2022年解直角三角形.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1.如图 1,海上有一灯塔精品资料欢迎下载北解直角三角形（三角函数）P,在它四周6 海里内有暗礁一艘海轮以18 海里 /时的速度由西向东方向航行,行至A 点B 60°P D处测得灯塔P 在它的北偏东60°的方向上,连续向东行驶20 分钟后,到达 B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向上,假如海轮不转变东方向连续前进有没有触礁的危急. 解：过 P 作 PCAB 于 C 点,依据题意,得A AB18×20 6, PAB 90°60°30°,北图 1 P 60PBC90° 45°45°, PCB 90°,PCBC在 Rt PAC 中,tan30 °PC6PC,6045C 东ABBCPCB 即36PC,解得 PC 3 33A 3PCCB 3 33 6,海轮不转变方向连续前进无触礁危急例 2.如图,某高速大路建设中需要确定隧道AB 的长度45°已知在离地面1500m 高度 C 处的飞机上,测量人员测得1500m 正前方 A、B 两点处的俯角分别为60°和 45°求隧道AB 的长 3 1.73解： OA1500tan30150035003,AO3OB=OC=1500 ,AB=150050031500865635m. 答：隧道 AB 的长约为 635m. 例 3.如图是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运 .依据体会,木板与地面的夹角为 20°（即图 2 中 ACB=20° ）时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离 AB=1.5m,木板超出车厢部分 AD=0.5m,恳求出木板CD 的长度（参考数据： sin20° 0.3420,A D cos20 ° 0.9397, 精确到 0.1m）. 由题意可知： ABBC C B 在 Rt ABC 中, sinACB= AB 图 1 图 2 ACAC= sin ACB = ABsin20 °= 1.50.3420 4.39m 1.5CD = AC+AD= 4.39+0.5 = 4.89 4.9m答：木板的长度约为 4.9m.例 4.九（ 1）班的数学课外小组,对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测名师归纳总结 量他们实行了以下方案：如图7,站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方第 1 页,共 4 页向,再向正北方向前进10 米到达 B 处,又测得石雕C 在其南偏东30°方向你认为此方案- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载能够测得该公园的湖心亭 留到小数点后一位）？A 处到南岸的距离吗？如可以,请运算此距离是多少米（结果保解：此方案能够测得该公园的湖心亭 A 处到南岸的距离B 北过点 A 作南岸所在直线的垂线,垂足是点 D,AD 的长即为所求西 东在 RtADC 中,ADC 90°,DAC 45° , DC AD A 南在 RtBDC 中,BDC 90°,DBC 30° ,BD 3 CD由题意得： 10 AB BD AD 3 AD AD ,解得 AD 13.7答：该公园的湖心亭 A 处到南岸的距离约是 13.7 米D C 例 5.如图,一巡逻艇航行至海面 B 处时,得知其正北方向上 C 处一渔船发生故障已知港口A 处在 B 处的北偏西 37 方向上,距 B 处 20 海里； C 处在 A 处的北偏东 65 方向上求 B C 之间的距离（结果精确到 0.1 海里）北参考数据： sin37 0.60 cos37 0.80 tan37 0.75,北sin 65 0.91 cos65 0.42 tan65 2.14. C 解：过点 A 作 AD BC ,垂足为 D65°在 RtABD 中,AB 20,B 37° ,A D AD AB·sin37°20sin37° 12······ ···········3 分BD AB·cos37°20cos37°1637°在 RtADC 中,ACD 65°,AD 12 B CD5.61tan65°2.14BC BD CD 5.61 16 21.6121.6（海里）答： B,C 之间的距离约为 21.6 海里例 6.如下列图, A、B 两地之间有一条河,原先从 A 地到 B 地需要经过桥 DC ,沿折线ADCB 到达,现在新建了桥 EF,可直接沿直线 AB 从 A 地到达 B 地已知 BC=12km ,A=45° , B=37° 桥 DC 和 AB 平行,就现在从A 地到达 B 地可比原先少走多少路程？（结果精确到 0.1km参考数据：21.41,sin37 ° 0.60,cos37° 0.80DD45°AA解：过 C、D 分别作 CNAB,DM AB 垂足分别为N,M 在 Rt BCN 中, sin37 °=CN, CN=12× 0.60=7.20 BCC37°Ecos37 °=BN, BN=12× 0.80=9.60 2 分 FBCB在 Rt ADM 中, A=45° CN=DM=AM=7.20Cos45°=AMAD=2AM=1.41 ×7.20=10.15 ADMAD+DC+BC-AB=AD+DC+BC-AM+MN+MN =AD+BC-AM+BN= 10.15+12-7.20+9.60=5.35 5.4CN答：从 A 地到达 B 地可比原先少走5.4 路程B名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7.如图,斜坡AC 的坡度（坡比）为精品资料欢迎下载BC,旗杆顶端B 点1:3 ,AC10 米坡顶有一旗杆与 A 点有一条彩带AB 相连, AB 14 米试求旗杆BC 的高度B 解：延长 BC 交 AD 于 E 点,就 CEAD 在 Rt AEC 中, AC 10,C 由坡比为 1: 可知： CAE 30°, CEAC· sin30 °10× 5 AE AC· cos30 °10× D A 在 Rt ABE 中,BE=11 BEBCCE, BCBECE 11-56（米）答：旗杆的高度为 6 米例 8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112 年）,为砖彻八角形十三层楼阁式建筑 .数学活动小组开展课外实践活动,在一个阳光明媚的上午,他们去测量太子灵踪塔的高度,携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子 . （1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高 . 图 1 为小华测量塔高的示意图 .她先在塔前的平地上选择一点 A ,用测角仪测出看塔顶 M 的仰角 35 ,在 A点和塔之间挑选一点 B ,测出看塔顶 M 的仰角 45 ,然后用皮尺量出 A 、 B 两点的距离为 18.6m,自身的高度为 1.6m.请你利用上述数据帮忙小华运算出塔的高度（tan35 0.7 ,结果保留整数）. M MD CN图 1 BAN图 2 P（第 22（2）假如你是活动小组的一员,正预备测量塔高,而此时塔影你能否利用这一数据设计一个测量方案？假如能,请回答以下问题：NP的长为am（如图 2） ,在你设计的测量方案中,选用的测量工具是: ；要运算出塔的高,你仍需要测量哪些数据？名师归纳总结 解:（1）设 CD 的延长线交 MN 于 E 点, MN 长为 xm ,就MEx1.6m . . 第 3 页,共 4 页x17. 0 45 ,DEMEx1.6.CEx1.6 18.6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MEtantan 350精品资料欢迎下载x45 m. ,x1.60.7,解得CEx17太子灵踪塔 MN 的高度为 45m2 测角仪、皮尺； 站在 P 点看塔顶的仰角、自身的高度 . 注：答案不唯独 例 10 如图,台风中心位于点 P,并沿东北方向 PQ 移动,已知台风移动的速度为 30 千米 /时,受影响区域的半径为 200 千米, B 市位于点 P 的北偏东 75°方向上,距离点 P 320 千米处 . 1 说明本次台风会影响 B 市；（2）求这次台风影响 B 市的时间 . 1 作 BH PQ 于点 H, 在 Rt BHP 中, 由条件知 , PB = 320, BPQ = 30 °, 得 BH = 320sin30 ° = 160 < 200, 本次台风会影响 B 市. 2 如图 , 如台风中心移动到 P1时 , 台风开头影响 B 市, 台风中心移动到 P2 时, 台风影响终止 . 由（ 1）得 BH = 160, 由条件得 BP1=BP2 = 200, 名师归纳总结 所以 P1P2 = 22 2002 160=240, 第 4 页,共 4 页台风影响的时间t = 240 = 8小时 . 30例 9.如图,某自然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延长,测绘员在A 处测得要安装自然气的M 小区在 A 市东偏北 60°方向,测绘员沿主输气管道步行2000 米到达 C处,测得小区M 位于 C 的北偏西 60°方向,请你在主输气管道上查找支管道连接点N,使到该小区铺设的管道最短,并求AN的长 . 解：过 M 作 MN AC,此时 MN 最小,AN 1500 米- - - - - - -
