2022年人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二次函数一、二次函数概念：21二次函数的概念：一般地,形如 y ax bx c （ a, , 是常数,a 0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2bxc 的结构特点：x 的二次式,x 的最高次数是2 等号左边是函数,右边是关于自变量a, , 是常数, a 是二次项系数,b是一次项系数,c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；a的符号2开口方向顶点坐标对称轴x性质a0向上0,0y 轴0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 2. yaxc 的性质：上加下减；a的符号h开口方向顶点坐标对称轴x性质a0向上0,cy 轴0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya x2的性质：左加右减；名师归纳总结 4. ya 的符号2开口方向顶点坐标对称轴性质第 1 页,共 10 页a0向上h ,0X=h xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 随x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0X=h xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y 随x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 a xhk 的性质：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 的符号开口方向顶点坐标名师总结优秀学问点性质对称轴a0向上h,kX=h xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 随x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y 随x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h,k； 保持抛物线 y ax 的外形不变,将其顶点平移到 2h,k 处,详细平移方法如下：向上 k>0【或向下 k<0】平移 |k|个单位y=ax2 y=ax2+k向右 h>0【或左 h<0】向右 h>0【或左 h<0】平移 |k|个单位 向右 h>0【或左 h<0】平移 |k|个单位 平移 |k|个单位向上 k>0【或下 k<0 】平移 |k|个单位y=ax-h2向上 k>0【或下 k<0】平移 |k|个单位 y=a x-h2+k2. 平移规律名师归纳总结 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”时,第 2 页,共 10 页概括成八个字“ 左加右减,上加下减”b x的比较四、二次函数yax2 hk与y2 a x从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即ya xb24acb2,其中hb,k4 acb22 a4 a2a4 a六、二次函数yax2bxc的性质b,顶点坐标为b,4 ac4 ab21. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为x2a2a当xb时, y 随 x 的增大而减小；2 a当xb时, y 随 x 的增大而增大；2 a当xb时, y 有最小值4 acb22 a4 ab,顶点坐标为b,4 ac4 ab2当xb2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为x2a2a2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 随 x 的增大而增大；当xb名师总结优秀学问点xb时, y 有最大值4 acab2时, y 随 x 的增大而减小；当2a2a4七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数,a 0）；22. 顶点式：y a x h k （ a , h , k 为常数,a 0）；3. 两根式（交点式） ：y a x x 1 x x 2 （a 0,x ,x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 24 ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数aa 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大； 当a0时,抛物线开口向上, 当a0时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3. 常数项 c 当c0时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当c0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c0时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来,c 打算了抛物线与y 轴交点的位置十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与axx 轴交点情形）：y0时的特别情形 . 一元二次方程ax2bxc0是二次函数y2bxc 当函数值图象与 x 轴的交点个数：名师归纳总结 当b24ac0时,图象与 x 轴交于两点A x 1,0,B x 2,0x 1x 2,其中的x 1,x 2是一元二第 3 页,共 10 页y0；次方程ax2bxc0a0的两根 . 当0 时,图象与x 轴只有一个交点； 当0 时,图象与x 轴没有交点 . 1' 当a0时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 ,c ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二次函数对应练习试题一、挑选题21. 二次函数 y x 4 x 7 的顶点坐标是 A.2, 11 B.（ 2,7） C.（2,11） D. （2, 3）22. 把抛物线 y 2 x 向上平移 1 个单位,得到的抛物线是（）2 2 2 2A. y 2 x 1 B. y 2 x 1 C. y 2 x 1 D. y 2 x 13. 函数 y kx 2k 和 y k k 0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的 x4. 已知二次函数 y ax 2bx c a 0 的图象如下列图 , 就以下结论 : a,b 同号 ; 当x1和x3时, 函数值相等 ; 4 ab0当y2时, x 的值只能取0. 其中正确的个数是 A.1 个 B.2个 C. 30个 D. 4个5. 已知二次函数yax2bxc a的顶点坐标（ -1 ,-3.2 ）及部分图象 如图 ,bxc0的两个根分别是x 11.3 和x 2由图象可知关于x 的一元二次方程ax2（） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 26. 已知二次函数 y ax bx c 的图象如下列图,就点 ac bc 在（）A第一象限 B其次象限C第三象限 D 第四象限7. 方程 2x x 2 2的正根的个数为（）xA.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8. 已知抛物线过点 A2,0,B-1,0, 与 y 轴交于点 C,且 OC=2.就这条抛物线的解析式为2 2A. y x x 2 B. y x x 2C. y x 2x 2 或 y x 2x 2 D. y x 2x 2 或 y x 2x 2二、填空题名师归纳总结 9二次函数yx2bx3的对称轴是x2,就 b_；第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10已知抛物线名师总结优秀学问点x 的取值范畴是 _. y=-2 （x+3 ）2+5,假如 y 随 x 的增大而减小,那么11一个函数具有以下性质：图象过点（1,2）,当 x0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是y（只写一个即可） ；2 个12抛物线y2x226的顶点为 C,已知直线kx3过点 C,就这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为；bxc 的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移13. 二次函数y2x24x1的图象是由y2x2单位得到的 , 就 b= ,c= ；14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是地方,桥的高度是 取 3.14. 三、解答题：16 米,跨度是 40 米,在线段 AB上离中心 M处 5 米的15. 已知二次函数图象的对称轴是x30, 图象经过 1,-6,且与 y 轴的交点为 0,5. 21 求这个二次函数的解析式; 2 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0. 3 当 x 在什么范畴内变化时, 这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大 . 第 15 题图16. 某种爆竹点燃后,其上上升度h（米）和时间t （秒）符合关系式hv t 01gt2（ 0<t 2）,其2名师归纳总结 中重力加速度g 以 10 米/ 秒2运算这种爆竹点燃后以v 0=20 米/ 秒的初速度上升,. 第 5 页,共 10 页（1）这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15 米？（2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判定爆竹是上升,或是下降,并说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17. 如图,抛物线yx2bxc 经过直线名师总结优秀学问点yx3与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点,求使SAPC：SACD5 ：4 的点 P的坐标；18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费供应货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨该建材店为提高经营利润, 预备实行降价的方式进行促销经市场调查发觉：当每吨售价每下降 10 元时, 月销售量就会增加 7. 5 吨综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x（元）,该经销店的月利润为 y（元）（1）当每吨售价是 240 元时,运算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范畴） ；（3）该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“ 当月利润最大时,月销售额也最大” 你认为对吗？请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二次函数应用题训练1、心理学家发觉,同学对概念的接受才能 y 与提出概念所用的时间 x（分）之间满意函数关系： y = -0.1x 2 +2.6x + 43 0x30. （1）当 x 在什么范畴内时, 同学的接受才能逐步增强？当 x 在什么范畴内时,同学的接受才能逐步减弱？（2）第 10 分钟时,同学的接受才能是多少？（3）第几分钟时,同学的接受才能最强？2、如图 ,已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料 ,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm. 如在 ABC上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB 、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少 . ABDGCFE3、如图 , ABC 中,B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开头,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动 ;点 Q 从点 B 开头,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动 .假如 P,Q 同时动身 ,问经过几秒钟 PBQ 的面积最大 .最大面积是多少 . CQ名师归纳总结 APB第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点4、如图,一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行 的水平距离为 2.5 米时,达到最大高度 3.5 米,然后精确落入篮圈 .已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米. 1建立如下列图的直角坐标系,求抛物线的表达式 ; 2该运动员身高 1.8 米,在这次跳投中,球在头顶上方 他跳离地面的高度是多少 . y 0,3.53.05 mO x 4 m0.25 米处出手,问：球出手时,5、如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,假如用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为 x m. 1要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少 m？2假如中间有 nn 是大于 1 的整数 道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m？比较 12的结果,你能得到什么结论？x6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品,试销中发觉,这种商品每天的销售量 m件与每件的销售价 x元满意关系： m=1402x. 1写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式 ; 2假如商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 二次函数对应练习试题参考答案 一,挑选题、1A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二、填空题、优秀学问点14a22a3 : 1445: 4. 化简得22a22 a35当a22a30 时,a22a35得a4,a2 P（4,5）或 P（ 2,5） 9 b4 10 x -3 11 如当a22a30 时,a22a35即y2x24,y2x4等（答案不唯独）a22a20,此方程无解综上所述,满意121 13-8 7 1415 条件的点的坐标为（4,5）或（ 2,5）18（1）452602407. 5=60（吨）（2）三、解答题10151 设抛物线的解析式为yax2bxc, 由yx10045260x7.5,化简得：题意可得10b 2 a3y3x2315x24000（3）4y3x2315x240003 4x21029075abc6解得4c5a1,b3,c5红星经销店要获得最大月利润,材料的售价222应定为每吨210 元所以y1x23x5（4）我认为,小静说的不对理由：方22法一：当月利润最大时,x 为 210 元,而对于月2x1或-5 2x3销售额Wx 45260x.75 3 4 x2 1601920016（1）由已知得,1520 t1102 t ,解得10来说,2t13,t21当t3时不合题意,舍去；所以当当 x 为 160 元时, 月销售额 W最大 当 x爆竹点燃后1 秒离地 15 米（2）由题意得,为 210 元时,月销售额W不是最大小静说的h5 t220t 5t2220,可知顶点的所以在爆竹点横坐标t2,又抛物线开口向下,燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内, 爆竹在上升17（1）直线yx3与坐标轴的交点A（3,0）,不对方法二：当月利润最大时,x 为 210 元,此时,月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时,月销售额为 18000 元 1732518000, 当月利润最大时,月销售额 W不是最大小静说名师归纳总结 B（0, 3）就9c3 b3c0解得b32的不对第 9 页,共 10 页c所以此抛物线解析式为yx22x3（2）抛物线的顶点D（1, 4）,与 x 轴的另一个交点C（ 1, 0）. 设 P , a a22a3,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二次函数应用题训练参考答案1、 （1）0x13,13x30；（2）59；（3）13. 2、过 A 作 AM BC 于 M,交 DG 于 N,就 AM= 20212 =16cm. 设 DE=xcm,S 矩形 =ycm 2,就由 ADG ABC, 故ANAM DGBC,即 1616 x DG ,故24DG=3 16-x. 2y=DG· DE=3 216-xx=- 3 2x 2-16x=- 32x-8 2+96, 从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形DEFG 的最大面积是 96cm 2. 3、设第 t 秒时 , PBQ 的面积为 ycm 2.就AP=tcm,PB=6-tcm; 又BQ=2t.y=1 PB· BQ=1 6-t· 2t=6-tt2 2=-t 2+6t=-t-3 2+9, 当 t=3 时,y 有最大值 9. 故第 3 秒钟时 PBQ 的面积最大 ,最大值是 9cm 2. 4、解： 1设抛物线的表达式为y=ax 2+bx+c. 由图知图象过以下点： 0,3.5,1.5,3.05. cb,0得a0 . ,22 a3 . ,5b0 ,h+1.8+0.25=h+2.05 m, h+2.05=0.2× 2.5 2+3.5, h=0.2m. 5、解： 1依题意得鸡场面积 y=1x2 50x .3 3y=1 x 2+ 50 x= 1 x 250x 3 3 3=1 x25 2+ 625 , 3 3当 x=25 时,y 最大= 625 , 3即鸡场的长度为 25 m 时,其面积最大为 625 m 2. 32如中间有几道隔墙,就隔墙长为50 x m. ny= 50 x·x=1 x 2+ 50 xn n n=1 x 250x =1 x25 2+ 625 , n n n当 x=25 时,y最大= 625 , n即鸡场的长度为 25 m 时,鸡场面积为625 m 2. n结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,其长都是 25 m. 6、解： 1y=2x 2+180x2800. 2y=2x 2+180x2800 =2x 290x2800 =2x45 2+1250. 当 x=45 时,y最大 =1250. 3 . 05.12 5a.1 5 bc ,c35. .每件商品售价定为45 元最合适, 此销售利润最大,为1250 元. 抛物线的表达式为y=0.2x 2+3.5. 2设球出手时,他跳离地面的高度为 h m,就球出手时,球的高度为名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页