2022年中考复习专题之三角函数与几何结合.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载与三角函数有关的几何题例 1、如图 3,直线 AB 经过 O 上的点 C ,并且 OAOB , CACB, O 交直线 OB 于 E,D,连接 EC,CD（1）求证：直线AB 是 O 的切线；（2）试猜想 BC,BD,BE三者之间的等量关系,并加以证明；（3）如tanCED1, O 的半径为 3,求 OA的长2析解：（1）证明：如图6,连接 OC OAOB , CACB ,OCAB AB 是 O 的切线（2）BC2=BD×BE名师归纳总结 ED 是直径,ECD902第 1 页,共 8 页EEDC90又BCDOCD90,OCDODC ,BCDE 又CBDEBC ,BCDBECBCBD BC2=BD×BE. BEBC（3）tanCED1,CD12EC2BCDBEC,BDCD1BCEC2设 BDx ,就BC2x 又 BC2=BD×BE,（ 2x）2=xx+6 解之,得x 10,x22BDx0,BDOAOBBDOD325- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、已知：如图, AB 是 O 的直径,AB 10 , DC 切 O 于点 C,AD DC,垂足为 D,AD 交 O 于点 E D C （1）求证： BC EC; E （2）如 cos BEC 4 , 求 DC 的长5 A O B 3、如图, 以线段 AB 为直径的 O 交线段 AC 于点 E,点 M 是 的中点, OM 交 AC于点 D, BOE=60 °,cosC=,BC=2（1）求 A 的度数；（2）求证： BC 是 O 的切线；（3）求 MD 的长度分析：（1）依据三角函数的学问即可得出A 的度数（2）要证 BC 是 O 的切线,只要证明 AB BC 即可（3）依据切线的性质,运用三角函数的学问求出 MD 的长度解答：（1）解： BOE=60 °, A=BOE=30 °（2）证明：在 ABC 中, cosC=, C=60°又 A=30 °, ABC=90 °, AB BC BC 是 O 的切线（3）解：点M 是的中点, OM AE×=6在 Rt ABC 中, BC=2, AB=BC .tan60°=2OA=3, OD=OA=, MD=点评： 此题综合考查了三角函数的学问、切线的判定要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点（即为半径）,再证垂直即可4、如图,已知 Rt ABC 和 Rt EBC , B=90 °以边 AC 上的点 O 为圆心、 OA 为半径的 O 与 EC 相切, D 为切点, AD BC（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明,保留作图痕迹）（2）求证： E=ACB ；名师归纳总结 （3）如 AD=1 ,求 BC 的长第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AC 的分析：（1）如 O 与 EC 相切,且切点为D,可过 D 作 EC 的垂线,此垂线与交点即为所求的 O 点（2）由（1）知 ODEC,就 ODA 、E 同为 ADE 的余角,因此 E=ODA= OAD ,而 AD BC,可得 OAD= ACB ,等量代换后即可证得E=ACB AB ；由于（3）由（ 2）证得 E=ACB ,即 tanE=tanDAC=,那么 BC=AD BC,易证得 EAD EBC,可用 AB 表示出 AE 、BC 的长,依据相像三角形所得比例线段即可求出 AB 的长,进而可得到 BC 的值解答：（1）解：（提示： O 即为 AD 中垂线与 AC 的交点或过 D 点作 EC 的垂线与 AC的交点等）（2）证明：连接 OD AD BC, B=90 °, EAD=90 ° E+EDA=90 °,即 E=90° EDA 又圆 O 与 EC 相切于 D 点, OD EC EDA+ ODA=90 °,即 ODA=90 ° EDA E=ODA ；又 OD=OA , DAC= ODA , DAC= E）AD BC, DAC= ACB , E= ACB （3）解： Rt DEA 中, tanE=,又tanE=tanDAC=,AD=1 , EA= Rt ABC 中, tanACB=,又 DAC= ACB , tanACB=tan DAC =,可设 AB=, BC=2x ,AD BC, Rt EAD Rt EBC=,即x=1,BC=2x=2 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点评： 此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相像三角形的判定和性质等重要学问,能够精确的判定出O 点的位置,是解答此题的关键5、如图,在 ABC 中, AB=AC ,以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D,DE AC,垂足为 E（1）求证：点 D 是 BC 的中点；（2）判定 DE 与 O 的位置关系,并证明你的结论；（3）假如 O 的直径为 9,cosB=,求 DE 的长分析：（1）连接 AD ,依据等腰三角形的性质易证；（2）相切连接 OD ,证明 OD DE 即可依据三角形中位线定理证明；（3）由已知可求 BD ,即 CD 的长；又 B=C,在 CDE 中求 DE 的长解答：（1）证明：连接D 是 BC 的中点；AD AB 为直径, AD BC AB=AC ,（2）DE 是 O 的切线证明：连接 OD BD=DC ,OB=OA ,OD AC AC DE, ODDEDE 是 O 的切线（3）解： AB=9 ,cosB=,BD=3 CD=3 AB=AC , B=C,cosC=在 CDE 中, CE=1,DE=点评： 此题考查了切线的判定、解直角三角形等学问点,属基础题,难度不大6、如图以 ABC 的一边 AB 为直径作 O, O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点,过点 D 作 O 的切线交 AC 边于点 E（1）求证： DEAC ；（2）如 ABC=30 °,求 tanBCO 的值分析：（1）连接 OD ,依据三角形的中位线定理可求出 证明 DEOD ,进而得证OD AC ,依据切线的性质可（2）过 O 作 OF BD,依据等腰三角形的性质及三角函数的定义用 OB 表示出 OF、CF 的长,依据三角函数的定义求解解答：（1）证明：连接OD O 为 AB 中点, D 为 BC 中点,OD AC DE 为 O 的切线, DE OD DEAC 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）解：过 O 作 OFBD,就 BF=FD 在 Rt BFO 中, B=30 °,OF= OB ,BF= OB BD=DC , BF=FD ,FC=3BF= OB 在 Rt OFC 中,tanBCO= = = =点评： 此题比较复杂,综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等学问点,有肯定的综合性7、如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD BC O 是 CD 边的中点,以 O 为圆心, OC长为半径作圆,交 BC 边于点 E过 E 作 EH AB ,垂足为 H已知 O 与 AB 边相切,切点为 F（1）求证： OE AB ；（2）求证： EH= AB ；（3）如,求 的值分析：（1）判定出 B=OEC,依据同位角相等得出 OE AB ；（2）连接 OF,求出 EH=OF=DC=AB （3）求出 EHB DEC ,依据相像三角形的性质和勾股定懂得答解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中, AB=DC , B= C, OE=OC , OEC= C, B=OEC, OE AB （2）证明：连接 OF O 与 AB 切于点 F, OF AB , EHAB ,OF EH,又 OE AB ,四边形 OEHF 为平行四边形,EH=OF ,OF= CD= AB , EH= AB （3）解：连接 DECD 是直径, DEC=90 °,就DEC= EHB ,名师归纳总结 又 B=C, EHB DEC ,=,第 5 页,共 8 页=,设 BH=k ,就 BE=4k ,EH=k,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CD=2EH=2k,=学习必备=欢迎下载点评： 此题考查了圆的切线性质,运用切线的性质来进行运算或论证,常通过作帮助 线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题8、如图,等腰三角形 ABC 中, AC=BC=10 ,AB=12 以 BC 为直径作 O 交 AB 于 点 D,交 AC 于点 G,DFAC,垂足为 F,交 CB 的延长线于点 E（1）求证：直线 EF 是 O 的切线；（2）求 sinE 的值分析：（1）求证直线EF 是 O 的切线,只要连接OD 证明 ODEF 即可；（2）依据 E=CBG,可以把求sinE 的值得问题转化为求sinCBG ,进而转化为求 Rt BCG 中,两边的比的问题解答：（1）证明：方法 1：连接 OD 、CD BC 是直径, CD AB AC=BC D 是 AB 的中点 O 为 CB 的中点,OD AC DF AC, ODEF EF 是 O 的切线方法 2：由于 AC=BC ,所以 A= ABC ,由于 ADF= EDB （对顶角）,OB=OD ,所以 DBO= BDO ,所以 A+ADF= EDB+ BDO=90 ° EF 是 O 的切线（2）解：连 BG BC 是直径, BGC=90 °CD=8 AB .CD=2S ABC=AC .BG,BG= CG=BGAC ,DFAC , BG EF E=CBG ,sinE=sinCBG=点评： 考查切线的判定,要证某线是圆的切线,已知 此线过圆上某点,连接圆心和这点,再证垂直即可名师归纳总结 9、如图 9,直线 y=kx-1 与 x 轴、 y 轴分别交与B、C第 6 页,共 8 页两点, tan OCB=1 . 2（1）求 B 点的坐标和k 的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）学习必备欢迎下载如点 A（x,y）是第一象限内的直线y=kx-1 上的一个动点 . 当点 A 运动过程中,试写出 AOB的面积 S与 x 的函数关系式；（3）探究：当点 A运动到什么位置时,AOB 的面积是 1 ；4在成立的情形下,x 轴上是否存在一点 P,使 POA是等腰三角形 . 如存在,请写出满意条件的全部 P点的坐标；如不存在,请说明理由 . 图 9 名师归纳总结 【答案】解：（ 1） y= kx-1与 y 轴相交于点C,OC=1 第 7 页,共 8 页 tan OCB=1OB1OB= 22OCB 点坐标为：1,02把 B 点坐标为：1, 代入 y= kx-1 02得 k=2 （2） S = 1OByy=kx-1 2S =112x-122S =1 x 214（3）当 S =1 时,41 x 21=144x=1,y=2x-1=1 A 点坐标为（ 1,1）时,AOB的面积为14存在 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 满意条件的全部3学习必备欢迎下载12 分第 8 页,共 8 页P 点坐标为：P11,0, P22,0, P2 ,0, P42 ,0. - - - - - - -