2022年解三角形知识点、例题解析、高考题汇总及答案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解三角形【考纲说明】1、把握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简洁的三角形度量问题；2、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何运算有关的实际问题【学问梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在 ABC 中,a b c 2 R（R 为 ABC 外接圆半径） ；sin A sin B sin C2、变形公式：（ 1）化边为角：a 2 R sin A b 2 R sin B c 2 R sin C ;a b c（ 2）化角为边：sin A ,sin B ,sin C ;2 R 2 R 2 R（ 3）a b c sin A :sin B :sin Ca b c a b c（ 4）2 R . sin A sin B sin C sin A sin B sin C3、三角形面积公式：S ABC 1 ah 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A abc 2 R 2sin sin sin C2 2 2 2 4 R4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边,求其它两边和一角；（解唯独）（2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 二、余弦定理. （解可能不唯独）1、余弦定理：a2b2c22 bccos AcosAb2c2a2222bcb2c2a22accosBcosBc2a2b2cac2a2b22abcosCcosCa2b2c2ab2、余弦定理可以解决的问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（1）已知三边,求三个角； （解唯独）（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角；（解唯独）：（3）两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角 .（解可能不唯独）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角（如图1）. h 北北ih l西东目标南B 东l图 1 图 2 图 3 图 4 2、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为（如图 2）. 3、方向角 相对于某一正方向的水平角（如图 3）. 4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图 4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2022 天津理） 在ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是a b c ,已知 8 =5c,C=2B ,就 cosC（）A 7 25B7C7D24 252525【答案】 A 【解析】8 b5 , c 由正弦定理得 8sinB5sinC,又C2 B,8sinB5sin 2B,B17 25. 第 2 页,共 12 页所以 8sinB10sinBcosB ,易知sinB0,cosB4,cosCcos2 B2cos252、（2022 广东文） 已知ABC 中,A,B ,C的对边分别为a b c 如ac62且A75o ,就 b名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点 A 2 B4 2 30C4 2 3D620246【答案】A sin 750sin300 45 0 sin30 cos4500 sin 45 cos30【解析】sinA由ac62可知 ,C750,所以B300,sinB12由正弦定理得baAsinB2612,应选 A sin26243、（2022 浙江） 在ABC 中,角A B C 所对的边分a b c .如acosAbsinB ,就sinAcosAcos2B A -1 2B1 2C -1 D 1 【答案 】D 【解析 】acosAbsinB,sinAcosAsin2B,3,就 AC,_. 3,就 c_ sinAcosAcos2Bsin2Bcos2B1. 4、（2022 福建文） 在ABC 中,已知BAC60 ,ABC45 ,BC【答案】2【解析】由正弦定理得AC3AC2sin 45sin 60a5. 5、（2022 北京） 在ABC 中,如b5,B4,sinA1,就 a3【答案】532a5 2 3【解析】：由正弦定理得aAbB又b5,B4,sinA1所以sinsin31sin436、（2022 重庆理） 设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ,且cosA3 5,cosB5,b13第 3 页,共 12 页【答案】c145名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】由cosA3,cosB5sinA4名师总结优秀学问点,sinB12 13, 5135由正弦定理aAbB得absinA3 451213, 14C2 sinCbsinB . sinB5sinsin13由余弦定理2 a2 c2 b2 bc cosA2 25 c90 c560c57、（2022 全国） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c.己知asinAcsin（I）求 B； （ ）如A0 75 ,b2,求 ,c. 45【解析】（I）由正弦定理得a2c22acb2由余弦定理得b2a2c22accosB . 故cosB2,因此B2（II） sinAsin3045 sin30 cos45cos30 sin 45246故absinA22613sinBcbsinC2sin606. sinBsin 458、（2022 江西文） ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为（1）求 cosA; （2）如 a=3, ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c. a,b,c.已知 3cosB-C-1=6cosBcosC. 3cosBcosCsinBsinC16cosBcosCcosA1. 第 4 页,共 12 页3cosBcosC3sinBsinC1【解析】（1）3cosBC1就3（2）由（ 1）得sinAcosA132 2 3,由面积可得bc=6,就依据余弦定理cosAb22 ca22 bc291就b2c213, 2 bc123名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两式联立可得b3或a3. 名师总结优秀学问点a2b29、（2022 安徽） 在 ABC 中, a,b,c 分别为内角A ,B,C 所对的边长, a=3 ,b=2 , 12cosBC0,求边 BC 上的高 . 【解析】：A BC 180°,所以 BCA,又12cosBC0, 12cos180A 0,即12cosA0,cosA1,2又 0°<A<180° ,所以 A60°. 在 ABC 中,由正弦定理aAbB得sinBbsinA2 sin602,sinsina3230 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列 . 又 ba ,所以 BA,B45°,C75°,BC 边上的高 AD AC· sinC2 sin 752 sin452sin 45 cos30cos45 sin 30 2232131. 2222210、（2022 辽宁理 ）在ABC中 ,角 A、B、C 的对边分别为（I）求 cosB 的值 ; （）边 a,b,c 成等比数列 ,求 sinAsinC 的值 . 3,cosB1 23,a2b2acac ,得 ac【解析】（I）由已知2BAC ABC,B（）解法一：b2ac ,由正弦定理得sinAsinCsin2B4解法二：b2ac,1cosBa2c2b2a2c2ac,由此得22ac2ac名师归纳总结 第 5 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以ABC3,sinAsinC名师总结优秀学问点34【课堂练习】1、（2022 广东文） 在ABC 中,如A60,B45,BC32,就 AC（）3A 4 3 B 2 3 C3 D22 2 22、（2022 四川） 在 ABC 中,sin A sin B sin C sin B sin C ,就 A 的取值范畴是（）A 0, B , C 0, D , 6 6 3 33、（2022 陕西理） 在 ABC 中,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,如 a 2b 22 c ,就 cosC 的最小值为（2）A 3B2 C1 D12 2 2 22 2 24、（2022 陕西） 在 ABC 中,角 A,B ,C 所对的边长分别为 a, b, c,如 a b 2c,就 cos C 的最小值为（）3 2 1 1A BCD2 2 2 25、（ 2022 天津）如图,在 ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB CD , 2 AB 3 BD BC 2 BD 就 sinC 的值为 A3 B3 C6 D 63 6 3 66、（2022 辽宁） ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, asinAsinB+bcos 2A= 2 a,就 b（）aA 2 3 B 2 2 C3 D27、（ 2022 湖 北 文 ） 设 ABC 的 内 角 A B C 所 对的 边分 别 为 a b c , 如 三 边的 长为 连续 的 三个 正 整数 ,且A B C , 3 b 20 cos A ,就 sin A : sin B : sin C 为（）A 432 B567 C543 D654 0 08、（2022 上海） 在相距 2 千米的 A B 两点处测量目标 C ,如 CAB 75 , CBA 60,就 A C 两点之间的距名师归纳总结 第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离是千米；名师总结优秀学问点9、（2022 重庆文 ）设 ABC 的内角 A、 、C的对边分别为 a、 、c,且a =1, =2,cosC1,就 sin B_ 410、（2022 北京文 ）在 ABC 中,如a3,b3,A3,就C 的大小为 _. 11、（2022 陕西文） 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,如 a=2 ,B=6,c=23 ,就 b=_ 12、（2022 北京理） 在 ABC 中,如a2,bc7,cosB1,就 b_. 413、已知 ABC 得三边长成公比为2 的等比数列,就其最大角的余弦值为_. 14、如下列图, 货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角为 140°的方向航行, 为了确定船位, 船在 B点观测灯塔 A 的方位角为 110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,就货轮到达C 点时,与灯塔A的距离是多少？15、（2022 安徽理） 在ABC 中, sinCA 1, sinB=1 3.（I）求 sinA 的值；（II ）设 AC=6 ,求ABC 的面积 . a b c ,且有 2sinBcosAsinAcos CcosAsinC16、（2022 安徽文） 设ABC的内角A B C 所对的边为（）求角 A 的大小 ; （II ） 如b2,c1, D 为 BC 的中点 ,求 AD 的长 . 2,cosA45 302. 75第 7 页,共 12 页 D17、（2022 江苏） 在 ABC 中,角 A 、B、C 所对应的边为a,b,c（1）如sinA62cosA ,求 A 的值；（2）如cosA1,b3 c,求sinC的值 . 318、（2022 天津文） 在ABC中 ,内角A B C 所对的分别是a b c .已知a2,c4A（I）求 sin C 和 b 的值 ; （II ）求 cos2A3的值 . 19、（2022 陕西） 如图, A,B 是海面上位于东西方向相距5 33海里的两个观测点,现位于A 点北偏东 45°, B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,C位于 B 点南偏西60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立刻即前往营救,名师归纳总结 15- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其航行速度为30 海里 /小时,该救援船到达名师总结优秀学问点D 点需要多长时间？20、我炮兵阵位置于地面A处,两观看所分别位于地面点C 和 D 处,已知CD6000米,ACD45,ADC75,目标显现于地面点B 处时,测得BCD30,BDC15（如图）,求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 【课后作业】1、（2022 全国卷 文） 已知 ABC 中,cotA12,就 cosA . _. 第 8 页,共 12 页5 5A 12 13B5 1312CD13132、（2022 全国卷 理） 已知ABC中,cotA12, 就 cosA 5A. 12 13B.5 13C.5D. 1213133、（2022 湖南文） 在 ABC 中,AC=7 ,BC=2,B =60°,就 BC 边上的高等于（）A3B3 3 2C326D343924、在 ABC 中,如 sin 2Asin2Bsin2CsinB·sinC,就角 A 等于（）AB2C3D533465、在 ABC 中,如 acosA bcosB,就 ABC 的外形是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形6、在 ABC 中, abc156,就 sinAsinBsinC 等于 A 156B 651 C61 5 D不确定7、（2022 湖南文） 在锐角ABC 中,BC1,B2 , A 就AC的值等于, AC 的取值范畴为cosA8、（ 2022 湖北理）设ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 如 abcabc ab ,就角 C9、在 ABC 中,已知 c102 ,C60°,a20 33,就 A. 10、在 ABC 中,已知三边满意（a bcabc3ab,就 C 等于. 11、在 ABC 中,如a2tanA tanB,就 ABC 是. 2 b12、在 ABC 中,已知 B135°, C 15°,a5,那么此三角形的最大边的长是. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13、在 ABC 中,已知 sin2Bsin 2Csin2A名师总结优秀学问点3 sinAsinC,求 B 的度数 . 14、如图,在 ABC 中,已知角B45°, D 是 BC 边上一点, AD5,AC 7,DC 3,求 AB. 2b ,且15、（2022 全国卷 理） 在ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为a 、 b 、 c ,已知a2c2sin A cos C 3cos A sin C , 求 b. A 2 516、（2022 浙江理） 在 ABC 中,角 A B C 所对的边分别为 a b c ,且满意 cos,AB AC 32 5（I）求 ABC 的面积；（II ）如 b c 6,求 a 的值17、已知 ABC 的三个内角 A、B、C 依次成等差数列,又三边 a、b、c 依次成等比数列,求证：该三角形为正三角形 . 18、（2022 山东）在ABC 中,内角A B C 的对边分别为a b c ,已知cosA2cosC2cba,cosB（）求sin sinC的值；（ ）如cosB1,b2,求ABC 的面积 S；A4北19、某观测站 C 在目标 A 南偏西 25 方向,从 A 动身有一条南偏东35 走向的大路,在C 处测得大路上与C 相距 31 千米的 B 处有一人正沿此大路向A 走去,走 20 千米到达25A东202135 DD ,此时测得 CD 距离为 21千米,求此人所在D 处距 A 仍有多少千米？20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔20250m,速度为C31B180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为' 18 30 ,经过 120秒后又看到山顶的俯角为81 ,求山顶的海拔ABD第 9 页,共 12 页高度（精确到 1m）. M名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【参考答案】【课堂练习】1-7、BCCCD DD 8、6第 10 页,共 12 页9、154名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10、2名师总结优秀学问点11、2 12、4 13、2 4,SABC3 2A3382114、102 km 15、sinA3316、A3,ADC7cos22117、A3,sin318、 sinC =7 4,b119、需要 1 小时20、1000 42 米【课后作业】1-6、DDBBDA 7、2,2,38、2 3 9、45°10、60°11、等腰或直角三角形 12、5 2 13、B 150°14、5 64 或b0舍）第 11 页,共 12 页215、b名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16、SABC1bcsinA2,a2 5名师总结优秀学问点217、证法一： A、B、C 成等差数列,就 2BAC,又 ABC180°,3B180°,B60°,再由 a、b、c 成等比数列,可得b2ac,因此用余弦定理b 2a 2c 22accosB,aca 2 c 2 2ac·1 2,即（ ac）20,a c,AC又 B60°, ABC 为正三角形 . 18、sin sinC2,S15A419、15 千米20、18130m 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页
