2022年二次函数中的三角形问题3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 一与三角形面积kx二次函数中的三角形P,抛物线yx22 k1x4 k与 x 轴交于例 4.如图 1,已知直线y1x 与抛物线y1x26交于 A,B两点2k与 y 轴交于点24（1）求 A,B两点的坐标；例 1：如图,已知在同一坐标系中,直线y（2）求线段 AB 的垂直平分线的解析式；2A x 1, 0 ,Bx 2,0 两点； C 是抛物线的顶点；（3）如图 2,取与线段 AB 等长的一根橡皮筋, 端点分别固定在A,B两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线 AB上方的抛物线上移动,动点P 将与 A,B构成很多个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？假如存（ 1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示） ；在,求出最大面积,并指出此时P 点的坐标；假如不存在,请简要说明理由yy（ 2）如点 A 在点 B 的左侧,且x 1x 20；当 k 取何值时,直线通过点B；二与三角形外形BBP 是否存在实数k,使SABPSABC？假如存在,恳求出此时抛物线的解析式；假如不存在,请说明理由；OxOxAA 图 1 图 2 例 2： 已知抛物线yx2 m4 x3 m1与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,例 5. 如图,抛物线y2 ax5 ax4经过ABC的三个顶点,已知BCx轴,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,且（ 1）求 m 的取值范畴；（ 2）如m0,直线ykx1经过点 A,与 y 轴交于点 D,且ADBD52,求抛物线的解析式；ACD 的面积？如ACBC PAB是等腰三角形如存在,求出全部符合（1）求抛物线的对称轴；（ 3）如 A 点在 B 点左边,在第一象限内, （2）中所得的抛物线上是否存在一点P,使直线 PA 平分（2）写出 A, ,C三点的坐标并求抛物线的解析式；存在,求出P 点的坐标；如不存在,请说明理由；（3）探究：如点P 是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在条件的点 P 坐标；不存在,请说明理由y 例 3已知矩形ABCD 中, AB2,AD 4,以 AB 的垂直平分线为x 轴, AB 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系A C 1 B x 1 0 如图 ；1写出 A、B、C、D 及 AD 的中点 E 的坐标；2求以 E 为顶点、对称轴平行于y 轴,并且经过点B、C 的抛物线的解析式；3求对角线 BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；4 PEB 的面积 SPEB与PBC 的面积 SPBC具有怎样的关系？证明你的结论；yAEDxO BC第 25 题图 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为 12, ,点 B 的坐标为 31, ,二次函数y2 x 的图象记为抛物线1l 例 8.如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为 2,0,连接 OA,将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转120° ,得到线段 OB（ 1）平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过点A ,但不过点 B ,写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任1求点 B 的坐标；2求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；y写一个即可） P 共3在2中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC 的周长最小？1Bx如存在,求出点C 的坐标；如不存在,请说明理由；（ 2）平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过A,B两点,记为抛物线2l ,如图,求抛物线2l 的函数表达式4假如点 P 是2中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,（ 3）设抛物线2l 的顶点为 C , K 为 y 轴上一点如SABKSABC,求点 K 的坐标那么 PAB 是否有最大面积？A -1O1如有,求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积；如没有,请说明理由（ 4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ,使ABP为等腰三角形如存在,请判定点留意：此题中的结果均保留根号 有几个可能的位置（保留作图痕迹）；如不存在,请说明师第 25 题图 y1ly2ly2l三二次函数与三角形相像1 ABx1 ABx1 ABx例 9：已知一次函数y3 x 412的图象分别交x 轴、 y 轴于 A、C 两点,C 1 O1 OO1 （1）求出 A、C 两点的坐标；图图图（2）在 x 轴上找出点B,使ACB AOC ,如抛物线过A、B、C 三点,求出此抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下,设动点P、Q 分别从 A、B 两点同时动身,以相同速度沿AC、BA 向 C、A 运动,连结PQ,使APm,是否存在m 的值,使以A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相像,如存在,求出全部m 的值；如不存在,请说明理由；例 7. 已知：如图,抛物线yax2bxc经过A1, 0、B5 , 0、C0 , 5三点（ 1）求抛物线的函数关系式；（ 2）如过点 C 的直线 ykxb 与抛物线相交于点 E （4,m）,恳求出 CBE 的面积 S的值；例 10.如图 7,在平面直角坐标系中,抛物线y1x26与直线y1x 相交于 A,B两点OD的长,（ 3）在抛物线上求一点P 使得 ABP0 为等腰三角形并写出P 点的坐标；（ 4）除（ 3）中所求的P 点外,在抛物线上是否仍存在其它的点P 使得 ABP 为等腰三角形？如存在,恳求出一共有几个满意条件的点P （要求简要说明理由,但不证明）；如不存在这样的点P ,请说明理由42（1）求线段 AB 的长y （2）如一个扇形的周长等于（1）中线段 AB 的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最大,最大面积是多少？（3）如图 8,线段 AB 的垂直平分线分别交x 轴、 y 轴于 C,D两点,垂足为点M ,分别求出 OM,OC,C 并验证等式121212是否成立yy1 A 1 O B x OCODOM第 2 页,共 10 页AOBxAD M O CBxE 图 7 图 8 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）如图 9,在 RtABC中,ACB90, CDAB ,垂足为 D ,设 BCa , ACb , ABc CDh ,试说明：111C例 13. 如图,矩形A BC O 是矩形 OABC （边 OA 在 x 轴正半轴上,边OC 在 y 轴正半轴上）绕B 点逆时针旋转得到a2b2h2bhaAcDB的, O 点在 x 轴的正半轴上,B 点的坐标为 13, 图 9 （1）假如二次函数y2 axbxc（a0）的图象经过O , O 两点且图象顶点M 的纵坐标为1,求这个二次函例 11.在直角坐标系中,A 的半径为 4,圆心 A 的坐标为（ 2,0）, A 与 x 轴交于 E、F 两点,与 y 轴交于 C、 D 两数的解析式；点,过点 C 作 A 的切线 BC,交 x 轴于点 B（ 1）求直线 CB 的解析式；（2）在（ 1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ,使得POM为直角三角形？如存在,恳求出P点的坐标和POM的面积；如不存在,请说明理由；（ 2）如抛物线y=ax2+bx+c 的顶点在直线BC 上,与 xy轴的交点恰为点E、 F,求该抛物线的解析式；CB（ 3）试判定点C 是否在抛物线上？（ 4） 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与 AOC 相像？直接写出两组这样的点CAOAOxM例 12. 如图 12,以边长为2 的正方形 ABCD 的对角线所在直线建立平面直角坐标系,抛物线yx2bxc 经过点 B且与直线 AB 只有一个公共点（ 1）求直线 AB 的解析式（3 分）（ 2）求抛物线yx2bxc的解析式（3 分）x 轴于点 M ,问是否存在这样的点P ,使PMCADC？（ 3）如点 P 为（2）中抛物线上一点, 过点 P 作 PM如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由（5 分）yDCAOxB图 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 ：y最小值k21；点 P 的坐标为（ 2,0）（即 A 点）或5,21；这两点均不在第一象限；第一象限内,抛物线上不存在点P,使416例 1：解：（1）PA 平分ACD 的面积；此题第（ 3）小题是存在型问题,是结论开放题,应先假设存在,然后在假设的前提下,通过运算说明在第一象限内不（ 2）解得当k4时,直线过B；k12k1 2,把x0代入直线ykx2k,得y2k,存在符合要求的点（求出的点不在第一象限）,有肯定的难度,主要是这种题型同学不熟识；3例 3. 过C 作CDAB于 D ,就CD22OP2k,x 1x 24 k0；k0 ,2k0,OP2k 2；2k1 222如SABPSABC,即1ABOP1ABCDCD,即k,AB0,OP222解得k 11,k22,k0,取k1,当k1时,SABPSABC222此时所求的抛物线的解析式为：y2 xx2从以上解答中可以看出三角形面积相等作为已知条件的作用是利用三角形的面积公式,再利用同底等高的性质推出线段相等,仅此而已；例 2. 解：（1）m2；0P,使直线 PA 平分ACD 的面积,就直线PA 必过 DC 的中点 M；（ 2）yx25 x6；（ 3）如图,假设在第一象限内,抛物线上存在点D0 ,1 ,C0 ,6,M0 ,7；令yA 在 B 的左侧, A 坐标,就x25x60,解得x 1,2x 23；2是（ 2,0）；设直线 PA 的解析式为ykxb, k076的解为x 12x2521；例 4. 解 （1）解：依题意得y1x26解之得x 163x 24第 4 页,共 10 页就b70 ,解得k77；42b2 kb24直线 AM 的解析式为y7 x 47；方程组y7 4xy1xy 1y 22422yy 19y 2A 6,3 ,B,4 222 x5 x名师归纳总结 16- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）作 AB 的垂直平分线交x 轴, y 轴于 C,D两点,交 AB 于 M （如图 1）G25, ,0H0,2542由（ 1）可知：OA3 5OB2 5yA x1xm 上,GH255x 5199第 5 页,共 10 页AB5 54设 O 到 GH 的距离为 d ,OM1ABOB5OCOM,OC5,B C 1GH d1OG OH2222OM 125 5d12525过 B 作 BEx轴, E 为垂足D 24224由BEOOCM,得：d55OBOE4图 1 2同理：OD5,C5, ,00,5 2DABGH,第 26 题24P 到 AB 的距离等于 O 到 GH 的距离 d 设 CD 的解析式为ykxb k0例 5.解：（1）抛物线的对称轴x5 a5055kbk25y2a2（2）A 3 0B 5 4 C 0 4 4bb把点 A 坐标代入yax25 ax4中,解得a1226AB 的垂直平分线的解析式为：y2x5y1x25x4266y （ 3）如存在点 P 使APB的面积最大,就点P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线C B 2并设该直线与x轴, y 轴交于 G,H两点（如图2）（3）存在符合条件的点 P 共有 3 个以下分三类情形探究设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ,与 CB 交于 M 0 1 P 3 y1xmyH P 2yx26x过点 B 作 BQx 轴于 Q ,易得BQ4,AQ8,2PAN5.5,BM124以 AB 为腰且顶角为角A 的PABP 1有 1 个：1PAB1x21xm60B G AB22 AQBQ2822 48042抛物线与直线只有一个交点,O1241m60,A 在RtANP 1中,PN 12 AP 1AN2AB2AN2805.52242m25P1,234图 2 P 15,199422以 AB 为腰且顶角为角B 的PAB有 1 个：P AB在直线GH：y1x25中,24名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在RtBMP 2中,MP 2BP 2 2BM2AB 2BM28025295121212751173154222164216416P 25 8,2295的顶点 C 2 12或y2 x2 x3,延长 BA 交 y 轴于点 G ,设直线 AB 的函数表达式为ymxn ,Oy图B2lx第 6 页,共 10 页2点A , ,B31, 在直线 AB 上,以 AB 为底,顶角为角P 的PAB有 1 个,即3P AB2mn,解得n .m5. 21,画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ,此时平分线必过等腰ABC2过点3P 作P K 垂直 y 轴,垂足为 K ,明显 3RtPCK 3RtBAQ2x ,yx13 mnh5h5 2直线 AB 的函数表达式为y1x5P KBQ122CKAQ2G 点的坐标为0,52P K 32.5CK5于是OK1P 32.5,1设 K 点坐标为 0,h ,分两种情形：如 K 点位于 G 点的上方,就KGh5例 6.解：（ 1）有多种答案,符合条件即可例如yx21,yx2连结 AK,BKyx22 1,yx122SABKSBKGSAKG13h511（ 2）设抛物线2l 的函数表达式为yx2bxc ,y2l2222点A , ,B31, 在抛物线2l 上,KSABKSABC15,16GACB1bcc2,解得1b9,h515,解得h55x216162ODFE93 bc11. 2K 点的坐标为0,5516图如 K 点位于 G 点的下方,就KG5h 抛物线2l 的函数表达式为yx29x11222同理可得,h25（ 3）y2 x9x11x927,1622416K 点的坐标为0,2516AC 点的坐标为9,74 16（4）作图痕迹如图所示过 A, ,C三点分别作 x 轴的垂线,垂足分别为D, ,F,由图可知,点P 共有 3 个可能的位置就AD2,CF7,BE1,DE2,DF5,FE31644例 7.解：（1）抛物线经过点A1, 0、B5 , 0,SABCS 梯形ADEBS 梯形ADFCS 梯形CFEBya x1x5名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又抛物线经过点C0 , 5,OD1,DB 3 5 a5,a14P 、5P 、6P ,除去 B 、 A 两点 B 的坐标是（ 1,3 ）BC+CA 最小,此时BOC 的周长最小；抛物线的解析式为yx1x5x26x5（ 2） E 点在抛物线上,（2）设所求抛物线的解析式为y2 axbxc ,由已知可得： m = 424× 6+5 = - 3直线 y = kx+b 过点 C（0, 5）、E（4, 3）,c0bk5,3.解得 k = - 2,b = 5abc34b4 a2 bc0设直线 y=- 2x+5 与 x 轴的交点为D,解得：a3, =2 3, =0当 y=0 时, - 2x+5=0,解得 x=5 233 D 点的坐标为（5,0）所求抛物线解析式为y32 x2 3x233 S=S BDC + S BDE=1 2555+1553（备注： a、b 的值各得 1 分）222（3）存在=10由y3x22 3x配方后得：y3x2 13（ 3）抛物线的顶点P 03 ,4既在抛物线的对称轴上又在抛物线上,3333点P 03 ,4为所求满意条件的点抛物线的对称轴为x1（也可用顶点坐标公式求出）（ 4）除P 点外,在抛物线上仍存在其它的点P 使得 ABP 为等腰三角形点 C 在对称轴x1上, BOC 的周长 OB+BC+CO ；OB=2 ,要使BOC 的周长最小,必需BC+CO 最小,理由如下：点 O 与点 A 关于直线x1对称,有 CO=CA AP 0BP 022422 54, BOC 的周长 OB+BC+CO OB+BC+CA 当 A、C、B 三点共线,即点C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时,分别以 A 、 B 为圆心半径长为4 画圆,分别与抛物线交于点B 、1P 、P 、3P 、 A 、设直线 AB 的解析式为ykxb ,就有：k2bb3个点外,其余6 个点为满意条件的点k0第 7 页,共 10 页解得：k3,b2 333直线 AB 的解析式为y3x2 3例 8解：（1）过点 B 作 BDx 轴于点 D,由已知可得：33当x1时,y33所求点 C 的坐标为（ 1,3）OB OA=2, BOD 60°3在 Rt OBD 中, ODB 90° , OBD 30°名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）设 Px,y（2x0,y0）,就y3x22 3xx ,分别过 A、 B 两点作2AEx轴,BFy轴,垂足分别为E、F33AB=OA+OB42 2622 355过点 P 作 PQy 轴于点 Q, PGx 轴于点 G,过点 A 作 AFPQ 轴于点 F,过点 B 作 BEPQ 轴于点 E,就 PQ=PG=y ,由题意可得：AC,16k20 16；（2）设扇形的半径为x ,就弧长为 552 x ,扇形的面积为y第 8 页,共 10 页SPABS 梯形AFEBSAFPSBEP就y1x552xx255xx54521251 2AFBEFE1AF FP1PE BE221622=1 2y3y121yx211x 3ya10当x545时,函数有最大值y最大125223y3x31622（3）过点 A 作 AE x 轴,垂足为点E将代入,化简得：SPAB-3x23x3CD 垂直平分 AB,点 M 为垂足22OM1ABOA525255223x129 3AEOOMC,EOACOM228当x1时, PAB 得面积有最大值,最大面积为9 3； AEO CMOOEAO425CO5251528OMCO5CO244此时y312 313234324同理可得OD5点 P 的坐标为1,321212422220424OCOD55255例 9. 解：（1）A 16,0 ,B0 ,12；124OM5121212（ 2）过 C 点作CBAC,交 x 轴于点 B,明显,点 B 为所求,设Bk,0,ACBAOC ,ABOCODOMACAO20（4）等式111成立理由如下：k9,B90,设yax16x9,把 C 点坐标（ 0, 12）代入上式,得a1；a2b2h212ACB90,CDABy1x16x91x27x12；121212时,使得以A、P、1ab1ABhAB2a2b2（ 3）分两种情形争论：PQ /CB；PQAB；（解略）；结论是：存在m100或m1252299abchQ 为顶点的三角形与ABC 相像；a2b2c2h2从以上两题可以看出与三角形相像有关的二次函数综合题一般都是三角形相像作为求二次函数的条件来解；例 10. 解：（1） A（-4 ,-2 ）,B（6,3）a2b2a2b2 h2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2b22a22b2h2 抛物线的解析式为y3x2283,a2b2hab2h2631a22b2 oF6 0, ,抛物线的对称轴过点CA 为直线x2即y3x22 3x2 3BOPx第 9 页,共 10 页h2ab263111（3）点 C 在抛物线上由于抛物线与y 轴的交点坐标为0 2 3,如图h2a2b21114 存在,这三点分别是E、C、F 与 E、 C 1、F,C1 的坐标为（ 4, 2 3 ）a2b2h2即 ECF AOC、 EC1F AOC,如图例 11.解:（1）方法一：例 12. 解：（1）直线 AB的解析式为：y= -x-1连结 AC ,就 ACBC （2）抛物线y=x 2+bx+c的解析式为：y=x2-x-1OA2,AC4, OC= 2 3 （3）存在这样的点P,使 PMC ADC,P 点的坐标为（ 0,-1 ）；（2, 1）；又 Rt AOC Rt COB,AOOC（2,1-2）；（-2, 1+2）；理由略；OCOB OB=6例 13.解：（1）连结 BO , BOy 点 C 坐标为 0 2 3,点 B 坐标为 6 0, 就 BOBO ,BAOO设直线 BC 的解析式为y=kx+b,AOAOCB ,13可求得直线 BC 的解析式为y3x2 3O2 0, ,M1,1DA3方法二：4a2 bc0OAN连结 AC ,就 ACBC Mabc1OA2,AC4, ACO=30 o, CAO=60c0 CBA=30 o AB=2AC=8解得a1,b2,c0 OB=AB-AO=6以下同证法一 E 2 0, 、所求二次函数的解析式为yx22x（ 1）由题意得,A与 x 轴的交点分别为（2）设存在满意题设条件的点P x,y 抛物线的顶点在直线BC 上, 抛物线顶点坐标为2,8331 连结 OM , PM , OP ,过 P 作 PNx 轴于 N就POM90设抛物线解析式为ya x2283,3M1,1,A , , AMOA 抛物线过点E 2 0, ,MOA450a 22283,解得a336PON45,ONNP即 xy名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P x,y在二次函数y2 x2x 的图象上xx22xOMO为等腰直角三角形第 10 页,共 10 页解得x0或x3P x,y在对称轴的右支上x1x3y3即P3 3, 是所求的点,连结MO ,明显O 为满意条件的点O2 01OM OM1满意条件的点是P2 0, 或P3 3OP3 3,OM2SPOM1OP OM36或SPOM222（ 3）设 AB 与 C O 的交点为D1,y明显 RtADORtC DB在 RtADO中AO2AD2O D2,即1y23y 2解得y4,D1,433设边 C O 所在直线的解析式为ykxb就kb432 kb0解得k4,b833所求直线解析式为y4x8