2022年初二数学人教版因式分解_讲义.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载初二数学因式分解辅导教案授课老师 授课对象授课时间 授课题目 因式分解课 型 使用教具因式分解是中学代数中一种重要的恒等变形,是处理数学家问题重要的手段和工具, 有关的题目在中考和数学竞赛中比较常见；对于特别的因式分解,除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外, 仍应依据多项式的详细结构特点,敏捷选用一些特教学目标 殊的方法,这样不仅可使问题化难为易,化繁为简,使复杂问题迎刃而解,而且有助于培育同学们的探究求新的习惯,提高同学们的数学思维才能； 现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧列举如下,供同学们参考；教学重点和难点 通过详细的题目来复习相关内容参考教材 八年级数学教参因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决很多数学问题的有力工具因式分解方法敏捷,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是把握因式分解内容所必需的,而且对于培育同学的解题技能,进展同学的思维才能,都有着非常特殊的作用中学数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .：ma+mb+mc=ma+b+c 二、运用公式法 . 在整式的乘、除中,我们学过如干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如： 1 a+ba-b = a2-b 2 -a2± 2ab+b 2 a2-b2=a+ba-b；2 ；2 a± b2 = a2± 2ab+b2=a ± b2；3 a+ba2-ab+b2 =a3+b 3- a3+b 3=a+ba2-ab+b4 a-ba2+ab+b2 = a3-b3 -a3-b3=a-ba2+ab+b2 下面再补充两个常用的公式：名师归纳总结 5a2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2；第 1 页,共 18 页6a3+b3+c 3-3abc=a+b+ca2+b2+c 2-ab-bc-ca；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载）例.已知 a, , 是ABC 的三边,且a2b2c2abbcca ,就ABC 的外形是（A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：a22 bc2abbcca2 a22 b22 c22 ab2 bc2caab2bc2ca20abc三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式bn例 1、分解因式：amanbm分析：从“ 整体” 看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“ 局部” 看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系；解：原式 =amanbmbn每组之间仍有公因式！bmn=amn=mn ab例 2、分解因式：2ax10ay5 bybx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组；解法二：第一、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式 =2ax10ay5 bybxbc原式=2 axbx 10ayb5 by2bx5yx2ab 5y2a=2 ax5y=x5y2ab=2abx5yac练习：分解因式 1、aab2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y2axay分析：如将第一、三项分为一组,其次、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能连续分解,所以只能另外分组；名师归纳总结 解：原式 =x2y2axay y第 2 页,共 18 页=xyxyax=xyxya 例 4、分解因式：a22abb2c2解：原式 =a22 abb2c2=ab2c2=abc abc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：分解因式 3、x22x9y2优秀学习资料欢迎下载z2bx2yzab3y4、x2y2综合练习：（ 1）x3xyxy2y3（2）ax2bx2ax（3）x26xy9y216a28 a1（4）a26ab12b9b24a（5）a42a3a29（6）4a2x4a2yb2xb2y（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22b2ab1（9）yy2m1 m1（10）acacb b2a（11）a2bcb2acc2ab2 abc（12）a3b3c33abc名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载四、十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式xpxq进行分解；直接利用公式x2pqxpq特点：（ 1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和；摸索：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0 a 5,且 a 为整数,如2x23xa 能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax 2+bx+c,都要求b24ac >0 而且是一个完全平方数；于是98a为完全平方数,a1例 5、分解因式：x25x6分析：将 6 分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5；由于 6=2× 3=-2× -3=1× 6=-1× -6,从中可以发觉只有2× 3 的分解适合,即 2+3=5；1 2 解：x25x6=x223 x231 3 =x2x31× 2+1× 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x27x6解：原式 =x21 6 x1 61 -1 =1 x6x1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习 5、分解因式 1x214x2242a2215a363x24x5练习 6、分解因式 12xx2y2y153x210x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax2bxc名师归纳总结 条件：（ 1）aa1a2a1c1第 4 页,共 18 页（2）cc 1c2a2c2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）ba 1c2a2c 11xc1优秀学习资料欢迎下载a2c1ba 1c 2分解结果：ax2bxc=aa2xc2例 7、分解因式：3x211 x101 -2 分析：3 -5 （-6）+（-5）= -11 （2）3 x27x2解：3 x211 x10=x2 3x5 练习 7、分解因式：（ 1）5x27x6（3）10x217x3（4）6y211y10（三）二次项系数为 1 的齐次多项式2 2例 8、分解因式：a 8 ab 128 b分析：将 b 看成常数,把原多项式看成关于 a 的二次三项式, 利用十字相乘法进行分解；1 8b 1 -16b 8b+-16b= -8b 2 2 2解：a 8 ab 128 b = a 8 b 16 b a 8 b 16 b = a 8 b a 16 b 2 2 2 2 2 2练习 8、分解因式 1 x 3 xy 2 y 2 m 6 mn 8 n 3 a ab 6b（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式名师归纳总结 例 9、2x27xy6y2例 10、x2y23 xy2-1 第 5 页,共 18 页1 -2y 把 xy看作一个整体1 2 -3y 1 -2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - -3y+-4y= -7y x21优秀学习资料欢迎下载-1+-2= -3 解：原式 =x2y2x3y解：原式 =xy1 xy2157xy4y2练习 9、分解因式：（ 1）（2）a2x26ax8综合练习 10、（ 1）8x67x3（2）12x211xy15y2（3）xy23xy 10（4）ab24a4 b3（5）x2y25x2y6x2（6）m24 mn4n23m6n2（7）x24xy4y22x4y3（8）5 ab223 a2b210ab 2（9）4x24xy6x3yy210（10）12xy211 x2y22xy2摸索：分解因式：abcx2a2b2c2xabc五、换元法；名师归纳总结 例 13、分解因式（ 1）2005x2200521x2005第 6 页,共 18 页（2）x1 x2x3 x6x2解：（ 1）设 2005=a,就原式 =ax2a21 xa=ax1 xa=2005x1 x2005（2）型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 =x27x6 x25x6x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1 2a2524a23 2设x25x6A,就x27x6A2x原式 =A2x Ax2=A22Axx2=Ax2=x26x62练习 13、分解因式（ 1）x2xyy224xyx2y22（2）x23x2 4x28x3 90（3）a例 14、分解因式（ 1）2x4x36x2x21,并且系数成观看：此多项式的特点是关于x 的降幂排列,每一项的次数依次少“ 轴对称” ；这种多项式属于“ 等距离多项式” ；方法：提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法；名师归纳总结 解：原式 =x22x2x611=x22 x21x21 x62xx2第 7 页,共 18 页xx2x2设x1t,就x2=12 tt22x 2 tx x2 22 tt1022x1原式 =2 x （62=x22 t5t2=x22x25x1xx=x·2x25·x·x12=2x2x25xxx=x1 22x1 x2x211（2）x44x3x24x14x1解：原式 =x22 x4x141=x2xx2x2x设x1x2y,就x2312y22xx2原式 =y24y=xy1y33 x1x21=x2x11 x13 =x2x1x2xx（2）x42x3练习 14、（1）6x47x336x27x6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 六、添项、拆项、配方法；例 15、分解因式（ 1）x33x24解法 2添项；4x41 x24x4解法 1拆项；原式=x313x23原式 =x33x24x=x1 x2x1 3 x1 x1 =xx23x44x4=x1 x2x13x3 =xx1 x44 x1 =x=x1 x24x4=x1 x22=x1 x22（2）x9x6x331 解：原式 =x91 x61 x31 x31 x31 =x31 x6x31 x3=x31 x6x31x311 =x1 x2x1 x62x33 练习 15、分解因式14x21 2x14（1）x39x8（2）x（3）x47x21（4）x4x22 ax1a2（5）x4y4xy4（6）2a2b22a2c22b2c2a4b4c4七、待定系数法；名师归纳总结 例 16、分解因式x2xy6y2x13y6x3yx2y,就原多项式必定可分为第 8 页,共 18 页分析：原式的前 3 项x2xy6y2可以分为x3ym x2ynx3ym x2yn解：设x2xy6y2x13y6=x3ym x2yn=x2xy6y2mnx3n2m ymnxy6y2mnx3 n2mymnx2xy6y2x13y6=x2对比左右两边相同项的系数可得mn113,解得m23 n2mn3mn6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载p原式 =x3y2x2y3 例 17、（ 1）当 m 为何值时,多项式x2y2mx5y6能分解因式,并分解此多项式；（2）假如x3ax2bx8有两个因式为x1和x2,求ab的值；（1）分析：前两项可以分解为xyxy,故此多项式分解的形式必为xya xyb解：设x2y2mx5y6=xyaxyb就x2y2mx5y6=x2y2abxbayababma2a2比较对应的系数可得：ba5,解得：b3或b3ab6m1m1当m1时,原多项式可以分解；当m1时,原式 =xy2xy3 ；当m1时,原式 =xy2xy3 （2）分析：x3ax2bx8是一个三次式,所以它应当分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如xc的一次二项式；解：设x3ax2bx8=x1 x2 xc就x3ax2bx8=x33c x223 cx2ca3ca7b23 c解得b14,2c8c4ab=21 练习 17、（1）x23xy10y2x9y2（2）x23xy2y25x7y6（3） 已知：x22xy3y26x14yp能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式；（4） k 为何值时,x22xyky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式；其次部分：习题大全 经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式,叫做把这个多项式分解因式；2 分解因式： m 3-4m= . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3. 分解因式： x 2-4y 2= _ _. 24、分解因式：x 4 x 4 =_ _；5. 将 x n-y n分解因式的结果为 x 2+y 2x+yx-y,就 n 的值为 . 2 2 2 26、如 x y 5, xy 6,就 x y xy =_,2 x 2 y =_；二、挑选题7、多项式153 m n22 5 m n202 3m n 的公因式是 3 mA、5mn B、2 25m n C 、2 5m n D 、5mn28、以下各式从左到右的变形中,是因式分解的是 A、a3a3a29 B、a2b 2ababC、a 24 a5a a45 D、2 m2m3m m210. 以下多项式能分解因式的是（）Ax2-y Bx2+1 Cx2+y+y 2 Dx2-4x+4 11把（ xy）2（ yx）分解因式为（）A（ xy）（ xy1） B C（ yx）（ yx1） D（yx）（xy1）（yx）（yx1）12以下各个分解因式中正确选项（）A10ab 2c6ac 22ac2ac（5b 23c）B（ ab）2（ ba）2（ ab）2（ab1）Cx（bca） y（abc） abc（ bca）（xy1）D（ a2b）（ 3ab） 5（2ba）2（ a2b）（ 11b2a）13. 如 k-12xy+9x 2是一个完全平方式,那么 k 应为（）A.2 B.4 C.2y 2 D.4y 2 三、把以下各式分解因式： 14 、nxny 15、4m29n222 a bab216、m mnn nm 17、a3名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18、x24216优秀学习资料欢迎下载n216mn2；2 x 19、9m五、解答题20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长 b =3.33cm 的正方形；求纸片剩余部分的面积；22、观看以下等式的规律,并依据这种规律写出第 5 个等式；1 x21x11x11x11xx11x12 x41x2x3 x814 x1x21x14 x161x81x41x25 _经典二：因式分解小结学问总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在中学代数中占有重要的位置和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章学问时,应留意以下几点； 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果肯定是整式乘积的形式； 3. 分解因式,必需进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范畴,一般指在有理数范畴内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采纳一“ 提” 、二“ 公” 、三“ 分” 、四“ 变” 的步骤；即第一看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法连续分解；（2）如上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载下面我们一起来回忆本章所学的内容； 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1分析：这是一个六项式, 很明显要先进行分组, 此题可把 x 5 x 4 x 3和 x 2 x 1 分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解；也可把 x 5 x 4 ,x 3 x 2 , x 1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解；解一：原式 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 3 2 2x x x 1 x x 1 3 2 x 1 x x 1 2 2 x 1 x x 1 x x 1 解二：原式 = x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 4 2x x 1 x x 1 x 1 4 x 1 x x 1 4 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x x 1 x x 1 2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x 33 x 24解一：将 3 x 拆成 2 x 2 x ,就有 解二：将常数 4 拆成 1 3 ,就有原式 x 32 x 2 x 24 原式 x 31 3 x 23 2 2x x 2 x 2 x 2 x 1 x x 1 x 1 3 x 3 2 2 x 2 x x 2 x 1 x 4 x 4 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3. 在证明题中的应用例：求证：多项式 x 24 x 210 x 21 100 的值肯定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、肯定值；此题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数；名师归纳总结 证明： x224x210x21 100第 12 页,共 18 页xx2x3 x7 100x2x7x2x3 100x25 x14x25x6 100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 优秀学习资料欢迎下载设 yx25 ,就42原式y14y6 100y28y16y无论 取何值都有y420c 3x24x210x21 100的值肯定是非负数因式分解中的转化思想例：分解因式： a2bc3ab 3b分析：此题如直接用公式法分解,过程很复杂,观看 努力查找一种代换的方法；解：设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B 原式AB3A3B3B3A3B3A33 A B 23 AB23A B 23 AB2c 3AB AB3 abbca2ba+b,b+c 与 a+2b+c的关系,说明：在分解因式时,敏捷运用公式,对原式进行“ 代换” 是很重要的；中考点拨例 1. 在ABC 中,三边 a,b,c满意 a2016b2c26 ab10bc0求证： ac2 b10bc证明：a216b2c26aba26 ab9b2c210 bc25 b20即 a3 b2 c5 b20a8bc a2 bc0abca8bc,即a8bc0于是有a2bc0即ac2b说明：此题是代数、几何的综合题,难度不大,同学应把握这类题不能丢分；例 2. 已知： x12,就x312_ xx3解： x31x1x211 x1 x3x1x1x2xx