；会用反证法证明一些代数命题；充充分条件与必要条件例 26:x5_x5 或x2.填,. , 分1.定义：当 “如 p 就 q”是真命题, 就乙例 27:条件甲 :x1 且y2;条件乙 :xy3条时, p 是 q 的充分条件, q 是 p 的是甲的 _条件 . 件必要条件 ;当 “ 如 p 就 q” 的逆命题q：a,例 28“ ”是 cos cos ”的 与为真时, q 是 p 的充分条件, p 是A 充分不必要条件B必要不充分条件必q 的必要条件 ;当 “ 如 p 就 q” , “ 如C 充要条件 D 既不充分也不必要条件例 29 已知 p：方程 x 2+ax+b=0 有且仅有整数解,要q 就 p”均为真时, 称 p 是 q 的充要条条件；件2.在判定充分条件及必要条件时,b 是整数,就p 是 q 的 A 充分不必要条件B必要不充分条件第一要分清哪个命题是条件,哪个C 充要条件D既不充分又不必要条件命题是结论, 其次, 结论要分四种情形说明： 充分不必要条件, 必要 不充分条件, 充分且必要条件,既 不充分又不必要条件；从集合角度 看,如记满意条件 p 的全部对象组 成集合 A,满意条件 q 的全部对象 组成集合 q,就当 A B 时, p 是 q 的充分条件 ;B A 时, p 是q 的充分条件 ;A=B 时,p 是 q 的 充要条件；注：当 p 和 q 互为充要时, 表达 了命题等价转换的思想；小范畴推出大范畴；大范畴推不 出小范畴 . 答案见下一页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载答案数学基础学问与典型例题第一章集合与简易规律例 1 选 A; 例 2 填2 ,1 注:方程组解的集合应是点集. 3例 3 解:AB9, 9A .如 2 a19,就a5,此时A4,9,25 ,B9,0, 4, AB9, 4, 与 已 知 矛 盾 , 舍 去 . 如a29, 就a3 当a3时 ,A4,5,9,B2, 2,9.B中 有 两 个 元 素 均 为2 , 与 集 合 中 元 素 的 互 异 性 矛 盾 , 应 舍 去 . 当a时,A4, 7,9,B9, 8,4,符合题意 .综上所述 ,a3. 点评 此题考查集合元素基本特点 确定性、互异性、无序性,切入点是分类争论思想,由于集合中元素用字母表示,检验必不行少；例 4C 例 5C 例 6, ü , ü ,例 7 填 2 例 8C 例 9例 10 解： M= y|y=x2+1,xR= y|y1 ,N=y| y=x+1,xR=y|y R M N=M=y|y 1 注：在集合运算之前,第一要识别集合,即认清集合中元素的特点；M 、N 均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组；其次要化简集合；实际上,从函数角度看,此题中的M ,N 分别是二次函数和一次函数的值域；一般地,集合 y|y=fx,x A 应看成是函数y=fx的值域,通过求函数值域化简集合；此集合与集合 （x,y）|y=x2+1,xR 是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x 2+1 上的全部点,属于图形范畴；集合中元素特点与代表元素的字母无关,例如y|y 1= x|x1 ；例 11 填注：点集与数集的交集是. 例 12 埴,R 例 13 解： CU A = 1 ,2,6,7,8 ,C U B = 1 ,2,3,5, 6, CU A CU B = 1 ,2,6 ,C U ACU B = 1 , 2,3,5,6,7,8, A B = 3,4,5,7, 8,A B = 4 , CU A B = 1,2,6 ,C例 14 a 5, b 6 ; U A B = 1,2,3,5,6,7,8 例 15 原不等式的解集是x|7x3例 16 xR| 3x5或3x322例 17 分析：关键是去掉肯定值.方法 1：原不等式等价于4x301或4x302 x1,即x3 4或x3, x>2 或 x<1 ,原不等式的解集为 3x| x>2 或 x<1. 方法 2：整体换元转化法分析：把右边看44x32x4x3xx3123成常数 c,就同axbcc0 一样 |4x-3|>2x+14x-3>2x+1 或 4x-3<-2x+1 x>2 或 x<1 ,原不等式的解集为 3 x| x>2 或 x<1. 3例 18 分析：关键是去掉肯定值. 方法 1：零点分段争论法（利用肯定值的代数定义）当x1 时,x30,x10x3x114<1xx3x11,解的解集为,的解集为 x|1<x<3 ,的解集为 x|x3, 原不等式的解集为x|x>1. 第 5 页,共 7 页当1x3时x3 x11x1,2R x | 12x xx3 当x3时x3 x1 1-4<1x3综上 ,原不等式的解集为x|x1 21x3或 也可以这样写：x1解：原不等式等价于或x322x3x11x3x11名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载O123x原不等式的解集为 x|x>1. 方法 2：数形结合 :从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到3 和-1 两点的距离之差小于1 的点- 12例 19 答： x|x0 或 1<x<2 例 20 解：要原方程有两个负实根,必需:2 k1 0k1000k211. k2k2k1x 10k4 k00 或 kx 202k1k2 3或 k1xx 1 203k22 k12k1 或2k1实数 k 的取值范畴是 k|-2<k<-1 或2<k<1. 33例 21 解：逆命题：如x = 3 且 y = 2 就 x + y = 5（真）否命题：如x + y 5 就 x 3 且 y 2（真）逆否命题：如x 3 或 y 2 就 x + y5（假）例 22 答 :真 解：逆否： a = 2 且 b = 3,就 a+b = 5,成立,所以此命题为真. 例 23 答 :如 a、b 都不为 0,就 ab 0例 24 解：假设x<1 且 y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2 与已知 x+y2 冲突 , ,所以当 “如 p 就非 q”为假时, “如 p 就 q”肯定为真； 假设不成立x、y 中至少有一个不小于1 注反证法的理论依据是：欲证“ 如 p 就 q”为真,先证 “ 如 p 就非 q”为假,因在条件p 下, q 与非 q 是对立大事（不能同时成立,但必有一个成立）例 25 解：函数ycx在 R 上单调递减0c.1不等式x|x2 | 1 的解集为R函数yx|x2 |在R上恒大于1.x|x2c|2x2 , c x2c,函数yx|x2c|在R上的最小值为2 .x2 ,2 ,不等式|xx2c|1 的解集为R2c1c1. 假如P正确,且 Q不正确,2就0c1. 假如P不正确,且 Q正确,就c1.所以c的取值范畴为0,11,.22例 26 答：x5x5或x2. 例 27 答既不充分也不必要解:“ 如 x + y =3,就 x = 1 或 y = 2 ”是假命题 ,其逆命题也不成立 . 逆否命题 : “如 x 1 或 y 2 ,就 x y 3”是假命题 , 否命题也不成立 . 故 x y 3 是 x 1 或 y 2 的既不充分也不必要条件 . 例 28 选 B 例 29 选 A 1、当别人说你“ 有缺陷” 时,你就“ 疯狂地战胜它” 吧！疯狂就是：“ Practice while others are complaining. 当别人埋怨时你练习；Believe while others are doubting. 当别人疑问时你坚信；”从一个人的“ 反弹爆发力” 上,我最佩服乒乓球双料冠军邓亚萍；她由于身高只有1 米 5,曾经被省队和国家队都拒绝过,她父亲就对她说：“ 你个子矮,就必需把球打得快,这样才有攻击性；你个子矮,别人跑一步,你就要跑两步,所以你肯定要跑得快；”由于她要克服个子矮的弱点,所以在训练时,她比任何人都要付出多两倍的努力,每天要换几次衣服,晚上趁别人睡下时,仍要再静静躲进训练房苦练到晕倒为止；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 邓亚萍说：“ 我打球打赢了仍不肯定能进国家队,更别说输了；所以我打球很凶狠,那是逼出来的；学习必备”欢迎下载假如你感觉自己有某方面缺陷弱点时,你就疯狂地战胜它吧,像邓亚萍一样,当别人休息时你练习；当别人疑问时你坚信；当别人舍弃时你坚持 苦练短处,把短处变得更快、把短处变得更狠,从而把短处变成特长！邓亚萍说：“ 我不比别人聪慧,但我能管住自己；我从小就形成了一旦设定目标,就绝不轻易舍弃的习惯；或许,这就是我能赢得胜利的缘由；”当你看到这里时,也请怒吼一声：“ 我要管住自己的脆弱！一旦设定目标就绝不舍弃！（ Never Give Up）”胜利就是坚持！名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页