2022年解一元一次方程.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 一元一次方程的解法（提高篇）【要点梳理 】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称详细做法留意事项1不要漏乘不含分母的项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数2分子是一个整体的,去分母后应加上括号去括号先去小 括号,再去中括号, 最终去大括号1不要漏乘括号里的项2不要弄错符号移 项把含有未知数的项都移到方程的一边,其1移项要变号他项都移到方程的另一边记住移项要变2不要丢项号 合并同类项把方程化成axb a 0的形式字母及其指数不变系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到不要把分子、分母写颠倒方程的解xb要点诠释：a（ 1）解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,骤可以合并简化而且也不肯定要依据自上而下的次序,有些步2 去括号一般按由内向外的次序进行,也可以依据方程的特点按由外向内的次序进行 . （ 3）当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母,留意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆要点二、解特别的一元一次方程 1.含肯定值的一元一次方程 解此类方程关键要把肯定值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去肯定值的依据是肯定值 的意义要点诠释： 此类问题一般先把方程化为axbc的形式,分类争论：c0时,原方程可1当c0时,无解；（2）当c0时,原方程化为：axb0；（3）当化为： axbc或axbc.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式axb,再分三种情形分类争论：（ 1）当 a 0时,xb；（2）当 a0,b0 时, x 为任意有理数； （3）当 a0,b 0时,方a程无解（ 2）【典型例题】类型一、解较简洁的一元一次方程1解方程：1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12 3x5x3；215.4 x320.6 x 2【答案与解析】解： 12 3x5x132移项,合并得x86系数化为 1,得 x48215.4x+32 -0.6x移项,得 15.4x+0.6x-32合并,得 16x -32系数化为 1,得 x -2【总结升华 】方法规律：解较简洁的一元一次方程的一般步骤：1移项： 即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边,把不含未知数的项常数项 放在等式的右边2合并：即通过合并将方程化为axba 0a,即得方程的解xb3系数化为 1：即根 据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a举一反三：【变式】以下方程的解法对不对？假如不对,错在哪里？应当怎样改正？3x+27x+5 解：移项得 3x+7x 2+5,合并得 10x7,7 系数化为 1得 x10【答案】以上的解法是错误的,其错误的缘由是在移项时没有变号,也就是说将方程中右边的7x 移到方程左边应变为-7x,方程左边的2 移到方程右边应变为-2正确解法：解：移项得3x-7x 5-2,合并得 -4x 3,系数化为1 得x234类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：1 2x1x12x123【答案与解析】解法 1：先去小括号得：1x1x12 x 31 x 25212223 1 x 42 3x再去中括号得：4 113移项,合并得：x11212系数化为 1,得：x115解法 2：两边均乘以2,去中括号得：x1x14x232 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 11 11去小括号,并移项合并得：x,解得：x6 6 5解法 3：原方程可化为：1 x 1 1 1 x 1 2 x 12 2 3去中括号,得 1 x 1 1 1 x 1 2 x 12 2 4 3移项、合并,得 5 x 1 112 2解得 x 115【总结升华 】解含有括号的一元一次方程时,一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号,但有时依据方程的结构特点,敏捷恰当地去括号,以使运算简便例如此题的方法 3：方程左、右两边都含 x-1,因此将方程左边括号内的一项x 变为 x-1 后,把 x-1视为一个整体运算3解方程：1 21 1 1x111102 2 2【答案与解析】解法 1：层层去括号 去小括号1 21 1x1 211110,1,得 x302 4去中括号1 12 8x11 2110,4去大括号1x1110,16842移项、合并同类项,得1 16x15,系数化为8解法 2：层层去分母 移项,得1 1 1 12 2 2 2x1111,x114,两边都乘 2,得1 1 2 21x1112,2移项,得1 1 12 2 2x113,2,得1 2两边都乘 2,得1 1 2 2x116移项,得1 21x17,两边都乘23 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 移项,得1 x 15,系数化为 1,得 x302【总结升华 】此题既可以按去括号的思路做,也可以按去分母的思路做举一反三：【变式】解方程1 1 11x16412 3 4 5【答案】解：方程两边同乘2,得1 1 1 3 4 5x1642,移项、合并同类项,得1 1 1x162,3 4 5两边同乘以3,得1 41x1665移项、合并同类项,得1 1x10,4 5两边同乘以4,得1 5x10,移项,得1 5x1,系数化为1,得 x5类型三、解含分母的一元一次方程4解方程：4x1.55x0.81.2x失误0.50.20.1【思路点拨】先将方程中的小数化成整数,再去分母,这样可防止小数运算带来的【答案与解析】解法 1：将分母化为整数得：40x1550 x812 10x521约分,得： 8x-3-25x+4 12-10x 8x-3-25x+4 12-10x 移项,合并得：x117解法 2：方程两边同乘以1,去分母得：移项,合并得：x117【总结升华 】解此题一般是先将分母变为整数,再去分母,如解法 便一些,如解法 2举一反三：1；但有时直接去分母更简名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式】解方程0.4y0.90.30.2y10.50.3【答案】解：原方程可化为 4 y 9 3 2 y 15 3去分母,得 34y+9-53+2y 15去括号 ,得 12y+27-15-10y 15移项、合并同类项,得32y3系数化为1,得y2类型四、解含肯定值的方程5解方程： 3|2x|-20 【思路点拨】将肯定值里面的式子看作整体,先求出整体的值,再求 x 的值【答案与解析】解：原方程可化为：x2 x2x1 3,1 3,c 的形式,再依据（axb）的正负分类讨3当 x 0时,得22,解得：3当 x 0 时,得2x2,解得：x3所以原方程的解是x1 3或 x13bax【总结升华 】此类问题一般先把方程化为论,留意不要漏解举一反三：【变式】解方程 |x-2|-1 0【答案】解：原方程可化为：|x-2|=1,当 x-20,即 x2时,原方程可化为x-21,解得 x3；当 x-20,即 x2 时,原方程变形为 所以原方程的解为 x3 或 x1类型五、解含字母系数的方程-x-2=1 ,解得 x1 K 6. 解关于 x 的方程：mx1nx【答案与解析】解：原方程可化为：mn x11n；b,再依据x系数a是否为零进行当mn0,即 mn时,方程有唯独解为：xm当mn0,即 mn 时,方程无解【总结升华 】解含字母系数的方程时,先化为最简形式ax分类争论5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 举一反三：【变式】如关于x 的方程 k-4x=6 有正整数解,求自然数k 的值 . 【答案】解：原方程有解,k40k4应为 6 的正约数,即k4可为： 1,2, 3,6 原方程的解为：xk k 为： 5,6,7,10 64为正整数,答：自然数k 的值为： 5, 6,7,10.巩固练习题一、挑选题1关于 x 的方程 3x+50 与 3x+3k 1 的解相同,就k 的值为 A -2 B4 3C2 D432以下说法正确选项 A 由 7x4x-3 移项得 7x-4x-3 B由2x11x23去分母得 22x-1 1+3x-3 3C由 22x-1-3x-3 1 去括号得 4x-2-3x-9 4 D由 2x-1 x+7 移项合并同类项得x5 3将方程2x1x311去分母得到方程6x-3-2x-2 6,其错误的缘由是2A 分母的最小公倍数找错B去分母时,漏乘了分母为 1 的项C去分母时,分子部分的多项式未添括号,造成符号错误D去分母时,分子未乘相应的数4解方程4 55x307,较简便的是 4D先两边都乘以44A先去分母B先去括号C先两边都除以555小明在做解方程作业时,不当心将方程中一个常数污染了看不清晰,被污染的方程是：2y11y,怎么办呢 .小明想了想,便翻看了书后的答案,此方程的解是y5,于是223小明很快补上了这个常数,并快速完成了作业同学们, 你们能补出这个常数吗.它应是 A 1 B2 C3 D4 6. （山东日照）某道路一侧原有路灯 新型的节能灯,且相邻两盏灯的距离变为106 盏,相邻两盏灯的距离为 36 米,现方案全部更换为70 米,就需更换的新型节能灯有（）A 54 盏B55 盏a bC56 盏xD57 盏）；7. “ ”表示一种运算符号,其意义是2ab ,如1 32,就 x 等于 （A 1B1 2C3 2D 26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8.关于 x 的方程 3 m8 n x70无解,就 mn 是 （）A正数B非正数C负数D非负数二、填空题9.（福建泉州）已知方程|x|2 ,那么方程的解是 .a 22 a_10. 当 x= _ 时, x13x 的值等于 2. 11已知关于x 的方程的3 2axx3解是 4,就212如关于 x 的方程 ax+3=4x+1 的解为正整数,就整数a 的值是13已知关于 x 的方程mx32xm 的解满意x230,就 m 的值是 _14a、b、c、d 为有理数,现规定一种新的运算：a cbadbc,那么当12x418时,d5就 x_三、解答题15解以下方程 : （ 1）352y4104yy223510（ 2）1x1x1x2 33x23424（ 3）0.15 x 0.130.0730x2010.3 x0.1；300.217. 如下列图,用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD ,其中, GH=2cm ,GK=2cm ,设 BF=xcm ,（ 1）用含 x 的代数式表示CM= cm, DM= cm（ 2）如 DC=10cm ,求 x 的值（ 3）求长方形 ABCD 的面积7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案与解析】一、挑选题1【答案】 C 【解析】方程3x+50 的解为x5,代入方程3x+3k 1,再解方程可求出k32 【答案】A 11x23去分母得 22x-1 6+3x-3 ；【解析】由7x4x-3 移项得 7x-4x -3；B2x3C把 22x-1-3x-3 1 去括号得 9 3【答案】 C 4x-2-3x+9 1；D2x-1 x +7,2x-2x+7 ,2x-x 7+2,x【解析】把方程2x1x311去分母,得32x-1-2x-1 6,6x-3-2x+2 6 与 6x-3-2x-22 6 相比较,很明显是符号上的错误4【答案】 B 【解析】由于4 5与5 4互为倒数,所以去括号它们的积为1. 5【答案】 B 【解析】设被污染的方程的常数为1k,就方程为2y11yk ,把y5代入方程得2231015k ,移项得k510 3,合并同类项得-k-2,系数化为1 得 k 2,应选 B326626【答案】 B 【解析 】设有 x 盏,就有 x1个灯距,由题意可得： 36106170x1,解得：x557【答案】 B而【解析】由题意可 得：“ ”表示 2倍的第一个数减去其次个数,由此可得：1 32 1 31,x1 3x 12x12,解得：x128【答案】 B 【解析】原方程可化为：3 m8 n x7,将 “ 3 m8 n” 看作整体,只有 3 m8 n0时原方程才无解,由此可得m n均为零或一正一负,所以mn 的值应为非正数二、填空9【答案】x 12,x 2210【答案】31 2x11【答案】 24 【解析】把x4 代入方程,得3a443,解得 a6,从而 -a2-2a242212【答案】 2 或 3 【 解析】由题意,求出方程的解为：ax4x138 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - a4x2,xa24,由于解为正整数,所以a41 或2,即a2或 313【答案】5或 1【 解 析 】 由x230, 得 ：x23 或-3, 即 x 为5或 1 ； 当x5时 , 代 入m5mx32xm 得,m1；当x1时,代入得14【答案】 3 【解 析】由题意,得 2×5-41-x 18,解得 x3三、解答题15. 【解析】解：（ 1）原方程可化为：1y22332x32解得：y41 4x（ 2）原方程可化为：x1x3322移项,合并得：x1x23 x91x143解得：x2215 x133x29（ 3）原方程可化为：732去分母,化简得：15 x13解得：x131516. 【解析】解： 1原方程可化为： a 4 x b 8当 a 4 时,方程有唯独解：x b 8；a 4当 a 4,b 8 时,方程无解；当 a 4,b 8 时,原方程的解为任意有理数,即有无穷多解2 m 1 x m 1 m 2当 m 1 0,即 m 1 时,方程有唯独的解：x m 2当 m 1 0,即 m 1 时,原方程变为 0 x 0原方程的解为任意有理数,即有无穷多解3 m1m2xm19 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当m1,m2时,原方程有唯独解：xm12；当m1时,原方程的解为任意有理数,即有无穷多解；当m2时,原方程无解17. 【解析】解：（ 1）x2,2 x2（或 3x）. x2. （2） 2x2x210. 解得x2. （3）从两个角度表示线段 DM 长度时可得： 3x=2x+2, 解得长方形的长为：xxxx2x214cm, 宽为： 4x242210cm. 所以长方形的面积为：1410140cm210 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页
