2022年第讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第 2 讲 相交线与平行线动点提高题学问点：1、平行线的判定：同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；平行；同旁内角互补,两直线2、推论：在同一平面内,假如两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行；3、平行线的性质：两直线平行,同位角相等；两直线平行,内错角相等；两直线平行,同旁内角互 补；4、平移：平移前后的两个图形外形大小不变,位置转变；对应点的线段平行且相等；平移： 在平面内, 将一个图形沿某个方向移动肯定的距离,移变换,简称平移；图形的这种移动叫做平移平对应点： 平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样 的两个点叫做对应点；动点型问题是最近几年中考的一个热点题型,所谓“ 动点型问题” 是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 敏捷运用有关数学学问解决问题 . 关键 : 动中求静 . 在变化中找到不变的性质是解决数学“ 动点” 探究题的基本思路 , 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质；典型例题例 1. （1）如图（ 1）,EFGF,垂足为 F, AEF=150° , DGF=60° 试判定 AB和 CD的位置关系,并说明理由（2）如图（ 2）,AB DE, ABC=70° , CDE=147° , C=_（直接给出答案）（3）如图（ 3）,CD BE,就 2+3- 1=_（直接给出答案）（4）如图（ 4）,AB CD, ABE=DCF,求证： BE CF解（ 1）： AB CD理由：如答图,过点 F 作 FH AB,就 AEF+EFH=180° AEF=150° , EFH=30° ,又 EFGF, HFG=90° -30 ° =60° 又 DGF=60° , HFG=DGF,HF CD,第 1页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 AB CD；（2）延长 ED交 BC于点 FAB DE, BFE=ABC=70° ,就 CFE=180° - BFD=110° , C=CDE-CFE=147° -110 ° =37° ,故答案是： 37° ；（3）延长 DC交 AB于点 F,作 ACF的外角 4CD BE, DFB=3,又 DFB+ 2+4=360° , 2+3+ 4=360° ,即 2+3=360° - 4 2+3- 1=360° - 4- 1=360° -180 ° =180° ,故答案是： 180° ；（4）延长 BE交直线 CD于点 GAB CD, ABE=BGD,又 ABE= DCF, BGF=DCF,BE CF例 2. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图 1如 AB CD点 P在 AB、 CD外部求证： BPD=B- D；（2）将点 P 移到 AB、CD内部 如图 2（1）中的结论是否成立 如成立 说明理由：如不成立 就 BPD、 B、 D之间有何数量关系 不必说明理由；（3）在图 2 中 将直线 AB绕点 B 逆时针方向旋转肯定角度交直线 CD于点 Q 如图 3 就BPD、 B、 D、 BQD之间有何数量关系 并证明你的结论；（4）在图 4 中 如 A+ B+C+D+E+F+G=n× 90°就 n=_解（ 1） AB CD, B=BOD,而 BOD=BPD+D, B=BPD+D,即 BPD=B- D；（2）（ 1）中的结论不成立,BPD=B+D作 PQ AB,如图 2,AB CD,AB PQ CD,第 2页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1=B, 2=D, BPD=B+D；（3） BPD=B+D+BQD理由如下：连结 QP并延长到 E,如图 3, 1=B+ BQP, 2=D+DQP, 1+2= B+BQP+D+DQP, BPD=B+D+BQD；（4）连结 AG,如图 4, B+F= BGA+FAG, A+B+ C+D+E+F+G=A+FAG+C+D+E+BAG+G=（5-2 ）× 180° = 6× 90° ,n=6故答案为 6例 3. 如图,直线 AC BD,连结 AB,直线 AC、BD及线段 AB把平面分成、四个部分,规定：线上各点不属于任何部分；当动点 P落在某个部分时,连结 PA、PB,构成PAC、APB、PBD三个角； 提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0° 1 当动点 P落在第部分时,求证：APB PAC PBD；2 当动点 P落在第部分时,APB PAC PBD是否成立 直接回答成立或不成立 ？P 3 当动点 P 落在第部分时,全面探究PAC、 APB、 PBD之间的关系,并写出动点的详细位置和相应的结论；挑选其中一种结论加以证明； AC AC ACPBDBDBD（1）解法一：如图9- 1第 5 题图 延长 BP交直线 AC于点 E AC BD , PEA = PBD . APB = PAE + PEA , APB = PAC + PBD .解法二：如图9- 2过点 P 作 FP AC , PAC = APF . AC BD , FP BD . FPB =PBD . APB=APF+FPB=PAC + PBD. 解法三：如图 AC BD , 9- 3, CAB +ABD = 180°即 PAC +PAB +PBA +PBD = 180° . 又 APB +PBA+PAB = 180° , APB=PAC +PBD . （2）不成立 . （3） a 当动点 P 在射线 BA的右侧时,结论是PBD=PAC+APB . b 当动点 P 在射线 BA上,结论是 PBD =PAC +APB .或PAC =PBD+APB 或 APB = 0° ,PAC = PBD（任写一个即可）. c 当动点 P 在射线 BA的左侧时,第 3页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结论是 PAC = APB + PBD . 挑选 a 证明：如图 9- 4,连接 PA,连接 PB交 AC于 M AC BD , PMC =PBD . 又 PMC =PAM +APM , PBD =PAC +APB . 9- 5 挑选 b 证明：如图点 P 在射线 BA上, APB = 0° . AC BD , PBD = PAC . PBD = PAC + APB 或 PAC=PBD+ APB 或APB = 0° , PAC = PBD. 挑选 c 证明：如图 9- 6,连接 PA,连接 PB交 AC于 F AC BD , PFA =PBD . PAC =APF +PFA , 考点训练一挑选题1将始终角三角板与两边平行的纸条如下列图放置,以下结论：（ 1） 1=2；（ 2） 3=4；（3） 2+4=90° ；（4） 4+5=180° ,其中正确的个数是（）A1 B 2 C3 D4 【分析】依据两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,及直角三角板的特别性解答解：纸条的两边平行,（ 1） 1=2（同位角）；（2） 3= 4（内错角）；（4） 4+ 5=180° （同旁内角）均正确；又直角三角板与纸条下线相交的角为 90° ,（ 3） 2+4=90° ,正确应选： D2如图, A0B的两边 OA,OB均为平面反光镜,A0B=40° 在射线 OB上有一点 P,从 P点射出一束光线经 OA上的 Q点反射后,反射光线 QR恰好与 OB平行,就 QPB的度数是（）A60° B 80° C100°D120°【分析】依据两直线平行,同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可运算即可解： QR OB, AQR=AOB=40° , PQR+QPB=180° ； AQR=PQO, AQR+ PQO+RQP=180° （平角定义） , PQR=180° 2AQR=100° , QPB=180° 100° =80° 应选： B3如图,直线l 1 l 2, A=125° , B=85° ,就 1+2=（）第 4页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A30° B 35° C36° D40°【分析】过点A 作 l 1 的平行线,过点B 作 l 2 的平行线,依据两直线平行,内错角相等可得3=1, 4=2,再依据两直线平行,同旁内角互补求出即可得解解：如图,过点A 作 l 1 的平行线,过点B作 l 2 的平行线, 3=1, 4=2,l1 l2,AC BD, CAB+ABD=180° , 3+4=125° +85° 180° =30° , 1+2=30° 应选： ACAB+ABD=180° ,然后运算4如图,把矩形ABCD沿直线 EF折叠,如 1=20° ,就 2=（）A80° B 70° C40° D20°【分析】过 G点作 GH AD,就 2=4,依据折叠的性质3+4=B=90° ,又 AD BC,就HG BC,依据平行线性质得1= 3=20° ,所以 24=90° 20° =70° 解：过 G点作 GH AD,如图, 2=4,矩形 ABCD沿直线 EF 折叠, 3+4=B=90° ,AD BC,HG BC, 1=3=20° , 4=90° 20° =70° , 2=70° 应选 B5如图,已知 DE 由线段 AB 平移得到的,且 AB=DC=4cm ,EC=3cm,就 DCE 的周长是（）A 9cm B10cm C11cm D12cm 6如图,将 ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到 DEF,如 ABC 的周长为 16cm,就四边形ABFD 的周长为（）第 5页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 16cm B18cm C20cm D22cm 二填空题1. 如图,方案把河水引到水池A中,先作 AB CD,垂足为 B,然后沿 AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上全部点的连线中,垂线段最短【分析】 过直线外一点作直线的垂线,这一点与垂足之间的线段就是垂线段,且垂线段最短解：依据垂线段定理,连接直线外一点与直线上全部点的连线中,垂线段最短,沿 AB开渠,能使所开的渠道最短故答案为：连接直线外一点与直线上全部点的连线中,垂线段最短2用等腰直角三角板画AOB=45° ,并将三角板沿 OB方向平移到如下列图的虚线处后绕点 M逆时针方向旋转 22° ,就三角板的斜边与射线 OA的夹角 为 22 度【分析】由平移的性质知,AO SM,再由平行线的性质可得WMS=OWM,即可得答案解：由平移的性质知,AO SM,故 WMS=OWM=22° ；故答案为： 223如图,直线 AE BD,点 C在 BD上,如 AE=4,BD=8, ABD的面积为 16,就 ACE的面 积为 8 【分析】依据两平行线间的距离相等,可知两个三角形的高相等,所以依据ABD的面积可 求出高,然后求ACE的面积即可解：在ABD中,当 BD为底时,设高为 h,h ,在 AEC中,当 AE为底时,设高为AE BD,h=h , ABD的面积为 16,BD=8,h=4第 6页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 ACE的面积 =× 4× 4=8三解答题1如图,已知,l1 l2,C1 在 l1上,并且 C1Al2,A为垂足, C2,C3是 l1 上任意两点,点B在 l 2 上设 ABC1的面积为 S1, ABC2 的面积为 S2, ABC3 的面积为 S3,小颖认为 S1=S2=S3,请帮小颖说明理由【分析】依据两平行线间的距离相等,即可解答解：直线 l1 l2, ABC1, ABC2, ABC3的底边 AB上的高相等, ABC1, ABC2, ABC3这 3 个三角形同底,等高, ABC1, ABC2, ABC3这些三角形的面积相等即 S1=S2=S3AB CD, BE平分 ABC,DE平分 ADC, BAD=80° ,试求：2如图,已知（1） EDC的度数；（2）如 BCD=n° ,试求 BED的度数【分析】（1）由 AB与 CD平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由 DE为角 平分线,即可确定出EDC的度数；（2）过 E 作 EF AB,就 EF AB CD,利用两直线平行,内错角相等以及角平分线的定义求得 BEF的度数,依据平行线的性质求得解：（1） AB CD, ADC=BAD=80° ,又 DE平分 ADC, EDC= ADC=40° ；（2）过 E作 EF AB,就 EF AB CDAB CD, ABC=BCD=n° ,又 BE平分 ABC, ABE= n° ,EF AB, BEF=ABE= n° ,EF CD, FED=EDC=40° , BED= n° +40° FED的度数,就 BED即可求解3 ABC在如下列图的平面直角中,将其平移后得ABC ,如 B 的对应点 B 的坐标是（ 4,1）第 7页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）在图中画出ABC ；（2）此次平移可看作将ABC向 左 平移了 2 个单位长度, 再向 下 平移了 1 个单位长度得ABC ；（3） ABC 的面积为 10 【分析】（1）依据“B 的对应点 B 的坐标是（ 4,1）” 的规律求出对应点的坐标,顺次连接即可（2）通过作图可直接得到答案是：向左平移2 个单位长度,向下平移1 个单位长度（3）平移后的面积与原面积相同,可用补全法求面积解：（1）如图（2）向左平移 2 个单位长度,向下平移 1 个单位长度 （平移的次序可颠倒）（3）把ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去,即可求得ABC 的面积 = ABC的面积为 =24 4 4 6=10作平移图形时, 找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离, 先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中全部关键点的对应点；按原图形次序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形4试验证明,平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（1）如图,一束光线 m射到平面镜 a 上,被 a 反射到平面镜 b 上,又被 b 反射如被 b 反射出的光线 n 与光线 m平行,且 1=38° ,就 2= 76 ° , 3= 90 ° （2）在（ 1）中,如 1=55° ,就 3= 90 ° ；如 1=40° ,就 3= 90 ° （3）由（ 1）、（2）,请你猜想：当两平面镜 a、b 的夹角 3= 90 ° 时,可以使任何射到平面镜 a 上的光线 m,经过平面镜 a、b 的两次反射后,入射光线 m与反射光线 n 平行你能说明理由吗？【分析】（1）依据入射角与反射角相等,可得1=5,7=6,依据邻补角的定义可得4=104° ,依据 m n,所以 2=76° , 5=38° ,依据三角形内角和为 180° ,即可求出答案；（2）结合题（ 1）可得 3 的度数都是 90° ；（3）证明 m n,由 3=90° ,证得 2 与 4 互补即可第 8页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）入射角与反射角相等,即1=5, 7=6,又 1=38° , 5=38° , 4=180° 1 5=104° ,m n, 2=180° 4=76° ,2=52° , 6=（180° 76° ）÷ 3=180° 6 5=90° ；（2）由（ 1）可得当 1=55° 和 1=40° 时,3 的度数都是 90° ；（3） 3=90° , 6+5=90° ,又由题意知 1= 5, 7=6, 2+4=180° （ 7+6）+180° （ 1+ 5）,=360° 2 5 26,=360° 2（ 5+6）,=180° 由同旁内角互补,两直线平行,可知： m n故答案为： 76° , 90° 90° , 90° 90° 5如图,已知直线l 1 l 2,l 3、l 4和 l 1、l 2 分别交于点A、 B、C、D,点 P 在直线 l 3或 l 4 上且不与点 A、B、 C、D重合记 AEP=1, PFB=2, EPF=3（1）如点 P 在图（ 1）位置时,求证：3=1+2；（2）如点 P 在图（ 2）位置时,请直接写出1、 2、 3 之间的关系；（3）如点 P 在图（ 3）位置时,写出1、 2、 3 之间的关系并赐予证明【分析】此题三个小题的解题思路是一样的,过P作直线 l 1、l 2的平行线,利用平行线的性质得到和 1、 2 相等的角,然后结合这些等角和3 的位置关系,来得出1、 2、 3的数量关系证明：（1）过 P 作 PQ l 1 l 2,由两直线平行,内错角相等,可得：1=QPE、 2=QPF； 3=QPE+QPF, 3=1+2（2）关系： 3=2 1；过 P 作直线 PQ l1 l2,就： 1=QPE、 2=QPF； 3=QPF QPE, 3=2 1（3）关系： 3=360° 1 2过 P 作 PQ l 1 l 2；同（ 1）可证得： 3=CEP+DFP； CEP+1=180° , DFP+2=180° , CEP+DFP+ 1+2=360° ,第 9页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即 3=360° 1 26如图,直线 CB OA, C=OAB=100° , E、F 在 CB上,且满意 FOB=AOB,OE平分COF （1）求 EOB的度数；（2）如平行移动 AB,那么 OBC：OFC的值是否随之发生变化？如变化,找出变化规律或求出变化范畴；如不变,求出这个比值（3）在平行移动AB的过程中, 是否存在某种情形,使OEC=OBA？如存在,求出其度数；如不存在,说明理由【分析】（1）依据两直线平行,同旁内角互补求出可得解；AOC,然后求出 EOB= AOC,运算即（2）依据两直线平行, 内错角相等可得AOB= OBC,再依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得OFC=2OBC,从而得解；（3）依据三角形的内角和定理求出COE=AOB,从而得到 OB、OE、OF是 AOC的四等分线,再利用三角形的内角和定理列式运算即可得解解：（1） CB OA, AOC=180° C=180° 100° =80° ,OE平分 COF, COE=EOF, FOB=AOB, EOB=EOF+ FOB= AOC= × 80° =40° ；（2） CB OA, AOB=OBC, FOB=AOB, FOB=OBC, OFC=FOB+ OBC=2 OBC, OBC： OFC=1：2,是定值；（3）在 COE和 AOB中, OEC=OBA, C=OAB, COE=AOB,OB、OE、OF是 AOC的四等分线, COE= AOC= × 80° =20° , OEC=180° C COE=180° 100° 20° =60° ,故存在某种情形,使OEC=OBA,此时 OEC=OBA=60° 第10页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图 1,如 AB CD,点 P 在 AB、CD内部, B=50° , D=30° ,求 BPD（2）如图 2,将点 P 移到 AB、CD外部,就 BPD、 B、 D之间有何数量关系？请证明你 的结论（2）如图 3,写出 BPD B D BQD之间的数量关系？（不需证明）（3）如图 4,求出 A+B+C+D+E+F 的度数解: （1）过点 P 作 PE AB,AB CD,AB EP CD, B=1=50° , D=2=30° , BPD=80° ；（2） B=BPD+ D理由如下：设 BP与 CD相交于点 O,AB CD, BOD= B,在 POD中, BOD=BPD+D, B=BPD+D（3）如图,连接 QP并延长,结论： BPD=BQD+B+ D（4）如图,由三角形的外角性质, 1+2+C+D=360° ,A+E=1, B+ F=2, A+B+C+D+E+ F=360° 8如图 1,直线 MN与直线 AB、CD分别交于点E、F, 1 与 2 互补第 11页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）试判定直线 AB与直线 CD的位置关系,并说明理由；（2）如图 2, BEF与 EFD的角平分线交于点 且 GHEG,求证： PF GH；P,EP与 CD交于点 G,点 H是 MN上一点,（3）如图 3,在（2）的条件下,连接 PH,K是 GH上一点使 PHK=HPK,作 PQ平分 EPK,问 HPQ的大小是否发生变化？如不变,恳求出其值；如变化,说明理由【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角AB CD；AEF、 CFE 互补,所以易证（2）利用（ 1）中平行线的性质推知° ；然后依据角平分线的性质、三角形内角和定理证得EPF=90° ,即 EGPF,故结合已知条件GHEG,易证 PF GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得4=90° 3=90° 22；然后由邻补角的定义、 角平分线的定义推知QPK= EPK=45° +2；最终依据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ的大小不变,是定值45° 解：（1）如图 1, 1 与 2 互补, 1+2=180° 又 1=AEF, 2=CFE, AEF+CFE=180° ,AB CD；（2）如图 2,由（ 1）知, AB CD, BEF+EFD=180° P,又 BEF与 EFD的角平分线交于点 FEP+EFP= （ BEF+EFD）=90° , EPF=90° ,即 EGPFGHEG,PF GH；（3） HPQ的大小不发生变化,理由如下：如图 3, 1=2, 3=22又 GHEG, 4=90° 3=90° 22 EPK=180° 4=90° +22PQ平分 EPK, QPK= EPK=45° +2 HPQ=QPK 2=45° , HPQ的大小不发生变化,始终是 45° 第12页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11画图并填空：如图, ABC 的顶点都在方格纸的格点上,将 ABC 向下平移 2 倍,再向右平移 3 格（1）请在图中画出平移后的 AB；（2）在图中画出 的 AB的高 CD（标出点 D 的位置）；（3）假如每个小正方形边长为 1,就 AB的面积 =（答案直接填在题中横线上）第13页（共 13页）名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页