2022年线性代数课件.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - § 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算例 4 用初等行变换求矩阵A可逆解§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 例 5 解矩阵方程 AXB C ,其中解 X A-1CB-1 ,由例 4 知§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 解 X A-1CB-1,由例 4 知§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 用初等列变换求逆矩的方法 : 设方阵 A可逆 , 就存在初等矩阵§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 3. 分块对角矩阵的逆矩阵 设分块对角矩阵§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 例 6 求矩阵 A可逆,解§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 本节学习要求 1. 懂得相伴矩阵与逆矩阵的概念, 会用相伴矩阵求低阶可逆矩阵的逆； 2. 把握用初等行变换求逆矩阵的方法,会解矩阵方程； 3.把握分块对角矩阵的逆矩阵的求法； 4. 懂得各定理,知道其作用,熟识矩阵可逆的充要条件,会判定矩阵是否可逆,熟识矩阵与其相伴矩阵的关系；作业：习题 3.2 A 第 2 2 , 8, 11 题§ 3 矩阵的秩 本节教学内容 1. 矩阵的秩的概念 2. 用初等变换求矩阵的秩 3. 矩阵的秩的争论§ 3 矩阵的秩 1. 矩阵名师归纳总结 的秩的概念定义 3.1 在 n× m矩阵 A 中,取某 k 个行及某 k 个列 1 kmin 第 1 页,共 5 页n,m ,由这些行与列相交处的元素其 位置次序不变构成一个 k 阶行列式,叫做 A 的一个 k 阶子式；注：n× m矩阵 A 的 k 阶子式共有§ 3 矩阵的秩定义3.2 如矩阵 A的一个 r 阶子式的值不等于零,而所以 r+1 阶子式 存在的话的值都等于零,就称数 r 为矩阵 A的秩,记作 R A ,规定 R O 0. 性质 设 A 为n× m矩阵,就 R A min n,m ； R AT R A . § 3 矩阵的秩例 1 1 求矩阵 A 的秩解 A 的 2 阶子式 A 的 3 阶子式只有 .A., § 3 矩阵的秩例 1 2 求矩阵 B 的秩解 B 的 3 阶子式 B 的 4 阶子式都等于 0,行阶梯形矩阵- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的秩非零行的行数§ 3 矩阵的秩 2. 用初等变换求矩阵的秩定理 3.1 如矩阵 A 经过有限次初等变换化为 B, 就 R A R B . 证： 略 注：如将 A 化为行阶梯形矩阵 B,易知 A 的秩； 推论 3.1 如 A.B,就 R A R B . 推论 3.2 设A为 m× n 矩阵,P 为 m阶可逆矩阵, Q 为 n 阶可逆矩阵, 就 R A R PA R AQ R PAQ § 3 矩阵的秩 例 2 求矩阵 A 的秩 解 § 3 矩阵的秩所以 R A 3. § 3 矩阵的秩 3. 矩阵的秩的争论 概念 设 A 为 m× n 矩阵,当 R A m时,称 A 为行 满秩矩阵；当 R A n ,称 A 为列满秩矩阵；设 A 为 n 阶方阵,当 R A n 时,称 A为满秩矩阵,当 R A n 时,称 A 为降秩矩阵；特点 A满秩 . .A. 0 . A 可逆 . A 非奇特, A降秩 . .A. 0 . A不行逆 . A 奇特 . § 3 矩阵的秩 定理 3.2 设 A 为 m× n 行满秩矩阵,就存在 n× m列满秩矩阵 B,使 AB E. 证 R A m min n,m , mn. 如 n m,就 A 为满秩矩阵, A可逆,取 B A-1, 有 AB E,B可逆, B 为 n× m列满秩矩阵；如 m n,就由 R A m 知 A 有 m阶子式 .A1. 0, A 经初等列变换可使 A1 位于名师归纳总结 矩阵的前 m列, 即存在可逆矩阵 P 使 AP A1, A2 . § 3 矩阵的秩由推论第 2 页,共 5 页3.2 知即 B为 n× m列满秩矩阵； # § 3 矩阵的秩例 3 设 A 为 m× n 矩阵, B 为 n× p 矩阵,证明 R AB R A +R B -n. 证 设 R A r ,就存在 m阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆 矩阵 Q使§ 3 矩阵的秩留意到 B1是Q-1B去掉 n-r 行得到的,而矩阵每去掉一行,就秩数减 1 或不变,因此所以注 在例 3 中如 AB 0,就有 R A +R B n. n为 A 的列数§3 矩阵的秩例 4 设 A为 n 阶方阵 n 2 ,A*为 A的相伴矩阵 , 试证 当 R A n时, R A* n ； 当 R A n-1 时, R A* 1 ； 当 R A n-1时, R A* 0. 证 当 R A n 时, 当 R A n-1 时, § 3 矩阵的秩例 4 设 A 为 n 阶方- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 阵 n 2 ,A*为 A的相伴矩阵 , 试证 当 R A n 时, R A* n ； 当 R A n-1时, R A* 1 ； 当 R A n-1 时, R A* 0. 证 当 R A n-1 时, 当R A n-1 时, § 3 矩阵的秩 本节学习要求 1. 懂得矩阵的秩的概念, 2. 把握初等变换求矩阵的秩 3. 会争论矩阵的秩 作业：习题 3.3 A 第 5 题 线性代数第三章 第三章 可逆矩阵 本章教学内容§ 1 可逆矩阵的定义及性质§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算§ 3 矩阵的秩§ 1 可逆矩阵的定义及性质本节教学内容 1. 可逆矩阵的概念 2. 可逆矩阵的性质§ 1 可逆矩阵的定义及性质 1. 可逆矩阵的概念 考察矩阵方程 AX C, 问 X . 矩阵不存在除法,怎么办？ 我们自然想到,如存在B, 使 BA E, 就有 BAX BC ,即 X BC 不用除法,解方程 2x 4 B叫做 A的逆矩阵§ 1 可逆矩阵的定义及性质定义 1.1 设 A为 n 阶方阵,如存在 n 阶方阵 B,使得 AB BA E 就称方阵 A 为可逆矩阵,并称 B 是 A 的逆矩阵,简称 A 的逆； 注: 可逆矩阵与逆矩阵是同阶方阵,非方阵不论 及可逆性,方阵不肯定可逆；例 § 1 可逆矩阵的定义及性质 注:可逆矩阵也称非退化矩阵,不行逆矩阵称退化矩阵；§ 1 可逆矩阵的定义及性质 2. 可逆矩阵的性质 性质 1 可逆矩阵的逆矩阵是唯独的 . 证 设矩阵 B,C 均为矩阵 A 的逆矩阵,就 BA AB E, CA AC E, 于是 B BE B AC BA C EC C. # 记号 : A 的逆矩阵记做 A-1. § 1 可逆矩阵的定义及性质 例 证明 : 初等矩阵可逆且 证 所以命题成立 . # § 1 可逆矩阵的定义及性质 例§ 1 可逆矩阵的定义及性质 性质 2 如 A可逆,就 A-1 可逆,且 A-1 -1 A. 证 所以 A-1 可逆,且 A-1 -1 A. # 性质3 证 # 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - § 1 可逆矩阵的定义及性质性质 4 如 A可逆,就 AT可逆,且 AT -1 A-1 T. 证故 AT 可逆,且 AT -1 A-1 T. # 性质 5 如 A,B 同阶且都可逆,就 AB可逆,且 AB -1 B-1A-1 证 故 AB 可逆,且AB -1 B-1A-1 . # § 1 可逆矩阵的定义及性质 注 一般的, AB -1 A-1B-1 推论 1 如 A1, A2, , Am, 都是 n 阶可逆矩阵,就 推论 2 如 A 可逆,m为正整数,就 Am可逆,且于是,对一切整数 k,l ,有 AkAl Ak+l , Ak l Akl. § 1 可逆矩阵的定义及性质 本节学习要求 理解逆矩阵的概念,熟识逆矩阵的性质,会用定义验证逆矩阵；作业：习题 3.1 A 第 3 题§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 本节教学内容 1. 相伴矩阵与逆矩阵的运算 2. 用初等变换求逆矩阵 3. 分块对角矩阵的逆矩阵§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 1. 相伴矩阵与逆矩阵的运算 定义 2.1 设 n 阶方阵 A aij , 元素 aij 在.A.中的代数 余子式为 Aij ,就矩阵称为 A的相伴矩阵；§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 定理 2.1 设 A为 n 阶方阵, A*为 A 的相伴矩阵,就 AA* A*A .A.E . 证§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 定理 2.1 设 A为 n 阶方阵, A*为 A的相伴矩阵,就AA* A*A .A.E . 证§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算 定理 2.2 方阵 A 可逆 . .A. 0, 如 A 可逆,就 证 如 A 可逆,就.AA-1 . .AA-1 . .E. 1, .A.名师归纳总结 0；如.A. 0,由定理 2.1 有所以 A 可逆,且 定理作用：判定第 4 页,共 5 页方阵可逆性,求逆阵；§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算例 设 解二阶方阵的逆有规律吗？§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算例 1 设解所以 A 可逆 . § 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算例 1 设解§ 2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的运算例 1 设解§ 2 可逆矩阵的充- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要条件与逆矩阵的运算定理 2.3 方阵 A 可逆 . 存在方阵 B,使 AB E. . A-1 B. 证 . 由定义知. . .AB . .AB . .E. 1, .A. 0, A 可逆, 且 A-1 A-1E A-1 AB A-1A 名师归纳总结 B EB B. # 推论 2.1 设 A,B 均为 n 阶方阵,如 AB E,就 A,B 都可逆,且第 5 页,共 5 页A-1 B, B-1 A. 推论作用：论证方阵可逆- - - - - - -