2022年概率论与数理统计复习资料要点总结.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计复习提要第一章随机大事与概率PB1大事的关系ABABABABAAB2运算规章（1）ABBAABBA（2）ABCABCABCA BC（3）ABCACBCABCACBC（4）ABABABAB3概率P A满意的三条公理及性质：（1）0PA1（2）P1nn（3）对互不相容的大事A 1,A 2,An,有PA kP A k（ n 可以取）k1k1（4）P0（5）PA 1PA （6）PAB PA PAB,如AB,就PBA PBPA ,PA （7）PABPAPBPAB（8）PABCPA PB PCPABPACPBCP ABC4古典概型：基本领件有限且等可能 5几何概率 6条件概率（1）定义：如PB0,就PA|BPAB（留意独立性的应用）PB（2）乘法公式：PABPBP A|B如B 1,B2,Bn为完备大事组,PBi0,就有n（3）全概率公式：PAPBiPA|Bii1（4）Bayes 公式：PB k|APBkP A|BknPB iPA|Bii17大事的独立性：A,B独立PABPAPB1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值,PXx ip i满意（ 1）ipf0,（2）1iip =1 （3）对任意DR,PXDpi-x dx；i:x iD2 连续随机变量：具有概率密度函数fx,满意（ 1）fx0 ,（2）PaXb bfxdx；（3）对任意aR,PXa0a3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望'x方差两点分布B,1pPX1 p,PX0q1pppqnpq二项式分布Bn,p PXkCkpkqnk,k0,1,2,n,npnPoisson 分布PkqPXkek .,k0 ,1,2 ,PXkqk1p ,k,12 ,1几何分布G ppp2匀称分布Ua,bba2fx b1a,axb,a2b12指数分布Efx ex,x0112fx1ex2正态分布N,222x224 分布函数Fx PXx,具有以下性质（1）F0 ,F1；（2）单调非降；（3）右连续；fx（4）PaXbFbFa ,特殊P Xa1Fa；（5）对离散随机变量,Fx pi；i:x ix（6）对连续随机变量,Fx xftdt为连续函数, 且在fx连续点上,F5 正态分布的概率运算以x 记标准正态分布N1,0的分布函数,就有（1）00 .5；（2）x1x ；（3）如XN,2,就Fx ；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）以 u记标准正态分布N0 1, 的上侧分位数,就PXu1u6 随机变量的函数YgX（1）离散时,求 Y 的值,将相同的概率相加；（ 2 ） X 连 续 ,gx在 X 的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 , 且 有 一 阶 连 续 导 数 , 就fYy fXg1y|g1y '|,如不单调,先求分布函数,再求导；第四章随机变量的数字特点1期望1 离散时EXxip i,EgXigxip i；dx；gx ,yfx ,ydx dyi2 连续时EXxfx dx,EgXEggxfx3 二维时EgX,Ygx i,yjp ij,X,Yi,j4ECC；（5）ECXCEX；（6）EXYEXE Y；（7）X ,Y独立时,EXYEXEY2方差（1）方差DXEXEX2EX2YEX2,标准差XDX；X（2）D C0,DXCD；XD（3）D CXC2DX；D（4）X ,Y独立时,DXY3协方差（1）CovX,YXEXEXYEY2EXYEXE Y；（2）CovX,YCovY,X,CovaX,bYabCovX,Y；（3）CovX2,YCovX1,YCovX,Y；1（4）CovX,Y0时,称X ,Y不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价；（5）DXYDXDY2CovX,Y3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4相关系数XYCovX,Y；有|XY|1,|XY|1a,b ,PYaXb 1X Y5 k阶原点矩kEXk, k阶中心矩kEXEXkEX|1DXX|DX或P |X第五章大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式P |XE 222大数定律 3中心极限定理（ 1 ） 设 随 机 变 量X1,X2,Xn独 立 同 分 布EXi,DXi2, 就inXi 近似 Nn,n2, 或1in1Xi 近似 N,2或n近似 N0,1 ,Xini11nnn（ 2 ） 设 m 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 A 发 生 的 次 数 ,p, 就 对 任 意 x , 有PAX近似 Nlim nP mnpx x 或懂得为如XBn,p,就np ,npq npq第六章样本及抽样分布1总体、样本（1）简洁随机样本：即独立同分布于总体的分布（留意样本分布的求法）X样；标准差（2）样本数字特点：样本均值X1inXi（E X,DX2）；n1n本样本方差S2n11inXiX2（ES2 2）1kSn11inXiX21样本 k 阶原点矩k1inXk,样本 k 阶中心矩k1inXi1i1nn2统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布（留意它们的密度函数外形及分位点定义）（1）2 分布2X2X2n 1,YX2n2n,其中X1,X2,Xn独立同分布于标12n准正态分布N1,0 ,如X222且独立,就XY2n 1n2；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2） t 分布tXntn,其中XN01, ,Y2 n且独立；Y/（3） F 分布F,X/n 1Fn 1,n2,其中X,2n1,Y2n 2且独立,有下面的Y/n2性质1Fn2n 1,F 1n 1,n2F1n 1Fn 24正态总体的抽样分布（1）XN,2/n；（2）1inXi22n ；n1 ；n 2212 S 22（3）n1S22n1 且与 X 独立；1n 1（4）tX/nt2St（5）tXY12n 1n22n 11 2 S 1n 22 ,S2Sn 1nn 1n 2（6）F2 S 1/2Fn 1,1n 21 12 S 2/22第七章参数估量1矩估量：（1）依据参数个数求总体的矩；（ 2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估量2极大似然估量：（1）写出极大似然函数； （2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数； （4）令导数或偏导数为 0,解出极大似然估量 （如无解回到 （1）直接求最大值, 一般为 minix或 maxix）3估量量的评比原就1 无偏性：如E. ,就为无偏；2 有效性：两个无偏估量中方差小的有效；4参数的区间估量（正态）参数条件估量函数2置信区间22 已知ux/nxu2n2未知xt2n1 stxnns/n12 s, n212 s2n1 s未知2 n12n12215 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 复习资料一、填空题（ 15 分）题型一：概率分布的考察【相关公式】 （P379）分布参数分布律或概率密度k数学期望（ E）nM方差（ D）n（ 01）分0p1P Xkpk1p 1k,k0,1pp1p布二项分布n1P Xk np k1p n k,npnp1pk0p1k0,1, ,n负二项分布r1P Xk k1r p1p k rrr1pr10p1p2pkr r1, 几何分布0p1PXk1p k1p11ppp2k1,2, MNMN M a1MNnMP Xk knkN超几何分布MNNNN1kNnNmin , n Mk 为整数,max0,nNM泊松分布0P Xkk eabba2k.k0,1,2, b1a,axb匀称分布abf x 2120,其他【相关例题】1、设XU a b ,E X2,D Z,1 3,就求 a,b 的值；解：XU a b E Xa2,D X1依据性质：3ab2, ba2 1,b2123解得：a1, b3.6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、已知Xb n p,E X0.5,D X0.45,就求 n,p 的值；解：由题意得：np0.5,np1p0.45解得：p0.1.题型二：正态总体均值与方差的区间估量【相关公式】 （P163）2为已知 由枢轴量 ,X/n,得到的一个置信水平为1-的置信区间：Xnz/2【相关例题】1、（样本容量已知）已知总体XN ,0.81,X1,X2, ,X25 为样本 且X5, 就 的置信度0.99 的置信区间为：解：代入公式得：Xnz/250.9z 0.02550.18 1.964.6472,5.352852、（样本容量未知）已知XN ,1,X1,X2,X 3,Xn为样本容量 如关于的置信度0.95 的置信区间10.88,18.92,求样本容量.解：由题意知：样本长度为n7.84,就有：nz23.92Xnz2Xz7.842代入数据,得：n2n4.题型三：方差的性质【相关公式】 （P103）1D C 0,C 为常数；CD X, 为常数；2D CX2 C D X,D X3X Y 相互独立,D XYD XD Y 【相关例题】1、已知X1,X2两变量,且X1U2, 4,X2N0,9,X1,X2 相互独立,求D X12X2.7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：X1U2, 4,X20,92ba249361D X12X2D X14D X123题型四：t分布、2分布的定义【相关公式】 （P140、P138）1 设 X 0,1, Y 2 , 且 X Y 相互独立,就称随机变量t XY / n听从自由度为 n 的 分布,记为 t t t n .2 设 X 1 , X 2 , X 3 , , X n 是来自总体 N 0,1 的样本 就称统计量 ,2 2 2 2X 1 X 2 X n听从自由度为 n 的 2 分布 记为 , 2 2n .【相关例题】1、如X0,1,Y3,24,且X Y相互独立,Xn2？Y/答：Xnt4 ,X30听从N0,1 ,30X.Y/X1,X2,X2、如变量就i30 答：X2230.i1ii1题型五：互不相容问题【相关公式】 （P4）如AB,就称大事A 与大事B是互不相容的；【相关例题】1、如P A0.6,A B 互不相容,求P AB.解：A B 互不相容ABP A SB P AAB P A 0.6P AB二、挑选题（ 15 分）题型一：方差的性质8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【相关公式】 （见上,略）【相关例题】 （见上,略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下,略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下,略）题型五：对区间估量的懂得（P161）题型六：正态分布和的分布【相关公式】 （P105）【相关例题】如XN0,2,YN3,9,就XY .答：N03,29N3,11.题型七：概率密度函数的应用【相关例题】设Xf 2 ,0x10,其他已知P Xa P Xa,就求 ；a a P X解：由题意,得：1P XP Xa 112即有：a xdx 0x2a | 02又a0a2 2三、解答题（ 70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用；【相关公式】全概率公式：9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设试验E 的样本空间为S, 为 的大事, B,B, ,B n为 的划分,且P B i>0, 就有：P B 2. P A B nP B nPA=P A B 1P B 1P A B 2其中有：P B A P AB ；P A 特殊地：当 n 2时,有：P A P A B P B P A B P B.贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S； 为 的大事 ,B ,B, ,B 为S的一个划分,且 PA0,P B i0 i1,2, , ,就有：P B i|A P B A P A B P B iP A n1P A B P B ij特殊地：当n 2时,有：P B A P AB P A B P B P A P A B P B P A B P B【相关例题】1、P19 例 5 某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂供应的,依据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率供应原件的份额1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是匀称混合的,且无区分标志；问：（1）在仓库中随机取一只元件,求它的次品率；（2）在仓库中随机抽取一只元件,为分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产 的概率分别是多少,试求这些概率；（见下）10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：1设A =取到一只次品,B=在 厂取到产品 ii1,2,3.且B 1、B2、B3是S的一个划分；就由全概率公式有：P AP A B 1P B 1P A B 2P B 2P A B 3P B 30.020.150.010.800.030.050.01252由贝叶斯公式有：0.020.150.24P B 1|AP A B 1P B 1P A0.0125P B2|AP A B 2P B 20.010.800.64P A 0.0125P B 3|AP A B 3 P B 30.030.050.12P A 0.0125答：综上可得,次品出自二厂的可能性较大；2、袋中装有m 枚正品硬币, n 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽）,在袋中任意取一枚,将他掷 r 次,已知每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少？解：设 A = 所抛掷的硬币是正品 ,B= 抛掷 次都得到国徽 r ,此题即求 P A B , 得：m n 1P A = , P A , P B A r , P B A 1.m n m n 21 m即有：P A B P AB P B A P A 2 rm n .P B P B A P A P B A P A 1 m nr2 m n m n3、设依据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情形共有三种：损坏 2%（这一大事记为 A 1）,损坏 10%（这一大事记为 A 2）,损坏 90%（这一大事记为 A 3）,且知 P（A 1）=0.8,P（A 2）=0.15,P（A3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取 3 件,发觉这三件都是好的（这一大事记为 B）,试求 P A 1 | B P A 2 | B P A 3 | B 这里物品件数许多,取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率 ；（见下）11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由题意可知：P B A 1 0.98 , 3 P B A 2 0.9 , 3 P B A 3 0.1 3P A 1 0.8, P A 2 0.15, P A 3 0.05P B P B A P A 1 P B A P A 2 P B A P A 3 0.98 3 0.8 0.9 3 0.15 0.1 3 0.050.8624P A 1|BP B A P A 10.983 0.80 .8731P B 0.8624P A 2|B0.1268P A 3|B 0.00014、将 A、B、C 三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为 ,而输出其他字母的概率都是（1- ）/2.今将字母串AAAA 、BBBB 、CCCC 之一输入信道, 输入 AAAA 、BBBB 、CCCC,的概率分别为p1、p2、p3（p1+p2+p3=1 ）,已知输出为ABCA ；问输入AAAA的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的；）解：设A =输入为AAAA, = 输入为BBBB,C=输入为CCCC,D=输出为ABCA依题意求P A D.P DP D A P A P D B P B P D C P C 21 22p 13123 p 231 23p 3P A DP ADP D A P A 2 122p 12 122 p 1 123 p 3P DP D 13 p 22p 1p 1p 1p 1 12p 2 12p 3p 1121p 13 a1p 11题型二： 1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】 已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度fx 求分布函数抓住公；式：f x dx1,且对于任意实数, 有：P x 1Xx 2F x 2F x 1x 2f x dxx 1【相关例题】（1）设随机变量 X 的分布函数为：0, x 1FX（X）= ln x ,1 x e1, x e12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求P X2、P0X3、P 2X52求概率密度xf .（见下）解：1 P X2P X2ln 21ln01P 0X3F X3FX0P 2X5FX5FX252242d F dxXX1ex1 ,1 xxxf 0,其他（2）f x 1A2x,是确定常数A；x解：由相关性质得：+Adx1-1+ x2解得：Aarctanx 0arctanx01A1（3）设随机变量X 具有概率密度fx= x,0x34,求 X 的分布函数；6x,3x220,其他解：0,x<0 F x x x dx ,00 62x23x2,0x33xx2,3x4123 6x,3x420x3x41,x42、正态分布 高斯分布 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【相关公式】（1）公式f x 1ex2 2,x其中：22,为常数,就称X听从参数为的正态分布；N0,1.2,就Z=x（2）如X N,（3）相关概率运算公式：P Xx P Xx 1xxx 2;x 2x 1;P x 1Xx 2P X 1x.【相关例题】1、（ P58 27）某地区18 岁女青年的血压（收缩压：以mmHg 计）听从N（110,12 2）,在该地任选一名18 岁女青年,测量她的血压X,求：（1）P X105,P 100X120;（2）确定最小的x,使P Xx0.05解：1XN
