2022年相似三角形知识点归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 相像三角形 中考考点归纳与典型例题学问点 1 有关相像形的概念1 外形相同的图形叫相像图形,在相像多边形中,最简洁的是相像三角形 . 2 假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相像多边形相像多边形对应边长度的比叫做相像比 相像系数 学问点 2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段a,b,c,d中,假如a和b的比等于c和d的比,那么这四条线段a,b,c ,d叫做成比例线段 ,简称比例线段注：比例线段是有次序的,假如说 a 是 b , c , d 的第四比例项,那么应得比例式为：b dc aa b,交换内项 c d a c d c,交换外项 核心内容：ad bcb d b ad b同时交换内外项 c a（2）黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC , BC AC BC ,且使 AC 是 AB和 BC 的比例中项,即 AC 2AB BC , 叫 做 把 线 段 AB 黄 金 分 割 , 点 C 叫 做 线 段 AB 的 黄 金 分 割 点 , 其 中AC 52 1AB0.618 AB 即 ACAB BCAC 52 1简记为：长全短长52 1注： 黄金三角形：顶角是 36 0 的等腰三角形黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：acabbcddbd注： 实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项,后项之间名师归纳总结 发生同样和差变化比例仍成立如：macdbaadccAD第 1 页,共 8 页d等等bdabc（4）等比性质：假如acem nbabcdfn0 ,bdf那么aceaBEbdfnbCF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点 3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例. 已知 AD BE CF, 可得AB BCDE或ABDE或BCEF或BCEF或ABBC等. AEFACDFABDEACDFDEEF特殊在三角形中：由 DE BC可得：ADAE或BDEC或ADAEBDECDBECADEAABAC学问点 4 相像三角形的概念（1）定义： 对应角相等, 对应边成比例的三角形,叫做相像三角形相像用符号 “ ”表示, 读作“ 相似于”相像三角形对应边的比叫做相像比 或相像系数 相像三角形对应角相等,对应边成比例注： 对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上次序性：相像三角形的相像比是有次序的两个三角形外形一样,但大小不肯定一样全等三角形是相像比为 1 的相像三角形（2）三角形相像的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相像 . 2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等,两三角形相像AA 3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像SAS 4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例,两三角形相像SSS 5、判定定理 4：直角三角形中, “ HL”全等与相像的比较：三角形全等 三角形相像两角夹一边对应相等 ASA 两角对应相等两角一对边对应相等 AAS 两边对应成比例,且夹角相等两边及夹角对应相等 SAS 三边对应成比例三边对应相等 SSS 、HL）“ HL”（3）射影定理：就如图, Rt ABC中, BAC=90° , AD是斜边BC上的高,BAC AD2=BD·DC, AB2=BD·BC ,D AC2=CD·BC . 学问点 5 相像三角形的性质1 相像三角形对应角相等,对应边成比例2 相像三角形周长的比等于相像比名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 相像三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比4 相像三角形面积的比等于相像比的平方学问点 6 相像三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“ 平行线型” 的相像三角形（有“A型” 与“X 型” 图）（有“ 反 A共角型” 、EACAEDDEAB1CB3C2 如图：其中 1=2,就 ADE ABC称为“ 斜交型” 的相像三角形；“ 反 A 共角共边型” 、“ 蝶型” ）AAD1B2E1D4BE1DB2C2C3 一线三等角的变形: 学问点 7 等积式证明题常用方法归纳：1 总体思路 : “ 等积” 变“ 比例”,“ 比例” 找“ 相像”2 找相像： 通过“ 横找” “ 竖看”查找三角形, 即横向看或纵向查找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相像的,就可证明这两个三角形相像,然后由相像三角形对应边成比例即可证的所需的结论 . 3 找中间比：如没有三角形 即横向看或纵向查找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上 ,就需要进行“ 转移” 或“ 替换” ,常用的“ 替换” 方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换 . 即：找相像找不到,找中间比；方法：将等式左右两边的比表示出来；4 添加帮助线：如上述方法仍不能奏效的话,可以考虑添加帮助线 通常是添加平行线 构成比例 . 注：添加帮助平行线是获得成比例线段和相像三角形的重要途径；平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相像三角形或比例线段；学问点 8 相像多边形的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 相像多边形周长比,对应对角线的比都等于相像比2 相像多边形中对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比3 相像多边形面积比等于相像比的平方留意：相像多边形问题往往要转化成相像三角形问题去解决,因此,娴熟把握相像三角形学问是 基础和关键学问点 9 位似图形有关的概念与性质（1） 位似图形是相像图形的特例,位似图形不仅相像,而且对应顶点的连线相交于一点 . （2） 位似图形肯定是相像图形,但相像图形不肯定是位似图形 . （3） 位似图形的对应边相互平行或共线 . （4）位似图形具有相像图形的全部性质 . 位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比 . 在平面直角坐标系中,假如位似是以 原点 为位似中心, 相像比为 k,那么位似图形对应点的坐标比等 于k或-k. （如位似中心不是原点,就向坐标轴作垂直构造直角三角形,利用相像解决或是先平移到原 点,求出对应点的坐标再平移回去）学问点一：平行线成比例定理 典型例题例 1、如图,平行四边形ABCD 中E是BC上的一点,BE3,AE交BD于点F,DEC4BF6cm,求BE及DF的值；ADAF例 2. 如图,平行四边形 ABCD的对角线 AC与 BD相交BEC于 O,E 是 CD的中点, AE交 BD于 F,就 DF:FO_；跟踪练习 1：如图,平行四边形ABCD中, O1、O2、O3为对角线 BD上三点,且 BO1O1O2名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - O2O3O3D,连结 AO1并延长交 BC于点 E,连结 EO3 并延长交 AD于 F,就 AD:FD等于（）； A、19:2 ； B 、9:1 ； C 、8:1 ； D 、7:1 2、如图,在平行四边形 ABCD中 R在 BC的延长线上, AR交 BD于 P,交 CD于 Q,如 DQCQ4:3 ,就 APPR3、2022.湖南株洲 ,第 7 题 3 分如图,已知ADRPQBCAB、CD、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是B、D、F,且 AB1,CD 3,那么 EF 的长是 AE第7题图CA1 3B2 3C3 4D4 5BFD4、（2022.甘肃武威 ,第 9 题 3 分）如图, D、E 分别是 ABC 的边 AB、BC 上的点, DE AC,如 S BDE ：S CDE=1：3,就 S DOE：S AOC 的值为（）,两条直线与这三条ABCD5、（2022.四川乐山 ,第 5 题 3 分）如图,平行线分别交于点A、B、C 和 D、E、F已知,就的值为（）CDAB名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点二、相像三角形的判定典型例题例 1、如图, CD是 Rt ABC斜边上的中线,过点AC的延长线于点 E,求证：CD2DEDFD垂直于直线 AB的直线交 BC与点 F,交ECFADB例 2、在 ABC 中, AD 是 BAC 的外角平分线,CE AB ,求证ABDEADACF AEBCD例 3、如图,在 ABC 中, AD 是角平分线, E 是 AD 上的一点,且CE = CD,求证：ABAEACADAE例 4、已知,如图,在CBA；BDCABC中, C=60 0,ADBC于 D,BEAC于 E,试说明 CDEA E 名师归纳总结 B D C 第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 课后自我练习1. 如图,在 ABC中, AD为中线, CF为任意直线且交 AD于点 E,交 AB于点 F,求证：AE = ED2AFFAFBEBDC2. 如图,已知ABACBC,试说明： AB· ECAC·BD；ADAEDEADBCE3. 在 ABC中, M是 AC边的中点,且 AE= 1 BA,连接 EM,并延长交 BC的延长线于 D,4 求证 : BC=2CD 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知,如图, F 为 ABCD 边 DC延长线上一点,连结 明 AE 2=EG·EF AF,交 BC于 G,交 BD于 E,试说A D E B C F G 名师归纳总结 5、已知：在ABC中, BAC=90 0 AD BC于 D,P 为 AD中点, BP延长线交 AC于 E,EF第 8 页,共 8 页BC于 F , 求证： EF2=AE· AC - - - - - - -